2024年4月9日发(作者：怀念以前的数学试卷)

学必求其心得，业必贵于专精

坐标系与参数方程

坐标系是解析几何的基础。在坐标系中,可以用有序实数组确定

点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几

何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐

标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系,对于有些几何图

形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单.

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是

曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示

比用普通方程表示更方便.学习参数方程有助于学生进一步体会解

决问题中数学方法的灵活多变。

本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应

用和进一步深化。极坐标系和参数方程是本专题的重点内容,对于柱

坐标系、球坐标系等只作简单了解。通过对本专题的学习，学生将

掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体

会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣

和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力.

内容与要求

1。 坐标系

（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标

系的作用。

（2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平

面图形的变化情况.

（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系

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和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐

标的互化。

（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点

或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面

直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标

系的意义.

（5）借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度

等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并

与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别。

2。 参数方程

(1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物

运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写

出它们的参数方程。

（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方

便，感受参数方程的优越性。

（4)借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点

的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），

了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程。

（5）通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、

外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程;了解摆线在实际中应用的实

例（例如,最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线—-卡丹转盘，圆

摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与

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设计,星形线与公共汽车门)；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作

用。

3。 完成一个学习总结报告

报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结

构和内容的理解，进一步认识数形结合思想，思考本专题与高中其

他内容之间的联系。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求

教、独立思考，进一步探讨参数方程、摆线的应用.（3）学习本专

题的感受、体会.

说明与建议

1。 坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可

以用有序数组（坐标）来刻画,在不同坐标系中,这些数所体现的几何

含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式.因

此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。

2. 在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明

建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体

实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。

3. 应通过对具体物理现象的分析（如抛物体运动的轨迹)引入参数

方程，使学生了解多数的作用。

4。 应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识,选择

适当的参数建立曲线的参数方程。

5. 可以组织学生成立兴趣小组,合作研究摆线的性质，收集摆线应

用的实例。

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6。 可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、

渐开线等，使学生感受这些曲线的美。


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