2023年12月23日发(作者：2020年南山区数学试卷)

1.1 关于数学建模

一、数学、数学模型、数学建模的定义

二、数学建模过程流程图

三、

数学建模的特点和分类

四、

数学建模的应用和现代科学

五、

历年全国和美国大学生数学建模竞赛

六、

如何学好数学建模

七、

数学建模的例子：火炮的射击、椅子能在不平的地上放稳吗、人中预报问题

一、 数学、数学模型、数学建模的定义

数学――是一门研究数量关系和空间变化关系的学科

数学模型――对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。

数学建模――构造数学模型的过程，利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，得到定量的结果，以供人们作分析、预报、决策和控制。

例1：火炮的射击―――数学建模的大致全过程

模型一：假设不考虑空气的阻力、重力影响――抛物运动

模型二：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度成正比。

模型三：假设不考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。――适用于火炮的射击

模型四：考虑重力影响，并且空气的阻力与速度的平方成正比。―――适用于卫星的发射。

二、数学建模过程流程图

众多的因素（主要和次要）－－合理的假设――建立数学模型――用数学方法(或数学软件)求解模型――检验（得解与实际问题作比较）――修改完善模型。

上述数学建模过程可用流程图表述如下：

三、数学建模的特点和分类

数学建模是一个实践性很强的学科，它具有以下特点：

1

1．

应用领域广，如物理学、力学、工程学、生物学、医学、经济学、军事学、体育运动学等．而不少完全不同的实际问题，在一定的简化层次下，它们的模型是相同或相似的．这就要求我们培养广泛的兴趣，拓宽知识面，从而发展联想能力，通过对各种问题的分析、研究、比较，逐步达到触类旁通的境界．

2．

需要各种数学知识，应用已学到的数学方法和思想进行综合应用和分析，进行合理的抽象及简化的能力如微分方程、运筹学、概率统计、图论、层次分析、变分法等，去描述和解决实际问题．

3．

需要各种技术手段的配合，如查阅各种文献资料、使用计算机和各种数学软件包等．

4．

与求解数学题目的差别．求解数学题目往往有唯一正确的答案，而数学建模没有唯一正确的答案。对同一个实际问题可能建立起基干不同的模型，模型无所谓对与错，评价模型优劣的唯一标准是实践。

5．

建立的数学模型与建模的目的有关。对同一个实际对象，建模之不同导致建模的侧重点和出发点也不同。

按研究对象的实际领域（或所属学科）分类：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

按研究方法和对象的数学特征分类：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。

四、数学建模的应用和现代科学

1． 数学建模竞赛：从初中、高中、大学、研究生，从校、市、省、全国、美国等。

2． 数学建模的课程的建设：从高中、大学、研究生，如清华大学、美国西点军校等。

3． 数学和计算机的关系：他们的结合已经形成一种所谓的“数学技术”，在社会的经济发展中起着举足轻重的作用。美国科学院院士James G

Glimm教授广泛地从美国的主要工业部门对数学的依赖性，从数学在产品周期的每一个环节中扮演的角色，从数学科学对建立技术基础并产生巨大经济效益的贡献分析之后，指出“数学科学对经济竞争力生死悠关，数学是关键的、普适的、培养能力的技术”。

4． 例子：

(1) 计算机、日本、地震、海啸的预测。中国的

具体而言，继联想深腾4万亿次高性能计算机之后，曙光4000A超级计算机突破每秒11万亿次大关，位居2004年超级计算机TOP500排行榜的第十位，使中国成为继美国和日本之后第三个能制造和应用10万亿次以上超级计算机的国家。但是在计算机的应用，中国远落后于其它国家。

(2) 石油管道的建设。

该石油管线全长4118公里(2559英里)，从西伯利亚伊尔库次克的亚泰舍特一直延伸到纳霍德卡港，中间将建设44个石油泵站，年输送石油达8000万吨。据初步估计，整个工程造价将高达150亿美元，但也有分析家称造价可能达160亿美元甚至更多。

2

1.2历年全国和美国大学生数学建模竞赛和我校数学建模竞赛成绩

全国赛题目

1994年（逢山开路，锁具装箱）

1995年（一个飞行管理模型，天车与冶炼炉的作业调度）

1996年（最优捕鱼策略，节水洗衣机）

1997年（零件的参数设计，截断切割）

1998年（投资的收益和风险，灾情巡视路线）

1999年（自动化车床管理，钻井布局）

2000年（DNA序列分类，钢管订购与运输）

2001年（血管的三维重建，公交车调度）

2002年（车灯线光源的优化设计，彩票中的数学）

2003年（SARS的传播，露天矿生产的车辆安排）

2004年（奥运会临时超市网点设计，电力市场的输电阻塞管理）

例子：2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

A题 SARS的传播

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

3

奖项 全 国 全 国 广 东 广 东 美 国 美 国

年

1999

2000

2001

2002

2003

2004

合计

年华南师大

份 一 二

00

01

02

03

04

合计

1

2

0

3

1

7

6

2

2

4

3

17

一等奖 二等奖 一等奖 二等奖 二等奖 三等奖

0

1

2

0

3

1

7

1

6

2

2

4

3

18

华东师大

1

7

4

2

7

5

26

5

5

3

4

1

3

18

陕西师大

--

--

--

1

1

3

5

--

--

--

1

1

1

3

东北师大 西北师大

北京师大 南京师大 西南师大

一

１

１

１

３

６

二

０

０

３

３

６

一

０

０

０

０

０

二

０

０

０

１

１

一

０

０

１

０

１

二

０

２

３

０

５

一

０

０

２

０

２

二

１

１

４

０

６

一

０

０

０

０

０

二

０

２

０

１

３

一

０

０

０

０

０

二

０

０

０

１

１

一

0

1

1

0

2

二

0

1

1

0

2

学生在学校、在公司找工作，都大受欢迎。

1.3 如何学好数学建模

数学建模课程的设置，主要是要提高学生综合素质，推动高校教学改革。

主要是培养学生的“三种能力”：(1) 培养大学生运用数学建模的方法和步骤来解决实际问题的能力；(2)培养大学生应用计算机软件和程序设计语言求解数学模型的能力；(3)培养大学生写作论文的能力。

因此上课，我们注重“三项内容”：在数学建模教学和培训中介绍数学软件的使用（平时自己要上机）；系统介绍数学模型的主要类型和方法；让学生在讲、练、写当中积累数学建模的实际经验。

这说明，数学建模是一门实践的学科，上课的方式与其它的如数学分析等理论课完全不同。

1．上课并不完全按书上照讲，可能会删除或增加内容。

2．一章的基本过程：

引入实例――建立数学模型――讲授相应的数学理论――讲授相应的数学软件知识――用数学软件求解实例。

3．它是一门实践的课程。注重上机、编写程序等以上三种能力的培养。

1. 兴趣：兴趣是成功之母。数学建模竞赛比较辛苦，三天三夜的比赛。

2. 有一定的数学基础。

3. 数学软件的运用。要熟练。

4

4. 查找资料的能力。

5. 自己动手撰写数学建模的论文。

6. 成立数学建模兴趣小组？有兴趣的同学可以。

七、例子：椅子能在不平的地面上放稳吗？

把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。

一、 模型假设

对椅子和地面都要作一些必要的假设：

1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。

2、 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

3、 对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

二、模型建立

中心问题是数学语言表示四只脚同时着地的条件、结论。

首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量来表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。

由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为f，B、D两脚与地面距离之和为g，显然f、g0，

B B

A

C A x

C

D

D

g至少有一个为0。由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知f、当0时，不妨设g0,f0，这样改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为如下命题：

5

命题 已知f、g是的连续函数，对任意，f*g=0，且g00,f00，则存在0，使g0f00。

三、模型求解

将椅子旋转900，对角线AC和BD互换，由g00,f00可知g20,f20。令hgf，则h00,h20，由f、g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，必存在0002使h00，g0f0，由g0*f00，所以g0f00。

四、评 注

模型巧妙在于用已元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转900并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。

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