2024年4月8日发(作者：河北省会考数学试卷讲解)
人教A版高中数学必修第二册全册课时练习
6.1 平面向量的概念 .............................................................................................................. - 2 -
6.2.1 向量的加法运算 ........................................................................................................ - 5 -
6.2.2 向量的减法运算 ........................................................................................................ - 8 -
6.2.3 向量的数乘运算 ...................................................................................................... - 11 -
6.2.4 向量的数量积............................................................................................................ - 14 -
6.3.1 平面向量基本定理 .................................................................................................... - 18 -
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 ............................................................................ - 21 -
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 ............................................................................ - 21 -
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 .............................................................................. - 24 -
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 .................................................................................. - 27 -
6．4 平面向量的应用 ........................................................................................................ - 30 -
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 ...................................................................................... - 34 -
7.1.2 复数的几何意义 ...................................................................................................... - 37 -
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 .......................................................................... - 39 -
7.2.2 复数的乘、除运算 .................................................................................................. - 43 -
8.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 ................................................................................ - 46 -
8.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 ................................................ - 49 -
8.2 立体图形的直观图 ........................................................................................................ - 51 -
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 ...................................................................... - 55 -
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 .............................................................. - 59 -
8.4.1 平面 ......................................................................................................................... - 62 -
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 .................................................................. - 66 -
8.5.1 直线与直线平行 ...................................................................................................... - 69 -
8.5.2 直线与平面平行 ...................................................................................................... - 73 -
8.5.3 平面与平面平行 ...................................................................................................... - 76 -
8.6.1 直线与直线垂直 ...................................................................................................... - 80 -
8.6.2 直线与平面垂直 ...................................................................................................... - 85 -
8.6.3 平面与平面垂直 ....................................................................................................... - 89 -
9.1.1 简单随机抽样 ........................................................................................................... - 94 -
9.1.2 分层随机抽样 ............................................................................................................. - 96 -
9.1.3 获取数据的途径 ......................................................................................................... - 96 -
9.2.1 总体取值规律的估计 ............................................................................................. - 100 -
9.2.2 总体百分位数的估计 ............................................................................................... - 105 -
9.2.3 总体集中趋势的估计 ............................................................................................... - 105 -
9.2.4 总体离散程度的估计 ............................................................................................... - 105 -
10.1.1 有限样本空间与随机事件.................................................................................... - 110 -
10.1.2 事件的关系和运算 ............................................................................................... - 112 -
10.1.3 古典概型 ............................................................................................................... - 115 -
10.1.4 概率的基本性质 ................................................................................................... - 118 -
10.2 事件的相互独立性 .................................................................................................. - 121 -
10.3 频率与概率 .............................................................................................................. - 126 -
6.1 平面向量的概念
一、选择题
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中
不是向量的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】一个量是不是向量，就是看它是否同时具备向量的两个要素：大小和方向．由于速
度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只
有大小而没有方向，所以不是向量．
【答案】D
2．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量
a
共线的单位向量是.
|
a
|
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量
a
共线的单
位向量是或－，故④也是错误的．
|
a
||
a
|
【答案】D
3．如图，等腰梯形
ABCD
中，对角线
AC
与
BD
交于点
P
，点
E
，
F
分别在两腰
AD
，
BC
上，
EF
过点
P
，且
EF
∥
AB
，则( )
a
aa
→→→→→→→→
A.
AD
＝
BC
B.
AC
＝
BD
C.
PE
＝
PF
D.
EP
＝
PF
→→
【解析】由平面几何知识知，
AD
与
BC
方向不同，
→→→→→→
故
AD
≠
BC
；
AC
与
BD
方向不同，故
AC
≠
BD
；
→→→→
PE
与
PF
的模相等而方向相反，故
PE
≠
PF
.
→→→→
EP
与
PF
的模相等且方向相同，∴
EP
＝
PF
.
【答案】D
→→→→
4．若|
AB
|＝|
AD
|且
BA
＝
CD
，则四边形
ABCD
的形状为( )
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
→→→→
【解析】由
BA
＝
CD
，知
AB
＝
CD
且
AB
∥
CD
，即四边形
ABCD
为平行四边形．又因为|
AB
|＝|
AD
|，
所以四边形
ABCD
为菱形．
【答案】C
二、填空题
→
5．如图，已知正方形
ABCD
的边长为2，
O
为其中心，则|
OA
|＝________.
→
【解析】因为正方形的对角线长为22，所以|
OA
|＝2.
【答案】2
6.
如图，四边形
ABCD
是平行四边形，
E
，
F
分别是
AD
与
BC
的中点，则在以
A
、
B
、
C
、
D
四点中
→
的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量
EF
方向相反的向量为________．
→→→→→
【解析】因为
AB
∥
EF
，
CD
∥
EF
，所以与
EF
平行的向量为
DC
，
CD
，
AB
，
BA
，其中方向相反的向
→→
量为
BA
，
CD
.
→→
【答案】
BA
，
CD
7．给出下列命题：
→→
①若
AB
＝
DC
，则
A
、
B
、
C
、
D
四点是平行四边形的四个顶点；
→→
②在▱
ABCD
中，一定有
AB
＝
DC
；
③若
a
＝
b
，
b
＝
c
，则
a
＝
c
；
④若
a
∥
b
，
b
∥
c
，则
a
∥
c
.
其中所有正确命题的序号为________．
→→→
【解析】
AB
＝
DC
，
A
、
B
、
C
、
D
四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱
ABCD
中，|
AB
|＝
→→→→→
|
DC
|，
AB
与
DC
平行且方向相同，故
AB
＝
DC
，故②正确；
a
＝
b
，则|
a
|＝|
b
|，且
a
与
b
方向相
同；
b
＝
c
，则|
b
|＝|
c
|，且
b
与
c
方向相同，则
a
与
c
长度相等且方向相同，故
a
＝
c
，故③
正确；对于④，当
b
＝0时，
a
与
c
不一定平行，故④不正确．
【答案】②③
三、解答题
8．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量
a
.
(1)试以
B
为起点画一个向量
b
，使
b
＝
a
；
(2)画一个以
C
为起点的向量
c
，使|
c
|＝2，并说出
c
的终点的轨迹是什么．
【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量
b
应与
a
同向，且长度相等，如下图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量
c
，所有这样的向量
c
的终点的轨迹是以点
C
为圆心，
2为半径的圆，如下图所示．
9．一辆汽车从
A
点出发向西行驶了100千米到达
B
点，然后又改变了方向向北偏西40°走了
200千米到达
C
点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达
D
点．
→→→
(1)作出向量
AB
，
BC
，
CD
；
→
(2)求|
AD
|.
【解析】(1)如图所示．
→→
(2)由题意，易知
AB
与
CD
方向相反，
→→
故
AB
与
CD
共线，即
AB
∥
CD
.
→→
又|
AB
|＝|
CD
|，
所以四边形
ABCD
为平行四边形．
→→
所以|
AD
|＝|
BC
|＝200(千米)．
→→→→→→
10．如图，在△
ABC
中，已知向量
AD
＝
DB
，
DF
＝
EC
，求证：
AE
＝
DF
.
→→
证明：由
DF
＝
EC
，可得
DF
＝
EC
且
DF
∥
EC
，
故四边形
CEDF
是平行四边形，从而
DE
∥
FC
.
→→
∵
AD
＝
DB
，∴
D
为
AB
的中点．
→→→→
∴
AE
＝
EC
，∴
AE
＝
DF
.
6.2.1 向量的加法运算
一、选择题
→→→
1．点
O
是平行四边形
ABCD
的两条对角线的交点，则
AO
＋
OC
＋
CB
等于( )
→→→→
A.
AB
B.
BC
C.
CD
D.
DA
→→→→→→
【解析】因为点
O
是平行四边形
ABCD
的两条对角线的交点，则
AO
＋
OC
＋
CB
＝
AC
＋
CB
＝
AB
.故
选A.
【答案】A
2．设
a
表示“向东走5 km”，
b
表示“向南走5 km”，则
a
＋
b
表示( )
A．向东走10 km B．向南走10 km
C．向东南走10 km D．向东南走52 km
【解析】
→→→→
如图所示，
AC
＝
a
＋
b
，|
AB
|＝5，|
BC
|＝5，且
AB
⊥
BC
，则|
AC
|＝52，∠
BAC
＝45°.
【答案】D
3．已知向量
a
∥
b
，且|
a
|>|
b
|>0，则向量
a
＋
b
的方向( )
A．与向量
a
方向相同 B．与向量
a
方向相反
C．与向量
b
方向相同 D．不确定
【解析】如果
a
和
b
方向相同，则它们的和的方向应该与
a
(或
b
)的方向相同；如果它们的方
向相反，而
a
的模大于
b
的模，则它们的和的方向与
a
的方向相同．
【答案】A
→→
4．如图所示的方格纸中有定点
O
，
P
，
Q
，
E
，
F
，
G
，
H
，则
OP
＋
OQ
＝( )
→→→→
A.
OH
B.
OG
C.
FO
D.
EO
→→
【解析】设
a
＝
OP
＋
OQ
，以
OP
，
OQ
为邻边作平行四边形，则
OP
与
OQ
之间的对角线对应的向
→→→→→→→
量即向量
a
＝
OP
＋
OQ
，由
a
和
FO
长度相等，方向相同，得
a
＝
FO
，即
OP
＋
OQ
＝
FO
.
【答案】C
二、填空题
→→→
5．在△
ABC
中，
AB
＝
a
，
BC
＝
b
，
CA
＝
c
，则
a
＋
b
＋
c
＝________.
→→→→→→
【解析】由向量加法的三角形法则，得
AB
＋
BC
＝
AC
，即
a
＋
b
＋
c
＝
AB
＋
BC
＋
CA
＝0.
【答案】0
→→→→→
6．化简(
AB
＋
MB
)＋(
BO
＋
BC
)＋
OM
＝________.
→→→→→→→→→→→
【解析】原式＝(
AB
＋
BO
)＋(
OM
＋
MB
)＋
BC
＝
AO
＋
OB
＋
BC
＝
AB
＋
BC
＝
AC
.
→
【答案】
AC
→→→
7．在菱形
ABCD
中，∠
DAB
＝60°，|
AB
|＝1，则|
BC
＋
CD
|＝________.
【解析】在菱形
ABCD
中，连接
BD
，
∵∠
DAB
＝60°，∴△
BAD
为等边三角形，
→→→→→
又∵|
AB
|＝1，∴|
BD
|＝1，|
BC
＋
CD
|＝|
BD
|＝1.
【答案】1
三、解答题
8．如图，已知向量
a
、
b
，求作向量
a
＋
b
.
→→→
【解析】(1)作
OA
＝
a
，
AB
＝
b
，则
OB
＝
a
＋
b
，如图(1)；
→→→
(2)作
OA
＝
a
，
AB
＝
b
，则
OB
＝
a
＋
b
，如图(2)；
→→→
(3)作
OA
＝
a
，
AB
＝
b
，则
OB
＝
a
＋
b
，如图(3)．
9.
如图所示，设
O
为正六边形
ABCDEF
的中心，作出下列向量：
→→
(1)
OA
＋
OC
；
→→
(2)
BC
＋
FE
.
→
【解析】(1)由图可知，四边形
OABC
为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得
OA
→→
＋
OC
＝
OB
.
→→→→→→→→→
(2)由图可知，
BC
＝
FE
＝
OD
＝
AO
，所以
BC
＋
FE
＝
AO
＋
OD
＝
AD
.
10．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角
分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．
【解析】如图，作▱
OACB
，
使∠
AOC
＝30°，∠
BOC
＝60°，
则∠
ACO
＝∠
BOC
＝60°，∠
OAC
＝90°.
→→→→
设向量
OA
，
OB
分别表示两根绳子的拉力，则
CO
表示物体所受的重力，且|
OC
|＝300 N.
→→
所以|
OA
|＝|
OC
|cos 30°＝1503(N)，
→→
|
OB
|＝|
OC
|cos 60°＝150 (N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
6.2.2 向量的减法运算
一、选择题
1．下列运算中正确的是( )
→→→→→→
A.
OA
－
OB
＝
AB
B.
AB
－
CD
＝
DB
→→→→→
C.
OA
－
OB
＝
BA
D.
AB
－
AB
＝0
→→→
【解析】根据向量减法的几何意义，知
OA
－
OB
＝
BA
，所以C正确，A错误；B显然错误；对于
→→
D，
AB
－
AB
应该等于0，而不是0.
【答案】C
→
2．下列四式中不能化简为
PQ
的是( )
→→→→→→→
A.
AB
＋(
PA
＋
BQ
) B．(
AB
＋
PC
)＋(
BA
－
QC
)
→→→→→→
C.
QC
－
QP
＋
CQ
D.
PA
＋
AB
－
BQ
→→→→→→→→
【解析】D中，
PA
＋
AB
－
BQ
＝
PB
－
BQ
＝
PB
＋
QB
不能化简为
PQ
，其余选项皆可．
【答案】D
→→
3．在△
ABC
中，
D
是
BC
边上的一点，则
AD
－
AC
等于( )
→→
A.
CB
B.
BC
→→
C.
CD
D.
DC
→→→
【解析】在△
ABC
中，
D
是
BC
边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得
AD
－
AC
＝
CD
.
【答案】C
→→→→
4．如图，在四边形
ABCD
中，设
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，
BC
＝
c
，则
DC
＝( )
A．
a
－
b
＋
c
B．
b
－(
a
＋
c
)
C．
a
＋
b
＋
c
D．
b
－
a
＋
c
→→→→
【解析】
DC
＝
DA
＋
AB
＋
BC
＝
a
－
b
＋
c
.
【答案】A
二、填空题
→→→
5.
EF
＋
DE
－
DB
＝________.
→→→→→→
【解析】
EF
＋
DE
－
DB
＝
EF
＋
BE
＝
BF
.
→
【答案】
BF
6．若
a
，
b
为相反向量，且|
a
|＝1，|
b
|＝1，则|
a
＋
b
|＝________，|
a
－
b
|＝________.
【解析】若
a
，
b
为相反向量，则
a
＋
b
＝0，所以|
a
＋
b
|＝0，又
a
＝－
b
，所以|
a
|＝|－
b
|＝1，
因为
a
与－
b
共线同向，所以|
a
－
b
|＝2.
【答案】0 2
→→→→→→
7．设点
M
是线段
BC
的中点，点
A
在直线
BC
外，且|
BC
|＝4，|
AB
＋
AC
|＝|
AB
－
AC
|，则|
AM
|
＝________.
→→→→
【解析】以
AB
，
AC
为邻边作平行四边形
ACDB
，由向量加减法几何意义可知，
AD
＝
AB
＋
AC
，
CB
→→→→→→→→→
＝
AB
－
AC
，∵|
AB
＋
AC
|＝|
AB
－
AC
|，平行四边形
ABCD
为矩形，∴|
AD
|＝|
CB
|，又|
BC
|＝4，
M
是线段
BC
的中点，
→
1
→
1
→
∴|
AM
|＝|
AD
|＝|
BC
|＝2.
22
【答案】2
三、解答题
8．如图，已知向量
a
，
b
，
c
不共线，求作向量
a
＋
b
－
c
.
→→→→
【解析】方法一：如图①，在平面内任取一点
O
，作
OA
＝
a
，
AB
＝
b
，则
OB
＝
a
＋
b
，再作
OC
＝
c
，
→
则
CB
＝
a
＋
b
－
c
.
→→→→
方法二：如图②，在平面内任取一点
O
，作
OA
＝
a
，
AB
＝
b
，则
OB
＝
a
＋
b
，再作
CB
＝
c
，连接
OC
，
→
则
OC
＝
a
＋
b
－
c
.
9．化简下列各式：
→→→→
(1)(
AB
＋
MB
)＋(－
OB
－
MO
)；
→→→
(2)
AB
－
AD
－
DC
.
→→→→→→→→→→→
【解析】(1)方法一 原式＝
AB
＋
MB
＋
BO
＋
OM
＝(
AB
＋
BO
)＋(
OM
＋
MB
)＝
AO
＋
OB
＝
AB
.
→→→→
方法二 原式＝
AB
＋
MB
＋
BO
＋
OM
→→→→→→→→→
＝
AB
＋(
MB
＋
BO
)＋
OM
＝
AB
＋
MO
＋
OM
＝
AB
＋0＝
AB
.
→→→
(2)方法一 原式＝
DB
－
DC
＝
CB
.
→→→→→→
方法二 原式＝
AB
－(
AD
＋
DC
)＝
AB
－
AC
＝
CB
.
10．如图，解答下列各题：
→
(1)用
a
，
d
，
e
表示
DB
；
→
(2)用
b
，
c
表示
DB
；
→
(3)用
a
，
b
，
e
表示
EC
；
→
(4)用
d
，
c
表示
EC
.
→→→→→
【解析】由题意知，
AB
＝
a
，
BC
＝
b
，
CD
＝
c
，
DE
＝
d
，
EA
＝
e
，则
→→→→
(1)
DB
＝
DE
＋
EA
＋
AB
＝
a
＋
d
＋
e
.
→→→→→
(2)
DB
＝
CB
－
CD
＝－
BC
－
CD
＝－
b
－
c
.
→→→→
(3)
EC
＝
EA
＋
AB
＋
BC
＝
a
＋
b
＋
e
.
→→→→
(4)
EC
＝－
CE
＝－(
CD
＋
DE
)＝－
c
－
d
.
6.2.3 向量的数乘运算
一、选择题
1．4(
a
－
b
)－3(
a
＋
b
)－
b
等于( )
A．
a
－2
b
B．
a
C．
a
－6
b
D．
a
－8
b
【解析】原式＝4
a
－4
b
－3
a
－3
b
－
b
＝
a
－8
b
.
【答案】D
→→→
2．点
C
在直线
AB
上，且
AC
＝3
AB
，则
BC
等于( )
→
1
→
A．－2
AB
B.
AB
3
→
1
→
C．－
AB
D．2
AB
3
→→→→
【解析】如图，
AC
＝3
AB
，所以
BC
＝2
AB
.
【答案】D
3．已知向量
a
，
b
是两个不共线的向量，且向量
ma
－3
b
与
a
＋(2－
m
)
b
共线，则实数
m
的值
为( )
A．－1或3 B.3
C．－1或4 D．3或4
－3
【解析】因为向量
ma
－3
b
与
a
＋(2－
m
)
b
共线，且向量
a
，
b
是两个不共线的向量，所以
m
＝，
2－
m
解得
m
＝－1或
m
＝3.
【答案】A
4.
→→→→→→
如图，已知
AB
＝
a
，
AC
＝
b
，
BD
＝3
DC
，用
a
，
b
表示
AD
，则
AD
＝( )
3
A．
a
＋
b
4
31
B.
a
＋
b
44
11
C.
a
＋
b
44
13
D.
a
＋
b
44
→→→→
3
→→
3
→→
1
→
3
→
13
【解析】
AD
＝
AB
＋
BD
＝
AB
＋
BC
＝
AB
＋(
AC
－
AB
)＝
AB
＋
AC
＝
a
＋
b
.
444444
【答案】D
二、填空题
5．已知|
a
|＝4，|
b
|＝8，若两向量方向同向，则向量
a
与向量
b
的关系为
b
＝________
a
.
【解析】由于|
a
|＝4，
b
＝8，则|
b
|＝2|
a
|，又两向量同向，故
b
＝2
a
.
【答案】2
→→→→
AC
3
6．点
C
在线段
AB
上，且＝，则
AC
＝________
AB
，
BC
＝________
AB
.
CB
2
→→→→
AC
3
AC
3
【解析】因为
C
在线段
AB
上，且＝，所以
AC
与
AB
方向相同，
BC
与
AB
方向相反，且＝，
CB
2
AB
5
→
3
→→
BC
22
→
＝，所以
AC
＝
AB
，
BC
＝－
AB
.
AB
555
32
【答案】 －
55
7．已知向量
a
，
b
满足|
a
|＝3，|
b
|＝5，且
a
＝
λb
，则实数
λ
的值是________．
【解析】由
a
＝
λb
，得|
a
|＝|
λb
|＝|
λ
||
b
|.∵|
a
|＝3，|
b
|＝5，
33
∴|
λ
|＝，即
λ
＝±.
55
3
【答案】±
5
三、解答题
8．计算
111
(1)(
a
＋2
b
)＋(3
a
－2
b
)－(
a
－
b
)；
342
1
(2)
2
3
a
＋2
b
7
2
7
13
－
a
－
b
－
a
＋
b
＋
a
.
3
6
27
6
131
211
【解析】(1)原式＝
＋－
a
＋
－＋
b
342
322
72
＝
a
＋
b
.
123
1
7
7
3
(2)原式＝
a
＋
b
－
a
＋
b
2
3
6
7
7171
＝
a
＋
b
－
a
－
b
＝0.
6262
→→
9．已知
E
，
F
分别为四边形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
的中点，设
BC
＝
a
，
DA
＝
b
，试用
a
，
b
表示
→
EF
.
【解析】如图所示，取
AB
的中点
P
，连接
EP
，
FP
.
在△
ABC
中，
EP
是中位线，
→
1
→
1
所以
PE
＝
BC
＝
a
.
22
→
1
→
1
→
1
在△
ABD
中，
FP
是中位线，所以
PF
＝
AD
＝－
DA
＝－
b
.
222
→→→→→
111
在△
EFP
中，
EF
＝
EP
＋
PF
＝－
PE
＋
PF
＝－
a
－
b
＝－(
a
＋
b
)．
222
→→→
10．已知
e
，
f
为两个不共线的向量，若四边形
ABCD
满足
AB
＝
e
＋2
f
，
BC
＝－4
e
－
f
，
CD
＝－
5
e
－3
f
.
→
(1)用
e
、
f
表示
AD
；
(2)证明：四边形
ABCD
为梯形．
→→→→
【解析】(1)
AD
＝
AB
＋
BC
＋
CD
＝(
e
＋2
f
)＋(－4
e
－
f
)＋(－5
e
－3
f
)＝(1－4－5)
e
＋(2－1－3)
f
＝－8
e
－2
f
.
→→
(2)证明：因为
AD
＝－8
e
－2
f
＝2(－4
e
－
f
)＝2
BC
，
→→→→
所以
AD
与
BC
方向相同，且
AD
的长度为
BC
的长度的2倍，
即在四边形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，且
AD
≠
BC
，
所以四边形
ABCD
是梯形．
6.2.4 向量的数量积
一、选择题
1．若|
m
|＝4，|
n
|＝6，
m
与
n
的夹角为45°，则
m
·
n
＝( )
A．12 B．122
C．－122 D．－12
【解析】
m
·
n
＝|
m
||
n
|cos
θ
＝4×6×cos 45°＝24×
【答案】B
2
＝122.
2
2．已知
a
·
b
＝－122，|
a
|＝4，
a
和
b
的夹角为135°，则|
b
|＝( )
A．12 B．3
C．6 D．33
【解析】
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos 135°＝－122，又|
a
|＝4，解得|
b
|＝6.
【答案】C
3．已知向量
a
，
b
满足|
a
|＝2，|
b
|＝3，
a
·(
b
－
a
)＝－1，则
a
与
b
的夹角为( )
ππ
A. B.
64
ππ
C. D.
32
【解析】因为|
a
|＝2，
a
·(
b
－
a
)＝－1，
所以
a
·(
b
－
a
)＝
a
·
b
－
a
＝
a
·
b
－2＝－1，
所以
a
·
b
＝3.又因为|
b
|＝3，设
a
与
b
的夹角为
θ
，
22
a
·
b
31
则cos
θ
＝＝＝.
|
a
||
b
|2×32
又
θ
∈[0，π]，所以
θ
＝
【答案】C
4．若
a
·
b
＞0，则
a
与
b
的夹角
θ
的取值范围是( )
π
.
3
π
π
A.
0，
B.
，π
2
2
C.
π
，π
D.
π
，π
2
2
π
【解析】因为
a
·
b
＞0，所以cos
θ
＞0，所以
θ
∈
0，
.
2
【答案】A
二、填空题
→→
5．如图所示，在Rt△
ABC
中，∠
A
＝90°，
AB
＝1，则
AB
·
BC
的值是________．
→→→→→→→→
【解析】方法一
AB
·
BC
＝|
AB
||
BC
|cos(180°－∠
B
)＝－|
AB
||
BC
|cos∠
B
＝－|
AB
||
BC
→
→
|
AB
|
|·＝－|
AB
|2＝－1.
→
|
BC
|
→→→→→→→→→
方法二 |
BA
|＝1，即
BA
为单位向量，
AB
·
BC
＝－
BA
·
BC
＝－|
BA
||
BC
|cos∠
B
，而|
BC
|·cos∠
B
→→→→
＝|
BA
|，所以
AB
·
BC
＝－|
BA
|2＝－1.
【答案】－1
6．已知向量
a
，
b
满足|
a
|＝1，|
b
|＝4，且
a
·
b
＝2，则
a
与
b
的夹角为________．
a
·
b
21
【解析】设
a
与
b
的夹角为
θ
，cos
θ
＝＝＝，又因为
θ
∈[0，π]，所以
θ
|
a
|·|
b
|1×42
π
＝.
3
π
【答案】
3
π
7．已知|
a
|＝3，向量
a
与
b
的夹角为，则
a
在
b
方向上的投影为________．
3
π3
【解析】向量
a
在
b
方向上的投影为|
a
|cos
θ
＝3×cos＝.
32
3
【答案】
2
三、解答题
8．已知|
a
|＝3，|
b
|＝4，
a
与
b
的夹角为120°，求：
(1)
a
－
b
2；
(2)(2
a
－
b
)·(
a
＋3
b
)．
【解析】(1)
a
－
b
＝|
a
|－|
b
|＝3－4＝－7.
(2)(2
a
－
b
)·(
a
＋3
b
)＝2
a
＋5
a
·
b
－3
b
＝2|
a
|＋5|
a
||
b
|·cos 120°－3|
b
|＝2×3＋
22222
222222
2
1
5×3×4×
－
－3×42＝－60.
2
π
9．(1)已知|
a
|＝|
b
|＝5，向量
a
与
b
的夹角为，求|
a
＋
b
|，|
a
－
b
|，|3
a
＋
b
|；
3
(2)已知|
a
|＝|
b
|＝5，且|3
a
－2
b
|＝5，求|3
a
＋
b
|的值；
π
(3)如图，已知在▱
ABCD
中，
AB
＝3，
AD
＝1，∠
DAB
＝，求对角线
AC
和
BD
的长．
3
π125
【解析】(1)
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos＝5×5×＝，
322
∴|
a
＋
b
|＝
＝
a
＋
b
2＝|
a
|
2
＋2
a
·
b
＋|
b
|
2
25
25＋2×＋25＝53，
2
|
a
－
b
|＝
|3
a
＋
b
|＝
a
－
b
3
a
＋
b
2
2
＝|
a
|＋|
b
|－2
a
·
b
＝25＝5，
2＝9
a
＋
b
＋6
a
·
b
＝325＝513.
22
22
22
(2)∵|3
a
－2
b
|＝9|
a
|－12
a
·
b
＋4|
b
|＝9×25－12
a
·
b
＋4×25＝325－12
a
·
b
，又|3
a
－2
b
|
＝5，∴325－12
a
·
b
＝25，则
a
·
b
＝25.
∴|3
a
＋
b
|＝(3
a
＋
b
)＝9
a
＋6
a
·
b
＋
b
＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3
a
＋
b
|＝20.
→→
π
(3)设
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，则|
a
|＝3，|
b
|＝1，
a
与
b
的夹角
θ
＝.
3
3
∴
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos
θ
＝.
2
→→
又∵
AC
＝
a
＋
b
，
DB
＝
a
－
b
，
→
∴|
AC
|＝
→
|
DB
|＝
→
→
2222
AC
2 ＝
a
＋
b
a
－
b
2
2
＝
a
＋2
a
·
b
＋
b
＝13，
22
22
DB
2 ＝＝
a
－2
a
·
b
＋
b
＝7.
∴
AC
＝13，
BD
＝7.
10．已知|
a
|＝2|
b
|＝2，且向量
a
在向量
b
方向上的投影为－1.
(1)求
a
与
b
的夹角
θ
；
(2)求(
a
－2
b
)·
b
；
(3)当
λ
为何值时，向量
λa
＋
b
与向量
a
－3
b
互相垂直？
【解析】(1)由题意知|
a
|＝2，|
b
|＝1.
又
a
在
b
方向上的投影为|
a
|cos
θ
＝－1，
12π
∴cos
θ
＝－，∴
θ
＝.
23
(2)易知
a
·
b
＝－1，则(
a
－2
b
)·
b
＝
a
·
b
－2
b
＝－1－2＝－3.
(3)∵
λa
＋
b
与
a
－3
b
互相垂直，
∴(
λa
＋
b
)·(
a
－3
b
)＝
λa
－3
λa
·
b
＋
b
·
a
－3
b
＝4
λ
＋3
λ
－1－3＝7
λ
－4＝0，
4
∴
λ
＝.
7
22
2
6.3.1 平面向量基本定理
一、选择题
1．已知向量
a
＝
e
1
－2
e
2
，
b
＝2
e
1
＋
e
2
，其中
e
1
，
e
2
不共线，则
a
＋
b
与
c
＝6
e
1
－2
e
2
的关系是( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不确定
【解析】∵
a
＋
b
＝3
e
1
－
e
2
，
∴
c
＝2(
a
＋
b
)．∴
a
＋
b
与
c
共线．
【答案】B
→→→→
2．已知
AD
是△
ABC
的中线，
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，以
a
，
b
为基底表示
AC
，则
AC
＝( )
1
A.(
a
－
b
) B．2
b
－
a
2
1
C.(
b
－
a
) D．2
b
＋
a
2
→
1
→→→→
【解析】如图，
AD
是△
ABC
的中线，则
D
为线段
BC
的中点，从而
AD
＝(
AB
＋
AC
)，则
AC
＝2
AD
2
→
－
AB
＝2
b
－
a
.
【答案】B
→→
3．在正方形
ABCD
中，
AC
与
CD
的夹角等于( )
A．45° B．90°
C．120° D．135°
【解析】如图所示，
→→→→→→
将
AC
平移到
CE
，则
CE
与
CD
的夹角即为
AC
与
CD
的夹角，夹角为135°.
【答案】D
→→→→
4．若
D
点在三角形
ABC
的边
BC
上，且
CD
＝4
DB
＝
rAB
＋
sAC
，则3
r
＋
s
的值为( )
1612
A. B.
55
84
C. D.
55
→→→→
【解析】∵
CD
＝4
DB
＝
rAB
＋
sAC
，
→
4
→
4
→→→→
∴
CD
＝
CB
＝(
AB
－
AC
)＝
rAB
＋
sAC
，
55
44
∴
r
＝，
s
＝－.
55
1248
∴3
r
＋
s
＝－＝.
555
【答案】C
二、填空题
5．已知向量
a
，
b
是一组基底，实数
x
，
y
满足(3
x
－4
y
)
a
＋(2
x
－3
y
)
b
＝6
a
＋3
b
，则
x
－
y
的
值为________．
【解析】因为
a
，
b
是一组基底，所以
a
与
b
不共线，
因为(3
x
－4
y
)
a
＋(2
x
－3
y
)
b
＝6
a
＋3
b
，
3
x
－4
y
＝6，
所以
2
x
－3
y
＝3，
解得
x
＝6，
y
＝3，
所以
x
－
y
＝3.
【答案】3
→→→→
6．已知
O
，
A
，
B
是平面上的三个点，直线
AB
上有一点
C
，满足2
AC
＋
CB
＝0，若
OA
＝
a
，
OB
＝
→→
b
，用
a
，
b
表示向量
OC
，则
OC
＝________.
→→→→→→→→→→→→→→
【解析】
AC
＝
OC
－
OA
，
CB
＝
OB
－
OC
，∵2
AC
＋
CB
＝0，∴2(
OC
－
OA
)＋(
OB
－
OC
)＝0，∴
OC
＝2
OA
→
－
OB
＝2
a
－
b
.
【答案】2
a
－
b
→→→
7．在正方形
ABCD
中，
E
是
DC
边上的中点，且
AB
＝
a
，
AD
＝
b
，则
BE
＝________.
→→→→
1
→
1
【解析】
BE
＝
BC
＋
CE
＝
AD
－
AB
＝
b
－
a
.
22
1
【答案】
b
－
a
2
三、解答题
8．已知
e
1
，
e
2
是平面内两个不共线的向量，
a
＝3
e
1
－2
e
2
，
b
＝－2
e
1
＋
e
2
，
c
＝7
e
1
－4
e
2
，试用
向量
a
和
b
表示
c
.
【解析】因为
a
，
b
不共线，所以可设
c
＝
xa
＋
yb
，
则
xa
＋
yb
＝
x
(3
e
1
－2
e
2
)＋
y
(－2
e
1
＋
e
2
)
＝(3
x
－2
y
)
e
1
＋(－2
x
＋
y
)
e
2
＝7
e
1
－4
e
2
.
又因为
e
1
，
e
2
不共线，
3
x
－2
y
＝7，
所以
－2
x
＋
y
＝－4，
x
＝1，
解得
y
＝－2，
所以
c
＝
a
－2
b
.
→
1
→→
1
→→
1
→→→
9．如图所示，设
M
，
N
，
P
是△
ABC
三边上的点，且
BM
＝
BC
，
CN
＝
CA
，
AP
＝
AB
，若
AB
＝
a
，
AC
333
→→→
＝
b
，试用
a
，
b
将
MN
、
NP
、
PM
表示出来．
→→→
1
→
2
→
12
【解析】
NP
＝
AP
－
AN
＝
AB
－
AC
＝
a
－
b
，
3333
→→→
1
→
2
→
MN
＝
CN
－
CM
＝－
AC
－
CB
33
1221
＝－
b
－(
a
－
b
)＝－
a
＋
b
，
3333
→→→→
1
PM
＝－
MP
＝－(
MN
＋
NP
)＝(
a
＋
b
)．
3
→
3
→
1
→
10．若点
M
是△
ABC
所在平面内一点，且满足：
AM
＝
AB
＋
AC
.
44
(1)求△
ABM
与△
ABC
的面积之比；
→→→
(2)若
N
为
AB
中点，
AM
与
CN
交于点
O
，设
BO
＝
xBM
＋
yBN
，求
x
，
y
的值．
→
3
→
1
→
【解析】(1)由
AM
＝
AB
＋
AC
可知
M
，
B
，
C
三点共线，
44
→→→→→→→→→→→→
1
如图，令
BM
＝
λBC
⇒
AM
＝
AB
＋
BM
＝
AB
＋
λBC
＝
AB
＋
λ
(
AC
－
AB
)＝(1－
λ
)
AB
＋
λAC
⇒
λ
＝
，
4
所以
S
△
ABM
1
＝，即面积之比为14.
S
△
ABC
4
→→→→→
y
→
(2)由
BO
＝
xBM
＋
yBN
⇒
BO
＝
xBM
＋
BA
，
2
y
x
＋＝1，
2
→
x
→
BO
＝
BC
＋
yBN
，由
O
，
M
，
A
三点共线及
O
，
N
，
C
三点共线⇒
4
x
4
＋
y
＝1
4
x
＝，
7
⇒
6
y
＝
7
.
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
一、选择题
1．设
i
，
j
是平面直角坐标系内分别与
x
轴，
y
轴正方向相同的两个单位向量，
O
为坐标原点，
→→→→
若
OA
＝4
i
＋2
j
，
OB
＝3
i
＋4
j
，则2
OA
＋
OB
的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7,6)
C．(5,0) D．(11,8)
→→
【解析】因为
OA
＝(4,2)，
OB
＝(3,4)，
→→
所以2
OA
＋
OB
＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
【答案】D
2．已知向量
a
＝(－1,2)，
b
＝(1,0)，那么向量3
b
－
a
的坐标是( )
A．(－4,2) B．(－4，－2)
C．(4,2) D．(4，－2)
【解析】3
b
－
a
＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．
【答案】D
3．已知向量
a
＝(1,2)，2
a
＋
b
＝(3,2)，则
b
＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
【解析】
b
＝(3,2)－2
a
＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
【答案】A
4．已知向量
i
＝(1,0)，
j
＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量
a
，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数
x
，
y
，使得
a
＝(
x
，
y
)；
②若
x
1
，
x
2
，
y
1
，
y
2
∈R，
a
＝(
x
1
，
y
1
)≠(
x
2
，
y
2
)，则
x
1
≠
x
2
，且
y
1
≠
y
2
；
③若
x
，
y
∈R，
a
＝(
x
，
y
)，且
a
≠0，则
a
的起点是原点
O
；
④若
x
，
y
∈R，
a
≠0，且
a
的终点坐标是(
x
，
y
)，则
a
＝(
x
，
y
)．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】由平面向量基本定理知①正确；若
a
＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向
量可以平移，所以
a
＝(
x
，
y
)与
a
的起点是不是原点无关，故③错误；当
a
的终点坐标是(
x
，
y
)时，
a
＝(
x
，
y
)是以
a
的起点是原点为前提的，故④错误．
【答案】A
二、填空题
5．在平面直角坐标系内，已知
i
、
j
是两个互相垂直的单位向量，若
a
＝
i
－2
j
，则向量用坐
标表示
a
＝________.
【解析】由于
i
，
j
是两个互相垂直的单位向量，所以
a
＝(1，－2)．
【答案】(1，－2)
→→
6．如右图所示，已知
O
是坐标原点，点
A
在第一象限，|
OA
|＝43，∠
xOA
＝60°，则向量
OA
的坐标为________．
→
【解析】设点
A
(
x
，
y
)，则
x
＝|
OA
|·cos 60°＝43cos 60°＝23，
y
＝|
OA
|·sin 60°＝43sin 60°＝6，
→
→
即
A
(23，6)，所以
OA
＝(23，6)．
【答案】(23，6)
→
7．已知向量
a
＝(
x
＋3，
x
－3
x
－4)与
AB
相等，其中
A
(1,2)，
B
(3,2)，则
x
＝________.
2
→
【解析】易得
AB
＝(2,0)，
→
x
＋3＝2，
2
由
a
＝(
x
＋3，
x
－3
x
－4)与
AB
相等得
2
x
－3
x
－4＝0，
解得
x
＝－1.
【答案】－1
三、解答题
→→→
8．如图，取与
x
轴、
y
轴同向的两个单位向量
i
，
j
作为基底，分别用
i
，
j
表示
OA
，
OB
，
AB
，
并求出它们的坐标．
→→→→
【解析】由图形可知，
OA
＝6
i
＋2
j
，
OB
＝2
i
＋4
j
，
AB
＝－4
i
＋2
j
，它们的坐标表示为
OA
＝(6,2)，
→→
OB
＝(2,4)，
AB
＝(－4,2)．
9．已知
a
＝(2，－4)，
b
＝(－1,3)，
c
＝(6,5)，
p
＝
a
＋2
b
－
c
.
(1)求
p
的坐标 ；
(2)若以
a
，
b
为基底，求
p
的表达式．
【解析】(1)
p
＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设
p
＝
λa
＋
μb
(
λ
，
μ
∈R)，
则(－6，－3)＝
λ
(2，－4)＋
μ
(－1,3)＝(2
λ
－
μ
，－4
λ
＋3
μ
)，
2
λ
－
μ
＝－6，
所以
－4
λ
＋3
μ
＝－3，
21
λ
＝－，
2
所以
μ
＝－15，
21
所以
p
＝－
a
－15
b
.
2
→→→
10．已知
O
是△
ABC
内一点，∠
AOB
＝150°，∠
BOC
＝90°，设
OAa
，
OB
＝
b
，
OC
＝
c
，且|
a
|＝2，
|b|
＝1，|
c
|＝3，试用
a
，
b
表示
c
.
【解析】
→
如图，以
O
为原点，
OA
为
x
轴的非负半轴建立平面直角坐标系，由三角函数的定义，得
B
(cos
150°，sin 150°)，
C
(3cos 240°，3sin 240°)．
即
B
－
31
333
，
，
C
－，－
，又∵
A
(2,0)，
22
22
故
a
＝(2,0)，
b
＝
－
31
33
3
，
，
c
＝
－，－
.
22
2
2
设
c
＝
λ
1
a
＋
λ
2
b
(
λ
1
，
λ
2
∈R)，
33
31
3
∴
－，－
＝
λ
1
(2,0)＋
λ
2
－，
＝
2
2
22
31
2
λ
1
－
λ
2
，
λ
2
，
22
33
2
λ
－
λ
＝－，
22
∴
133
λ
＝－，
22
12
2
λ
1
＝－3，
∴
λ
2
＝－33，
∴
c
＝－3
a
－33
b
.
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
一、选择题
1．已知平面向量
a
＝(1,2)，
b
＝(－2，
m
)，且
a
∥
b
，则2
a
＋3
b
＝( )
A．(－2，－4) B．(－3，－6)
C．(－4，－8) D．(－5，－10)
【解析】由
a
＝(1,2)，
b
＝(－2，
m
)，且
a
∥
b
，得1×
m
＝2×(－2)，解得
m
＝－4，所以
b
＝(－
2，－4)，所以2
a
＋3
b
＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．
【答案】C
2．已知向量
a
＝(1,2)，
b
＝(
λ
，1)，若(
a
＋2
b
)∥(2
a
－2
b
)，则
λ
的值等于( )
11
A. B.
23
C．1 D．2
【解析】
a
＋2
b
＝(1,2)＋2(
λ
，1)＝(1＋2
λ
，4)，2
a
－2
b
＝2(1,2)－2(
λ
，1)＝(2－2
λ
，
1
2)，由(
a
＋2
b
)∥(2
a
－2
b
)，可得2(1＋2
λ
)－4(2－2
λ
)＝0，解得
λ
＝，故选A.
2
【答案】A
1
3．已知
A
(1，－3)，
B
8，
，且
A
，
B
，
C
三点共线，则点
C
的坐标可以是( )
2
A．(－9,1) B．(9，－1)
C．(9,1) D．(－9，－1)
【解析】设点
C
的坐标是(
x
，
y
)，
因为
A
，
B
，
C
三点共线，
→→
所以
AB
∥
AC
.
→
1
7
因为
AB
＝
8，
－(1，－3)＝
7，
，
2
2
→
AC
＝(
x
，
y
)－(1，－3)＝(
x
－1，
y
＋3)，
7
所以7(
y
＋3)－(
x
－1)＝0，整理得
x
－2
y
＝7，
2
经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.
【答案】C
→→→→→
4．已知向量
OA
＝(3，－4)，
OB
＝(6，－3)，
OC
＝(2
m
，
m
＋1)，若
AB
∥
OC
，则实数
m
的值为( )
33
A. B．－
55
C．3 D．－3
→→
【解析】向量
OA
＝(3，－4)，
OB
＝(6，－3)，
→
∴
AB
＝(3,1)，
→→→
∵
OC
＝(2
m
，
m
＋1)，
AB
∥
OC
，
∴3
m
＋3＝2
m
，解得
m
＝－3，故选D.
【答案】D
二、填空题
5．已知向量
a
＝(3
x
－1,4)与
b
＝(1,2)共线，则实数
x
的值为________．
【解析】因为向量
a
＝(3
x
－1,4)与
b
＝(1,2)共线，所以2(3
x
－1)－4×1＝0，解得
x
＝1.
【答案】1
6．已知
A
(2,1)，
B
(0,2)，
C
(－2,1)，
O
(0,0)，给出下列结论：
①直线
OC
与直线
BA
平行；
→→→
②
AB
＋
BC
＝
CA
；
→→→
③
OA
＋
OC
＝
OB
；
→→→
④
AC
＝
OB
－2
OA
.
其中，正确结论的序号为________．
→→→→
【解析】①因为
OC
＝(－2,1)，
BA
＝(2，－1)，所以
OC
＝－
BA
，又直线
OC
，
BA
不重合，所以
→→→→→→→
直线
OC
∥
BA
，所以①正确；②因为
AB
＋
BC
＝
AC
≠
CA
，所以②错误；③因为
OA
＋
OC
＝(0,2)＝
OB
，
→→→
所以③正确；④因为
AC
＝(－4,0)，
OB
－2
OA
＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以④正确．
【答案】①③④
7．已知向量
a
＝(1,2)，
b
＝(1，
λ
)，
c
＝(3,4)．若
a
＋
b
与
c
共线，则实数
λ
＝________.
【解析】因为
a
＋
b
＝(1,2)＋(1，
λ
)＝(2,2＋
λ
)，所以根据
a
＋
b
与
c
共线得2×4－3×(2
2
＋
λ
)＝0，解得
λ
＝.
3
2
【答案】
3
三、解答题
8．已知
a
＝(
x,
1)，
b
＝(4，
x
)，
a
与
b
共线且方向相同，求
x
.
【解析】∵
a
＝(
x,
1)，
b
＝(4，
x
)，
a
∥
b
.
∴
x
－4＝0，解得
x
1
＝2，
x
2
＝－2.
当
x
＝2时，
a
＝(2,1)，
b
＝(4,2)，
a
与
b
共线且方向相同；
当
x
＝－2时，
a
＝(－2,1)，
b
＝(4，－2)，
a
与
b
共线且方向相反．
∴
x
＝2.
→
1
→→
1
→
9．已知
A
，
B
，
C
三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且
AE
＝
AC
，
BF
＝
BC
，求
33
→→
证：
EF
∥
AB
.
2
证明：设
E
(
x
1
，
y
1
)，
F
(
x
2
，
y
2
)，
→→→
依题意有
AC
＝(2,2)，
BC
＝(－2,3)，
AB
＝(4，－1)．
→
1
→→
22
∵
AE
＝
AC
，∴
AE
＝
，
，
3
33
→
1
→→
2
∵
BF
＝
BC
，∴
BF
＝
－，1
.
3
3
→
22
12
∵
AE
＝(
x
1
＋1，
y
1
)＝
，
，∴
E
－，
，
33
33
→
2
7
∵
BF
＝(
x
2
－3，
y
2
＋1)＝
－，1
，∴
F
，0
，
3
3
→
82
∴
EF
＝
，－
.
3
3
→→
2
8
又∵4×
－
－×(－1)＝0，∴
EF
∥
AB
.
3
3
10．已知
a
＝(1,0)，
b
＝(2,1)．
(1)当
k
为何值时，
ka
－
b
与
a
＋2
b
共线？
→→
(2)若
AB
＝2
a
＋3
b
，
BC
＝
a
＋
mb
且
A
，
B
，
C
三点共线，求
m
的值．
【解析】(1)
ka
－
b
＝
k
(1,0)－(2,1)＝(
k
－2，－1)，
a
＋2
b
＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为
ka
－
b
与
a
＋2
b
共线，
1
所以2(
k
－2)－(－1)×5＝0，得
k
＝－.
2
(2)因为
A
，
B
，
C
三点共线，
→→
所以
AB
＝
λBC
，
λ
∈R，
即2
a
＋3
b
＝
λ
(
a
＋
mb
)，
2＝
λ
，
所以
3＝
mλ
，
3
解得
m
＝.
2
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1．若向量
a
＝(3，
m
)，
b
＝(2，－1)，
a
·
b
＝0，则实数
m
的值为( )
33
A．－ B.
22
C．2 D．6
【解析】依题意得6－
m
＝0，
m
＝6，选D.
【答案】D
2．向量
a
＝(1，－1)，
b
＝(－1,2)，则(2
a
＋
b
)·
a
＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】
a
＝(1，－1)，
b
＝(－1,2)，
∴(2
a
＋
b
)·
a
＝(1,0)·(1，－1)＝1.
【答案】C
3．已知
a
，
b
为平面向量，且
a
＝(4,3)，2
a
＋
b
＝(3,18)，则
a
，
b
夹角的余弦值等于( )
88
A. B．－
6565
1616
C. D．－
6565
【解析】∵
a
＝(4,3)，∴2
a
＝(8,6)．又2
a
＋
b
＝(3,18)，
∴
b
＝(－5,12)，∴
a
·
b
＝－20＋36＝16.
又|
a
|＝5，|
b
|＝13，
1616
∴cos〈
a
，
b
〉＝＝.
5×1365
【答案】C
4．已知向量
a
＝(－1,2)，
b
＝(3,1)，
c
＝(
k,
4)，且(
a
－
b
)⊥
c
，则
k
＝( )
A．－6 B．－1
C．1 D．6
【解析】∵
a
＝(－1,2)，
b
＝(3,1)，∴
a
－
b
＝(－4,1)，∵(
a
－
b
)⊥
c
，∴－4
k
＋4＝0，解得
k
＝1.
【答案】C
二、填空题
5．
a
＝(－4,3)，
b
＝(1,2)，则2|
a
|－3
a
·
b
＝________.
【解析】因为
a
＝(－4,3)，所以2|
a
|＝2×(
2
2
－4
2
＋3)＝50.
22
a
·
b
＝－4×1＋3×2＝2.
所以2|
a
|－3
a
·
b
＝50－3×2＝44.
【答案】44
6．设向量
a
＝(1,0)，
b
＝(－1，
m
)．若
a
⊥(
ma
－
b
)，则
m
＝________.
2
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