2024年4月12日发(作者：河池市都安县小考数学试卷)
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2019年普通高等学校招生统一考试
文科数学试题卷
一、单选题
1
．设
z
=
A
．
2
3−i
，则
z
=
1
+
2i
B
．
3
C
．
2
D
．
1
=U
2
．已知集合
A
．
{
1,6
}
3
．已知
a
4,5,6,7
}
，A
{
=2,3,4,5
}
，B
{
2,3,6,7
}
，则
BI
{
1,2,3,=
B
．
{
1,7
}
C
．
{
6,7
}
C
U
A
D
．
{
1,6,7
}
0.2
log
2
0.2,,
c
0.2
0.3
，则
b
2
==
A
．
a B ． a C ． c D ． b 4 ．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5−15−1 ≈0.618 ，称为黄金分割比例 ) ，著名的 “ 断臂维纳斯 ” 便是如此．此外， （ 2 2 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 5−1 ．若某人满足上述 2 两个黄金分割比例，且腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26 cm ，则其身高可能 是 A ． 165 cm 5 ．函数 f(x)= B ． 175 cm C ． 185 cm D ． 190cm sinx+x 在 [—π ， π] 的图像大致为 cosx+x 2 B ． A ． C ． D ． 6 ．某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1 ， 2 ， … ， 1 000 ，从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则 下面 4 名学生中被抽到的是 A ． 8 号学生 7 ． tan255°= A ．－ 2 － 3 B ．－ 2+ 3 C ． 2 － 3 D ． 2+ 3 B ． 200 号学生 C ． 616 号学生 D ． 815 号学生 8 ．已知非零向量 a ， b 满足 A ． a =2 b ，且（ a–b ） ⊥ b ，则 a 与 b 的夹角为 C ． π 6 B ． π 3 2π 3 D ． 5π 6 1 9 ．如图是求 2+ 1 1 2+ 2 的程序框图，图中空白框中应填入 A ． A= 1 2+A B ． A= 2+ 1 A C ． A= 1 1+2A D ． A= 1+ 1 2A x 2 y 2 10 ．双曲线 C: 2 − 2 =1(a>0,b>0) 的 一条渐近线的倾斜角为 130° ，则 C 的离心率为 ab A ． 2sin40° B ． 2cos40° C ． 1 sin50° D ． 1 cos50° 11 ． △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 asinA － bsinB=4csinC ， cosA= － 1 b ，则 = c 4 B ． 5 C ． 4 D ． 3 A ． 6 12 ．已知椭圆 C 的焦点为 F 1 (−1,0)，F 2 (1,0) ，过 F 2 的直线与 C 交于 A ， B 两点 . 若 │AF││F 2 B││AB│=│BF│ ， 2 =2 1 ，则 C 的方程为 x 2 A ． +y 2 =1 2 二、填空题 13 ．曲线 =y3(x 2 +x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 ___________ ． x 2 y 2 B ． +=1 32 x 2 y 2 C ． +=1 43 x 2 y 2 D ． +=1 54 =a 1 1，=S 3 14 ．记 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和 . 若 =sin(2x+ 15 ．函数 f(x) 3 ，则 S 4 =___________ ． 4 3π )−3cosx 的最小值为 ___________ ． 2 16 ．已知∠ ACB=90° ， P 为平面 ABC 外一点， PC=2 ，点 P 到∠ ACB 两边 AC ， BC 的距 离均为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为 ___________ ． 三、解答题 17 ．某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商 场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表： 男顾客 女顾客 （ 1 ）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （ 2 ）能否有 95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 满意 40 30 不满意 10 20 n(ad−bc) 2 附： K= ． (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 2 P （ K 2 ≥k ） k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 18 ．记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，已知 S 9 = － a 5 ． （ 1 ）若 a 3 =4 ，求 {a n } 的通项公式； （ 2 ）若 a 1 >0 ，求使得 S n ≥a n 的 n 的取值范围． 19 ．如图，直四棱柱 ABCD–A 1 B 1 C 1 D 1 的底面是菱形， AA 1 =4 ， AB=2 ，∠ BAD=60° ， E ， M ， N 分别是 BC ， BB 1 ， A 1 D 的中点 . （ 1 ）证明： MN ∥平面 C 1 DE ； （ 2 ）求点 C 到平面 C 1 DE 的距离． 20 ．已知函数 f （ x ） =2sinx － xcosx － x ， f′ （ x ）为 f （ x ）的导数． （ 1 ）证明： f′ （ x ）在区间（ 0 ， π ）存在唯一零点； （ 2 ）若 x ∈ [0 ， π] 时， f （ x ） ≥ax ，求 a 的取值范围． 21 ．已知点 A ， B 关于坐标原点 O 对称， │AB│ =4 ，⊙ M 过点 A ， B 且与直线 x+2=0 相 切． （ 1 ）若 A 在直线 x+y=0 上，求⊙ M 的半径． （ 2 ）是否存在定点 P ，使得当 A 运动时， │MA│ － │MP│ 为定值？并说明理由． 1−t 2 x=， 1+t 2 22 ．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点 4t y= 1+t 2 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 ρ cos θ +3 ρ sin θ +11=0 ． （ 1 ）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2 ）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 23 ．已知 a ， b ， c 为正数，且满足 abc=1 ．证明： （ 1 ） 111 ++≤a 2 +b 2 +c 2 ； abc （ 2 ） (a+b) 3 +(b+c) 3 +(c+a) 3 ≥24 ． 参考答案 1 ． C 【解析】 【分析】 先由复数的除法运算（分母实数化），求得 z ，再求 z ． 【详解】 因为 z= C ． 【点睛】 本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解． 2 ． C 【解析】 【分析】 先求 ð U A ，再求 B∩ð U A ． 【详解】 (3 −i )(1 − 2 i )17 3−i ==−i ，所以，所以 z =z +−ii (12)(12)55 1+2i 17 2 () 2 +(−=) 55 2 ，故选 {6,7} ，故选 C ． 由已知得 C U A= { 1,6,7 } ，所以 B∩C U A= 【点睛】 本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 3 ． B 【解析】 【分析】 运用中间量 0 比较 a,c ，运用中间量 1 比较 b,c 【详解】 a=log 2 0.2 2 1=0, b=2 0.2 >2 0 =1,0<0.2 0.3 <0.2 0 =1, 则 0 ．故 选 B ． 【点睛】 本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用 转化与化归思想解题． 4 ． B 【解析】 【分析】 理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】 设人体脖子下端至肚脐的长为 x cm ，肚脐至腿根的长为 y cm ，则 = 26 x 26+x = y+105 5−1 ， 2 得 x≈42.07cm,y≈5.15cm ．又其腿长为 105cm ，头顶至脖子下端的长度为 26cm ，所以其 身高约为 42 ． 07+5 ． 15+105+26=178 ． 22 ，接近 175cm ．故选 B ． 【点睛】 本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思 想解题． 5 ． D 【解析】 【分析】 先判断函数的奇偶性，得 f(x) 是奇函数，排除 A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正 确答案． 【详解】 sin(−x)+(−x)−sinx−x f(−x)===−f(x) ，得 f(x) 是奇函数，其图象关于原点对由 22 cos(−x)+(−x)cosx+x π 1 + 2 4+2 π π >()=1, π =>0 ．故选 D ． f() 称．又 f= 2 2 π 2 π 2 π −+1 () 2 【点睛】 本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋 值法，利用数形结合思想解题． 6 ． C 【解析】 【分析】 等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． π 【详解】 详解：由已知将 1000 名学生分成 100 个组，每组 10 名学生，用系统抽样， 46 号学生被抽 到， 所以第一组抽到 6 号，且每组抽到的学生号构成等差数列 {a n } ，公差 d=10 ， 所以 a n =6+10n (n∈N ∗ ) ， 1 ，不合题意；若 200=6+10n ，则 n=19.4 ，不合题意； 5 若 8=6+10n ，则 n= 若 616=6+10n ，则 n=61 ，符合题意；若 815=6+10n ，则 n=80.9 ，不合题意．故选 C ． 【点睛】 本题主要考查系统抽样 . 7 ． D 【解析】 【分析】 本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式 计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】 详解： tan255 0 =tan(180 0 +75 0 )=tan75 0 =tan(45 0 +30 0 ) = 3 tan45 + tan30 3 =2+3. = 1 − tan45 0 tan30 0 3 1− 3 00 1 + 【点睛】 三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力． 8 ． B 【解析】 【分析】 本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数 学计算等数学素养．先由 (a−b)⊥b 得出向量 a,b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹 角公式即可计算出向量夹角． 【详解】 因为 ( a−b ) ⊥b ，所以 (a−b)⋅b=a⋅b−b 2 =0 ，所以 a⋅b=b 2 ，所以 cos θ = |b| 2 1a⋅b π a == ，所以与的夹角为，故选 B ． b 3 a⋅b2|b| 2 2 【点睛】 对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角 的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 [0,π] ． 9 ． A 【解析】 【分析】 本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特 征与程序框图结构，即可找出作出选择． 【详解】 1 11 ,k=1≤2 是， 1 = 执行第 1 次， A= 因为第一次应该计算， k=k+1 =2 ，循环， 2+ 2 2+A 2 1 1 1 = 是，因为第二次应该计算 2+ ， 执行第 2 次， k=2≤2 ， k=k+1 =3 ， k=3≤2 ， 1 2+A 2+ 2 1 否，输出，故循环体为 A= ，故选 A ． 2 + A 【点睛】 秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为 A= 10 ． D 【解析】 【分析】 1 ． 2+A bb c =tan130°,∴=tan50° ， 由双曲线渐近线定义可得 − 再利用 e == aa a 线的离心率． 【详解】 b 1 + 求双曲 a 2 = tan130 ° , ∴= tan50 ° ， 由已知可得 − b a b a c ∴ e == a 故选 D ． 【点睛】 b 1 + = a 2 1 + tan50 °= 2 sin 2 50° 1 += cos 2 50 ° sin 2 50°+cos 2 50°1 ， = 2 cos50 ° cos50 ° x 2 y 2 c 对于双曲线： 2 − 2 =1 ( a>0,b>0 ) ，有 e== ab a x 2 y 2 c ，有 +=1a>b>0 ==e () 22 ab a 11 ． A 【解析】 【分析】 2 b 1+ ；对于椭圆 a 2 b 1− ，防止记混． a 利用余弦定理推论得出 a ， b ， c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果 . 【详解】 详解：由已知及正弦定理可得 a 2 −b 2 = 4 c 2 ，由余弦定理推论可得 1b 2 +c 2 −a 2 c 2 −4c 2 13c1b3 −=cosA=,∴=−,∴=,∴=×4=6 ，故选 A ． 42bc2bc42b4c2 【点睛】 本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用． 12 ． B 【解析】 【分析】 =2n,BF= 由已知可设 F 2 B=n ，则 AF 21 AB=3n ，得 AF 1 =2n ，在 △AF 1 B 中求得 1 3 cos∠F 1 AB= ，再在 △AF 1 F 2 中，由余弦定理得 n= ，从而可求解 . 3 2 【详解】 =2n,BF= 法一：如图，由已知可设 F 2 B=n ，则 AF 21 AB=3n ，由椭圆的定义有 2a=BF 1 +BF 2 =4n,∴AF 1 =2a−AF 2 =2n ．在 △AF 1 B 中，由余弦定理推论得 1 4 n 2 + 9 n 2 − 9 n 2 1 22 4 ，在 △AF 1 F 2 中，由余弦定理得 4n + 4n − 2 ⋅ 2n ⋅ 2n ⋅= =∠F 1 AB= ． cos 3 2 ⋅ 2n ⋅ 3n3 解得 n= 3 ． 2 ∴2a=4n=23,∴a= 故选 B ． x 2 y 2 3,∴b=a−c=3−1=2,∴ 所求椭圆方程为 +=1 ， 32 222 2 n , BF== 法二：由已知可设 F 2 B=n ，则 AF 21 AB= 3 n ，由椭圆的定义有 2a=BF 1 +BF 2 =4n,∴AF 1 =2a−AF 2 =2n ．在 △AF 1 F 2 和 △BF 1 F 2 中，由余弦定理得 4n 2 +4−2⋅2n⋅2⋅cos∠AF 2 F 1 =4n 2 , ，又 ∠AF 2 F 1 ,∠BF 2 F 1 互补， 22 9n n+4−2⋅n⋅2⋅cos∠BF 2 F 1 = ∴cos∠AF 2 F 1 +cos∠BF 2 F 1 =0 ，两式消去 cos∠AF 2 F 1 ,cos∠BF 2 F 1 ，得 3 n 2 + 6 = 11 n 2 ， 解得 n= 3 ． ∴2a=4n=23,∴a= 2 3,∴b 2 =a 2 −c 2 =3−1=2,∴ 所求椭圆方程为 x 2 y 2 +=1 ，故选 B ． 32 【点睛】 本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的 落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 0 . 13 ． 3x−y= 【解析】 【分析】 本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得 切线方程 【详解】 详解： y / =3(2x+1)e x +3(x 2 +x)e x =3(x 2 +3x+1)e x , 所以， k / y=| x= 0 3 0 ． 所以，曲线 =y3(x 2 +x)e x 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=3x ，即 3x−y= 【点睛】 准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求 导要 “ 慢 ” ，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 14 ． 5 . 8 【解析】 【分析】 本题根据已知条件，列出关于等比数列公比 q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到 S 4 ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】 详解：设等比数列的公比为 q ，由已知 31 0 S 3 =a 1 +a 1 q+a 1 q 2 =1+q+q 2 = ，即 q 2 +q+= 44 1 解得 q=− ， 2 1 1 − ( − ) 4 4 a 1 (1−q) 5 2 所以 S 4 ． === 1 1−q8 1−(−) 2 【点睛】 准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部 分考生易出现运算错误． 一题多解：本题在求得数列的公比后，可利用已知计算 S 4 =S 3 +a 4 =S 3 +a 1 q 3 = 15 ． −4 . 【解析】 315 +(−) 3 = ，避免繁分式计算． 428
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本题,计算,运算
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