2023年12月25日发(作者：枣庄调研考试数学试卷)
我完成了一座纪念碑；它比青铜浇铸的还要坚固耐久．比国王建造的金字塔更加雄伟高大。无论是侵蚀的雨还是狂暴的北风，也无论是数不清的漫漫岁月或飞驰的时代，都难以动它分毫。我不会全部地死亡；我更崇高的部分将摆脱死神之手；我将永远成长，在后世的赞美声中闪闪发亮。
——贺拉斯
脚踩两个怪物的大力士
在挪威首都奥斯陆的皇家公园里，耸立着一座引人注目的雕像。
一位赤身裸体的大力士，脚下踩着两个怪物。这两个怪物是什么?
众说不一。有的说，它们是贫困和死亡；有的说，它们代表数学两
个最重要的问题：椭圆函数论和用根式解代数方程。
不过，谁都知道，这位力大无比的力士不是别人，他是挪威人
民的伟大儿子——尼尔斯·亨利克·阿贝尔。
其实，阿贝尔本人并不是大力士。恰恰相反，贫困和劳累使他
从小就体弱多病；可怕的结核杆菌很快吞噬了他年轻的生命。
但是，在他文弱的身体里，蕴藏着无比的力量。虽然他在世上
只生活了短短26年零8个月，却作出了震撼世界的伟大事业。他和
雅可比一起创立椭圆函数理论，并且第一次证明了一般高于四次的
代数方程的根式解的不可能性。阿贝尔所留下的思想，用法国数学
家埃尔来特的话来说，它足够后来的数学家忙碌150年！
憧憬未来
19世纪初，丹麦和它的附庸挪威同瑞典发生战争。瑞典是1523
年从它们原先的三国卡尔马联合中分离出去的。仗断断续续地打
了好几年。瑞典仰赖英国的支持，终于取得优势。1814年，失败的
丹麦把挪威割让给瑞典。战争以后，任人宰割的挪威满目疮痍，疲
惫不堪。在那些年月，一个乡村牧师，没有生财之道，是很难维持
一家几口的温饱的。1802年8月5日，尼尔斯·亨利克·阿贝尔正
是出生在这样的一个牧师家庭。阿贝尔家祖辈几代在教会工作。父
亲曾经就学于丹麦大学，表现出相当的才能。但是，大概是因为不
善钻营，只好在克里斯蒂安远郊的一个小村芬诺做牧师。继次子
尼尔斯以后，又接连有5个小生命出世。做牧师的父亲告求无门，
一家9口只好眼睁睁地苦熬着。阿贝尔家在村里穷得出了名；贫困
的阴影笼罩了阿贝尔一生。不过，这只是家庭影响的一个方面。
从生理学的观点来看，人从母亲那里所受的影响是根本的。尼
尔斯从母亲那里继承了两个特征：其一是动人的美貌。那是明摆着
的。在柔软的灰色头发下，一张洋溢着才气的俊秀的脸庞，神情略
带羞怯，谁见了都不由得要多看上两眼。另一个特征可不是一两句
话就说得清楚了。安娜·玛利亚·西蒙松没有什么可以称道的业绩，
主要以美貌著称。在有些人看来，她好享受，甚至有些疯癫；这似
乎和她的乡村牧师妻子的身分不大相称。不过有谁论证过，乡村牧
师的妻子就应该无尽无休地辛苦劳累一辈子，而不能有一点对人生
欢乐的追求呢?安娜不愿孩子们在贫困中失去欢笑。虽然难得温饱，
她有时候还要打扮她那些营养不良却依然美丽非凡的小天使。她的
这种行为，好像是“穷开心”。其实，安娜并不是所谓“知足者常
乐”这种说教的信徒。相反，她似乎有一种很难满足的心愿，以致
对日常的缺吃少穿反而不大在乎。母亲的这种秉性，感染了她的孩
子们。尽管受冻挨饿，阿贝尔家看来并不那么沮丧。你看，在冬日
的晚上，阿贝尔家的小屋外是狂风飞雪统治着的冰天雪地，屋里却
洋溢着春天的生意。一家人围着小炉子，一会儿讲故事、猜谜语，
一会几做游戏，不时爆发出欢快的笑声。因为穷，请不起家庭教师，
父亲不得不在工作之余教尼尔斯和他哥哥识字和算术。和许多大数
学家一样，尼尔斯很小就显示出数学才能。幸好父亲对数学略知一
二，就对他着意培养。兄弟俩体谅父亲的辛劳，学习得比别人家的
孩子更加刻苦。尼尔斯不愿多想现实中的贫困和种种不快。他沉浸
在学习和思考中。他相信圣经和许多书本上的教导，只要努力行善，
坚持不懈，光明美好的日子就会到来。他憧憬那遥远的未来，忍受
着现实生活中贫苦的煎熬。
一个优秀的数学天才
19世纪初，挪威和许多国家一样，男尊女卑的现象还很严重。
妇女没有受教育的权利；男孩子才有上学的机会。13岁的时候，尼
尔斯和哥哥一道，被送到克里斯蒂安的一所天主教教会学校念书。
这无疑是极大的幸运。财主家的小姐还没有这福分呢。还有一件事
使尼尔斯觉得自己的运气不错。因为他入学考试成绩优异，学校决
定发给他奖学金。这对在饥饿线上挣扎的阿贝尔家是个不小的福音
啊。可是学校也并不是那么美好。这时候挪威的学校里还盛行体罚。
体罚被认为是使学生成才不可缺少的措施。可是实际上，体罚成了
满足那些专横的教师的虐待狂嗜好的陈规陋习，而挨打的多是“懒
虫”和“笨蛋”。尼尔斯同情挨揍的同学，常常用机灵的警告和幽
默的解嘲来帮助和安慰那些不幸者。学年结束，阿贝尔兄弟俩都取
得了优良成绩，学校发给他们书本作为奖赏。可是，新学年开始后，
他们感到上课念书不那么有趣了。大量重复单调的作业，干巴巴的
教条满堂灌，使孩子们大倒胃口。原来一些水平较高的教师应聘到
一所新办的大学去了，剩下的和新来的教师怕成绩下降，便想“以
多取胜”，大搞填鸭式教学，连天资过人的尼尔斯都难以接受。生
来赢弱的哥哥在高压下被弄得神经衰弱，不得不退学回家，竞至以
后再也无法学习和工作。这使尼尔斯十分难过。而那个教数学的教
师，经常挖苦取笑学生，有时候甚至喝得醉醺醺的，大发酒疯，更
使尼尔斯胆战心惊。有一次，这位教师竟拳脚交加地殴打一个学习
吃力、身体瘦弱的学生。那孩子被打得站立不住，歪倒在课桌旁。
尼尔斯惊呆了。等那教师走了，同学们才把他搀扶回家。第二天，
他没有来上学；听人说，他病了。过了两天，更传来令人震惊的噩
耗：那位同学死了!
尼尔斯目睹这人世间残忍的一幕，吃不下饭，睡不好觉，许多
天都不见他诙谐的谈笑。整个教室沉寂下来，连最淘气的学生都蔫
了。一些家长和社会人士到学校来抗议，还一直向上控告，最后，学校不得不把那个教师解职。
不久新来了一位年轻的数学教师，挪威数学家洪波依。他一边
让学生思考，一边慢慢地启发，并不搞体罚的那一套。他的讲解清
晰透彻，还不厌其烦地教育大家：精巧的论证常常不是一蹴而就，
而是人们长期切磋积累的成果。他甚至坦率地告诉学生，他也是慢
慢学来的，而且还要继续不断地学习。他的博学和谦和，同那粗暴
愚昧的前任相比，真有天壤之别。阿贝尔深深喜爱上这位洪波依老
师，并且大大激发起学习数学的热情。阿贝尔敏捷的反应和严密的
思维，很快被洪波依老师发现。于是老师不时地给出一些较难的问
题。这些难题同样难不住阿贝尔。他发觉，只要紧紧把握住各种概
念，通过持久的思考，就可以找到解决各种难题的线索。能够体验
到从无知到有识的快乐，真是幸福。不过，阿贝尔知道，自己不应
该骄傲，更不能欺侮那些不幸的迟钝的同学。
学期末了，给学生写评语的时候，洪波依老师首先想到了阿贝
尔。这个衣着破旧、被同学们起绰号为“阿贝尔裁缝”的孩子，既
聪明又勤奋，心地善良，真是难得啊!洪波依拿起鹅翎笔，饱蘸墨
水，深情地写道：
“一个优秀的数学天才。”
阿贝尔学习的热情越来越高。他很快熟练地掌握了初等代数的
概念和方法，精通了欧几里得几何的事实和推理，领略到古典数学
难以形容的和谐与优美。洪波依老师以更大的热忱来培养阿贝尔，
并且把自己在大学学习的课本全部送给他。这样，在放学以后，当
别的学生在游玩嬉戏的时候，阿贝尔却跟着洪波依老师兴致勃勃地
在深奥而迷人的数学宫殿里流连忘返。
初生牛犊不怕虎
洪波依老师算不上是富有创造力的数学家。但是他了解而且喜
爱数学名著。在他的支持下，16岁的阿贝尔直接向那些历史上大数
学家学习。他不怕牛顿、达朗贝尔著作的艰深，也敢于去揭高斯
《算术研究》的七道封漆。大师们探讨的都是一些根本性问题。他
们的分析触及问题实质，切中要害。这种阅读带来的喜悦是无与伦
比的。更重要的是，在这样的学习中，阿贝尔树立了继往开来的雄
心大志。他摩拳擦掌，要向一个历史上久攻不克的堡垒——寻求五
次以上代数方程的求根公式——发起进攻了。
每个好学的初中同学，在掌握了一元二次方程
ax2+bx+c=0
的求根公式
以后，都可能发问：三次、四次以至一般的高次方程，有没有这类
求根公式?如果有，是什么样子?阿贝尔自然也想到了这个问题。
历史上，二次方程求根公式，在公元前1000多年巴比伦人实质
上已经掌握了。但是，三次、四次方程一般情况下就难解得多。直
到16世纪，才由意大利数学家费罗(1465—1526)，塔尔塔利亚。
卡尔达诺和他的学生费拉里(1522—1565)等人先后解决。代数方程
求根是数学的一个基本问题。后来，数学家在研究根的存在性和近
似解的同时，继续寻求五次以上方程的求根公式，笛卡儿、牛顿和
莱布尼兹等大数学家都认真追求过这个问题的解答，但是一直没有
成功。阿贝尔在研读高斯《算术研究》的时候，受到高斯对二项方
程讨论的启发，想试着用高斯的方法，来求一般五次方程的解。凭
着“初生牛犊不怕虎”的劲头，阿贝尔不断地演算下去。通过对方
程系数作加减乘除和开方这些代数运算，他居然得到了根的表达式。
这不就是人们梦寐以求的五次方程的根式解或代数解吗?他非常兴
奋，可是又不大放心。他把自己的推算从头到尾看了两遍，没有发
现问题。他把稿子送给洪波依老师审查。洪波依看不出究竟，又去
请教他的大学老师。连他的大学老师、著名的天文学家汉斯廷教授
在内，挪威大学的教授们都不能评定阿贝尔的研究。考虑到北欧诸
国中数学发展水平数丹麦最高，汉斯廷就把阿贝尔的手稿寄给丹麦
的学有创见的德根教授，并且告诉他，如果确有价值，就请丹麦科
学院予以发表。德根认真地看了阿贝尔的文章，也没有发现什么破
绽。不过根据他的经验，这种久攻不克的大难题，一般不可能沿用
旧的想法、套取现成的结论就轻而易举地解决的。因此，为慎重起
见，他建议阿贝尔用一些实际的例子来检验自己的理论。实践是检
验真理的标准，数学上也是这样。德根回信向汉斯廷说明，即使最
终判明阿贝尔的结果是错的，他的研究也表明，他是一个富有数学
才能的人。他建议阿贝尔花功夫去研究一个称为椭圆积分的难题，
它是在计算椭圆的弧长和分析单摆运动中发现的一类积分问题。这
个课题对整个分析数学和力学都将产生巨大的影响。他说：
“一个努力而有才干的学者，不会局限于具有优美性质的函数，
他将发现麦哲伦海峡，从而进入广阔无际的分析数学的海洋。”
阿贝尔从高斯《算术研究》的学习中，对椭圆积分已经知道一
点。欧拉、拉格朗日、勒让德等人都在这方面做过工作。他接受了
德根教授恳切的忠告和影响深远的建议。不久，他通过实际例子检
查，发现自己对五次方程的根式解果真有错。不过他没有气馁。他
认真地阅读了拉格朗日长达200多页的论文《关于方程代数解法的
思考》。拉格朗日说：“虽然关于求解的不可能性什么也没有证明，”
不过可以肯定，“用根式解高于四次的方程是不可能解的问题之
一。”他甚至认为，这个难题是“向人类智慧的挑战”!伟大的数学
先驱者的这一番话把阿贝尔深深打动了。面对这严峻的挑战，拉格
朗日深感力不从心。因此，他对数学的前途感到悲观。但是，对阿
贝尔来说，这不是一瓢凉水。不，恰恰相反：这是进军令，是冲锋
号，是一把熊熊的大火!阿贝尔浑身热血沸腾。他决心接过先驱者
手中的火炬，把这场战斗进行到底。
深情厚谊
中字毕业了。
洪波依老师给阿贝尔作了热情的评语：
“一位数学天才，……如果他继续成长，可能会成为大数学家。”
但是，父亲的死给尼尔斯带来深沉的悲痛和忧伤。原本就穷得
够呛的日子，现在只剩下母亲那点养老金，往后怎么过啊。哥哥精
神失常，难以工作；只有自己能帮妈妈挑起养家糊口的重担。尼尔
斯想上大学深造，也希望他的弟妹能上学读书。可是瘦弱的尼尔斯
能干什么活，挣多少钱呢?
洪波依看到阿贝尔的困境很不安，决心不让贫困扼杀一个数学
天才的成长。他去找教授们帮忙。通过汉斯廷教授，他们已经知道
阿贝尔是个不可多得的人才。大家纷纷慷慨解囊，从各自的薪金中
抽出一点钱来扶持这个贫穷的学生。当时的教授们和他们的祖国一
样，也都穷得可怜。不过，钱虽少，他们的情谊使阿贝尔永志难忘。
当时的大学没有奖学金，但是有免费的宿舍供穷苦的学生居住。阿
贝尔得到特许，让他的弟弟和他同住在这样的宿舍里。
阿贝尔很清楚，他是在老师和朋友们的支持下上大学的。他只
有格外努力学习，来报答师友。在他们用得着的时候，比如替孩子
补习功课之类的事，他总是尽力而为。实际上，教补习生历来是穷
大学生一种半工半读的形式。阿贝尔也常常去看望师友，受到他们
热忱的接待。特别是汉斯廷教授夫人，对谦逊有礼、勤奋好学的阿
贝尔非常关怀。她十分同情这个贫苦的学生。她常常用各种借口，
把阿贝尔请来，让他在家里吃一顿可口的饱餐；看到阿贝尔的衣服
破了或太单薄了，就亲手为他缝制衣服。
阿贝尔的学业突飞猛进。上大学刚一年，他就取得初等学位。
当时大学里没有高等数学之类的必修课程，这使他可以自由地研究
自己感兴趣的课题。在继续代数方程和椭圆积分研究的同时，他学
着欧拉、拉格朗日把数学用于分析力学。他发现用积分方程可以描
述质点沿曲线运动的问题。他构思了一种巧妙的方法得到那积分方
程的解。他还不满足。接着他又用另一种方法得出同样的解答。自
觉地直接应用并且解出积分方程，这是数学史上的创举。他整理自
已的成果，写出两篇文章。正好汉斯廷教授准备创办一份自然科学
杂志，于是，阿贝尔的处女作就发表在它1823年的创刊号上。阿贝
尔对积分方程的开创性研究很有意义。可惜当时数学家还没有充分
认识它。积分方程的蓬勃发展，它的一般理论的建立，要到19世纪
末和20世纪初了。
哥本哈根之行
1822年6月，19岁的阿贝尔大学毕业了。在整个斯堪的纳维
亚，他已经显得过于巨大。他渴望去法国，那是当时世界数学的皇
后，是拉格朗日、拉普拉斯和勒让德这“三L”的祖国。虽然拉格
朗日已经去世多年，拉普拉斯也因为年迈，没有在工作，但是，勒
让德还健在，特别是一颗新升起的明星——柯西，使其他人黯然失
色。除此以外，巴黎还有一大批伟大的同行。只是阿贝尔不知道，
他自己已经远远超过他们中间的一些人。他当然也梦想着到德国去
拜望老高斯。他是世界上无可争辩的“数学王子”。
阿贝尔的数学和天文学界的朋友们支持他的想法；他们联名呼
吁政府资助阿贝尔出国研究。为了加深当局的印象，阿贝尔特别写
了长篇论文请大学出版。他相信这篇文章一定会给挪威增光。可是，
挪威大学的财政异常拮据，论文的印刷被一拖再拖，最后竟不知下
落。不过，经过交涉，政府总算同意，发给阿贝尔一份津贴，让他
在大学里攻读法语和德语。
夏天，老天文学家拉斯梅辛拿出一笔钱，供阿贝尔去丹麦考察
研究。这是阿贝尔第一次出门远行。从克里斯蒂安到哥本哈根，路
程并不算远，但是路上的一切都使阿贝尔感到新鲜。大海和日出，
教堂和风车，牧羊童和挤奶妇，……他惊奇地发现，现实的世界和
数学世界一样，也是那么美妙和令人陶醉!德根教授在家门口热烈
欢迎阿贝尔的到来。阿贝尔就住在教授的家里。从早到晚，他当面
聆听这位老前辈的分析和教诲，得益非浅。
哥本哈根的挪威学生和朋友们热情接待他们的数学才子。有一
次，他们邀请他参加一个舞会。这使阿贝尔感到为难，因为他对跳
舞一窍不通。但是盛情难却，他痛痛快快地答应了。
在舞会上，一对对、一双双翩翩起舞，舞兴正浓。阿贝尔发现，
有一个女孩子和自己一样，一个人冷清清地坐在角落里呷着咖啡。
别人可能觉得她并不漂亮。矮矮胖胖的，红头发，脸上长着雀斑。
阿贝尔却喜欢她纯朴天真的神态。看样子她不会使自己难堪，于是，
阿贝尔鼓起勇气邀请她一起跳舞。姑娘大方地站了起来。可是，跳
不一会儿，他俩发现，对方和自己一样，并不精于此道。两人同时
停了下来，不觉相对会心一笑。这使阿贝尔愈发感到她的诚挚友好。
原来，这位克里斯廷小姐也是穷苦出身，靠做家庭教师和缝纫自立。
阿贝尔不知不觉爱上了克里斯廷。姑娘的感情也十分真挚而且热烈。
阿贝尔的哥本哈根之行，就在那充满阳光、饱含幸福和欢愉中度过。
回到挪威，阿贝尔把克里斯廷介绍到克里斯蒂安附近的一个小
镇芙乐兰工作。他俩订婚了。
成功和失望
拉格朗日的话时时在阿贝尔的耳边回响。说得多好啊，“向人
类智慧的挑战”!阿贝尔可不是知难而退的懦夫。恰恰相反，愈是
困难的挑战，愈能激起他的热情。这正是每一位具有独创精神的大
科学家所具备的品质。他彻底检查了解决这个难题所应该遵循的道
路。他发现，一个方程，由于计算过于复杂，人们花了大量精力没
有把它解出来，但是，这不等于这个方程不可能有代数解；反过来，
虽然找到了某个方程的代数解，我们并不能由此推断一般方程存在
代数解。因此，他认为：
“不要去寻求一个不知道是否存在的关系，而必须先问一问这
样的关系是不是可能的。”
这样，阿贝尔就为解决这个大难题找到一条明确的、万无一失
的途径：
“1．找出代数上可解的任意次数的一切方程。”
“2．决定一个已给的方程在代数上是不是可解。”
阿贝尔说，这两个问题实质上是相同的。虽然方程的代数解存
在的充分必要条件要留待伽罗瓦来最终解决，但是，阿贝尔迈出了
意义重大的一步。他以无可比拟的天才证明了使数学家们为难了几
百年的大难题：一般高于四次方程不可能有代数解。
为了得到这个证明，阿贝尔绞尽了脑汁。由于他不了解拉格朗
日一个热忱的弟子、意大利数学家鲁菲尼的工作，阿贝尔的“不可
能性”证明几乎是从头做起。经过数不清的迂回反复，他发现了被
后人称为阿贝尔定理的重要成果。鲁菲尼在1799年已经知道这个结
论，但是没有严格地证明。正是利用这个结论，阿贝尔作出了人们
孜孜以求的“不可能性”的严格证明，以光辉的“阿贝尔-鲁菲尼定
理”为名载入史册。从此以后，无论是杰出的数学家还是普通的爱
好者，都不必再徒劳地去寻求那根本不存在的五次方程求根公式了。
这时阿贝尔才22岁。
为了扩大影响，阿贝尔用法文写出研究报告，并且决定自筹经
费付印。可是，他实在太穷了。为了降低印刷费用，他不得不把论
文的篇幅一压再压。最后印出来，只剩薄薄6页了。但是，这薄薄
的几片纸是阿贝尔对数学先驱者们的卓越工作的继承和发展，凝结
着他多年的心血，闪烁着他天才的光辉。1824年7月，他怀着满腔
希望把论文寄给国内外有名的数学家，包括当代数学界的领袖高斯。
他期望得到他们的承认和支持。一个月、两个月过去了。寄出的论
文像石沉大海，毫无反应；有影响的刊物也毫不理会阿贝尔历史性
的突破。阿贝尔深深地失望了。
许多人常常责备高斯，说他过于傲慢，看不起别人特别是年轻
人的成果。对于这件事，我们可以设想一下，如果今天有一个年轻
人，写信给一位权威的数学家，声称自己解决了历史上著名的方圆
问题——用圆规和直尺作出了和圆面积相等的正方形，结果会怎样
呢?这位数学家可能会客气地给他回一封信，也可能什么也不写。
但是有一点可以肯定，他会把寄来的论文看也不看就扔进废纸篓里。
因为方圆问题的不可能性早在1882年已经由林德曼给予证明。高
斯可能也是这样。他看到一个默默无闻的挪威青年居然想用6页纸
来对代数上著名的大难题下判决，岂不是太狂妄了吗?他没有屈尊
把它看上一眼，就厌恶地抛到一边：
“太可怕了，又一个怪胎!”
有人说高斯保守，这有几分道理。和方圆问题不同，五次以上
方程的代数解的不可能性在阿贝尔以前是还没有证明的。正是这个
腼腆的挪威青年提供了一个天才的证明。是的，这个证明还说不上
完美元缺。它有许多不必要的复杂论证，不够简明扼要，而且篇幅
被大大压缩，以致读起来非常吃力。但是，要是高斯能耐着性子把
它看上一遍，结果将会怎样呢?他只要说一句话，阿贝尔就成名了。
阿贝尔就可以不背着沉重的贫困的包袱而在生命的中途不幸倒下。
我们的故事也就大不相同了!
具有讽刺意味的是，高斯本人在青年时代曾经遭到过同样的冷
遇。那是1796年4月的一天。高斯兴冲冲地带着他正多边形作图问
题的证明去找他的大学老师凯斯特纳教授。凯斯特纳不相信，想把
高斯打发走。他不愿花时间去检查高斯的证明，企图从里面找出假
定上的错误。这一招没有成功，他就告诉高斯：这个作图法并不重
要，因为谁都知道实际的作图是什么。当然，他心中清楚，这种实
际的近似作法和高斯的理论证明毫不相干。高斯向他说明自己曾经
解出了一个17次代数方程。凯斯特纳说这是不可能的。高斯解释
说，他把这个问题化简成为解一个低次的方程。凯斯特纳嘲笑说：
“噢，我早就这样做了。”
对于“小人物”抱这样冷漠的态度，高斯十分不满。因为凯斯
特纳曾经炫耀过自己的诗作，高斯后来就用“凯斯特纳是数学家中
最好的诗人，是诗人中最好的数学家”来回敬凯斯特纳。
事情就是这样奇怪。过了不到30年，现在轮到阿贝尔来埋怨高
斯了。我们的数学王子如果知道了会有什么感想呢?
喜遇“伯乐”
在阿贝尔的朋友们积极活动下，1825年8月27日，王室政府
发布一条法令，宣布发给阿贝尔一份津贴，供他去德国和法国旅行
和研究一年。政府拿不出更多的了。在全国处于忍饥挨饿的困难时
刻，阿贝尔还能要求什么呢?
1825年9月，虽然懒洋洋的阳光给人以几分温暖，萧瑟的秋风
却已经咄咄逼人了。阿贝尔告别亲人和师友，踏上漫漫的旅途。他
依恋克里斯廷，也惦念着贫困中的妈妈和弟妹们。是的，他向往法
国和德国，渴望着和外国同行们切磋交流，赢得他们的支持。不过，
他心里确实惴惴不安。那些高傲的大学者会怎样对待自己呢?
阿贝尔先到哥本哈根，拜访了丹麦著名的数学家和天文学家。
遗憾的是，亲爱的德根教授不久前去世了。他又转往德国。在汉堡，
他改变主意，不是急着去格丁根拜望高斯，而是向东来到柏林。高
傲的高斯使他失望。他不愿低声下气地去求见他。他甚至埋怨德国
人，瞧不起像他这样的“小人物”。没有想到，他在柏林遇到了一
位出色的人物，使他大大改变对德国人的偏见。这个人的名字就是
奥古斯特·利奥波德·克列尔。
如果说克列尔使阿贝尔赢得声誉，那么阿贝尔给了他加倍的回
报。克列尔成为今天西方数学界“伯乐”的代名词；而“克列尔”
代表着他所创办的伟大季刊的专有名词。这个季刊的头三卷刊载了
阿贝尔22篇论文。《克列尔杂志》使阿贝尔在欧洲大陆闻名遐迩；
阿贝尔的伟大工作一下子使杂志出了名，而这份刊物最终使克列尔
名垂千秋。
克列尔本人与其说是位创造性的数学家，不如说是一位自学的
数学爱好者。他的专业是土木工程。他建造了德国第一条铁路，使
他名利双收。他在闲暇的时候从事数学研究多少有点像业余嗜好。
他在1826年创办的《纯粹数学与应用数学杂志》(也就是(克列尔
杂志))给予德国数学以巨大的刺激。这是克列尔对数学发展的最
伟大的贡献。
《克列尔杂志》对过去著作的解释是不受欢迎的。著作(克列
尔本人的某些著作除外)只要是新的、真实的和充分“重要”的，
不论作者是谁，都可以发表。从1826年到今天，每季度一期，从不
间断。两次世界大战的烽火几乎把《克列尔杂志》毁掉。但是，在
全世界订户的大力资助下，它顽强地坚持了下来。
1825年冬天，克列尔正在酝酿这项伟大的事业。这时候，他还
兼任着一份公职——商业学校的考试官。不过，他在这方面既缺乏
能力，也缺乏兴趣。阿贝尔的突然出现促成克列尔决心的实现。关
于这次历史性的会晤，克列尔有一段生动的回忆：
“一个晴朗的日子，一位羞怯的、年纪挺轻的青年走进我的办
公室。他的脸看上去非常年轻，非常聪明。我以为他大概是商业学
校的考生，所以我向他说明必须考几门不同的课程。说了半天，小
伙子开了口。他的德语并不高明，‘不是考试，是数学。’”
一听是数学，克列尔的兴趣立刻提了起来。数学是他心爱的课
题。他发现阿贝尔不是德国人，就试着用法语同他交谈。阿贝尔对
法语勉强听得懂。
“那么，亲爱的先生，您能不能谈谈自己在数学方面做过些什
么工作呢?”克列尔好奇地问。
“哦……我读过一些书，”阿贝尔斟酌着字眼，彬彬有礼地答
道：“我也读过先生您1823年的大作和最近发表在《分析技巧》上
的新作。这些著作都很有意思，不过……”接下来，他就不那么
“有礼”了：“那里面有几处错误。”说到这里，阿贝尔偷偷地瞧了
克列尔一眼。
这正是克列尔的难能可贵之处。他不因为年轻人冒犯自己而感
到恼怒。相反，他认真地想听听阿贝尔的详细意见。阿贝尔用蹩脚
的法语连比带划地解释了半个多小时。虽然根据克列尔的数学水平，
他只听得懂阿贝尔讲话的十分之一，但是，有一点他是清楚了。可
靠的直觉告诉他：阿贝尔是第一流的数学家。在会晤结束以前，他
已经打定主意，阿贝尔必须是拟议中的《克列尔杂志》的第一批撰
稿人之一。
其实，谈了半天，阿贝尔还有很大的保留。他怕自己过于坦率
地说出意见会引起克列尔的不快。因为他是来寻求支持而不是来讨
论分歧的。当然，克列尔也不是真的想知道自己究竟错在哪里。他
是想摸清阿贝尔的底细。于是，他问阿贝尔还看过哪些著作。当阿
贝尔提到牛顿、欧拉、拉格朗日和高斯这些大师们的名字的时候，
克列尔的耳朵竖了起来。他们讨论起若干著名的尚未解决的难题。
这时候，阿贝尔鼓起勇气向克列尔提出自己关于一般五次方程代数
解的不可能性的证明。克列尔不打算听下去，他认为这一类证明一
定有什么问题。不过他收下了证明的抄件，还翻来覆去地看了两遍。
他承认推理超出了自己理解的水平，但是，这并不妨碍他在1828年
的《克列尔杂志》上发表阿贝尔的详尽证明。这就是克列尔。他的
数学水平不算高，但是他心胸开阔，看人入木三分，而且惜才如命。
他是一位伟大的人。
克列尔决定充当阿贝尔的保护人，尽其所能要使他得到社会的
承认。他带着阿贝尔参加各种活动，并且认为这是自己最好的“数
学发现”。自学成才的瑞士人斯泰纳， 被人誉为自阿波罗尼奥斯以
来最大几何学家，有时候也陪着他们。克列尔的朋友们看见他一手
拉着一位天才就会喊起来：
“瞧，亚当爸爸带着他的该隐和亚伯来了!”
克列尔的热情接待使阿贝尔深受感动。他写信给汉斯廷教授：
“的确，在这里对我感兴趣的人很少，但是，这很少几个人和
我却是无限亲近的。因为他们向我表示了这么多友好的情谊。或许
我能以某种方式来报答他们对我的期望，否则的话，对他们会是很
难受的。”
接着他告诉汉斯廷，克列尔怎样恳请他永久留在柏林，并且运
用自己的影响使阿贝尔成为柏林大学教授。这是1826年的德国。当
时的德国需要最好的数学家，至于阿贝尔是一个外国人是无关紧要
的。
但是，应接不暇的社交活动使阿贝尔很难安下心来研究。他悄
悄来到德法边境的弗赖堡。那里环境幽静，风景如画。他要加紧工
作来弥补失去的时光。他的才思随着他一刻不停的笔尖滚滚而出。
果然不负众望，他最伟大的作品雕凿成形了。这就是后人称为阿贝
尔大定理的发现。不过，他得先到巴黎去拜访当时法国最大数学家
——勒让德、柯西和其他同行。高斯不理睬他；他希望法国的同行
能够了解他。
喧闹的“沙漠”
阿贝尔满怀希望，离开弗赖堡，取道瑞士和意大利，于1826年
7月来到巴黎。巴黎绚丽的色彩使阿贝尔眼花缭乱。不过他无心观
赏。号称世界花都的巴黎，是属于有钱人的。他住在一家贫苦的人
家。他们供给他一天两餐很差的食物，一间极简陋的居室，收取的
房租却高得惊人。4个月以后，他写信给洪波依谈到他的印象：
“跟你老实说吧，这个大陆上最喧闹的城市，暂时对我来说就
像是沙漠。我实际上什么人也不认识；这是个可爱的季节，每个人
都在乡下。……法国人对陌生人比德国人冷淡得多。要得到他们的
亲善特别困难。到目前为止，我不敢畅谈我的看法；在这里，一个
小人物要引起注意有大量的困难。我刚刚完成一篇关于某一类超越
函数的长篇论文，下星期我要把它提交给法国科学院。我给柯西先
生看过，可是他对论文几乎不屑一顾。而我敢说，不是自夸，这是
一篇佳作。我好奇地想听听科学院对它的意见。我将让你和我分享。”
实际上，他对于这篇论文的结局似乎已经有不祥的预感。因此，
他向洪波依抱怨：
“我后悔把旅行安排为两年。一年半就足够了。……有这么多
的事情留待我来做，而我只要留在国外，一切就都糟了。”
阿贝尔在信中提到的佳作——《关于很广一类超越函数的一个
一般性质》——被认为是他一生中最伟大的作品。在文章一开头，他表明自己的意图：
“到目前为止，数学家们所考虑的超越函数的数目是很少的。
特别是超越函数的全部理论被压缩为对数函数、圆函数和指数函
数，实质上，这些函数只构成单一的类型。直到晚近，才开始考虑
一些其他的函数。其中椭圆超越函数占据首要的地位。椭圆函数的
某些显著的和优美的性质是由勒让德先生发掘的。在有幸呈交给科
学院的本文中，作者考虑了很广一类超越函数，也就是说，这些函
数的导数可以由代数方程来表示，方程的系数是单变量的有理函数；
作者同时证明了这些函数有类似于对数函数和椭圆函数的性质。”
阿贝尔的引言很容易引起误会，以为勒让德曾经像阿贝尔所恭
维的那样讨论过椭圆函数。这是不确切的。阿贝尔这样提到这位老
数学家完全是出于友好和礼貌。事实上，勒让德长期研究这个重要
问题，可是没有找到关键。他所研究的是椭圆积分而不是椭圆函数。
椭圆函数和椭圆积分的不相同就像马和马所拉的车的不同。俗话说
“把车放在拉它的马的前面”，或者说本末倒置，正好用来形容勒让
德的工作。阿贝尔把它们颠倒过来。它引进了椭圆积分的反函数
——椭圆函数，正好抓住了探索椭圆积分问题的关键。“把考虑问
题的顺序颠倒过来”，这看来十分简单，却是数学和科学发现的最
强有力的方法之一。继承和授予，输入和输出，直接函数和反函数，
椭圆积分和椭圆函数，一个方向考虑不下去，不妨反过来试试。这
种方法导致19世纪最重大突破之一，也是阿贝尔对数学最为巨大的
贡献。因此，埃尔米特认为，阿贝尔的思想足够未来的数学家忙碌
150年，而一生从事教师工作的维尔斯特拉斯总是督促学生好好阅
读阿贝尔的著作。
可是，阿贝尔这篇希世之作的遭遇却是令人痛心的。
科学院让勒让德和柯西负责审阅。勒让德74岁了，年迈力衰，
已经丧失敏锐的理解力。他没有看懂，就把它交给柯西。后来，勒
让德在给雅可比的信中为自己辩解：
“我们发觉论文的字迹很难辨认，它的墨水几乎是白的；字写
得歪歪扭扭；我们一致商定，作者应该把论文誊写清楚。”
这是什么借口!年方39岁的柯西正忙于自己范围广泛的研究，
哪有心思去多管“闲事”!他把论文带回家，随手一丢，完全把它
忘了!后来，只是由于奇迹，这篇被遗忘的杰作才得重见天日。事
情是这样的，阿贝尔研究上的知音、比他小两岁的雅可比，当时是
柯尼斯堡大学的数学教授。他从勒让德那里得知，阿贝尔在临终前
三星期在给勒让德的信中曾经提到被法国科学院抛到一边的那篇著
作。他为阿贝尔深感不平，就不辞辛劳赶到巴黎。他花了九牛二虎
之力，终于在柯西积满灰尘的旧书堆中找到那篇被遗忘的手稿。不
用说，那上面根本没有作过任何评审。雅可比双手棒着论文，激动
得声音都颤抖了：
“这是阿贝尔的一个什么样的发现啊!……有谁见过这样的发
现?这个发现，可能是我们这个世纪最为重大的数学发现，两年前
提交给你们科学院，却被你们的同事们扔到了一边!”
消息传到挪威，整个国家沸腾了!挪威驻巴黎的领事向法国提
出正式抗议。法国科学院不得不表示歉意。可是，它对自己的行为
遗憾到什么程度呢?论文一直拖到11年以后才刊印在法国科学院论
文汇编第7卷上，而在清样校阅以前，珍贵的原稿竟不翼而飞了!
迟到的正义
一切是那么遥远，那么冷落，那么令人失望，就像巴黎阴冷的，
看不见尽头的雨夹雪。阿贝尔感到冷，透心砭骨的冷。无论穿多少
衣服，他都感到冷。他病了。医生告诉他，这是肺结核，这在当时
几乎是绝症。年纪轻轻的，刚开始生活，就染上了绝症。阿贝尔无
法接受这个残酷的事实。他离开冰冷的巴黎，回到柏林。想到自己
只身漂泊在外，身患绝症，前途茫茫，心中不觉无限忧伤。只有想
到研究工作，他才充满信心和活力。数学上新的想法不断涌现。他
要抓紧时间把它们整理出来。他婉拒了克列尔的盛情挽留，决定动
身回国。
出国的时候，阿贝尔满怀希望。现在，他精疲力竭，身无分文。
盘川还是从洪波依老师那里借的。他所向往的未来是那样的遥远，
就连从克里斯蒂安到芬诺的家里，也是一眼望不到尽头。他细汗涔
涔，呼吸急促，不得不靠在教堂的大门上休息。……
为了养家糊口，阿贝尔重操旧业，给各种各样的学生补课。从
小学生到准备考大学的中学毕业生，从外语到数学，可以说无所不
教。酬金少得可怜，教少了还不行。他的肺病愈来愈重了。克列尔
得知阿贝尔回国以后的困境，想在柏林一所新建的工学院里为他谋
一个职务，可是，这不是一下子就能实现的。还好，不久汉斯廷动
身去西伯利亚考察，军事学院批准阿贝尔代课，讲授力学和理论天
文学。虽然是汉斯廷教授保荐的，他也只能得到汉斯廷薪水的三分
之二。在这里，同工同酬是不存在的。不过，这对于阿贝尔已经是
不错了。他可以摆脱教补习生的沉重负担，来完成他椭圆函数论的
研究。论文一篇篇发表，研究不断取得进展。通过雅可比的介绍，
阿贝尔和雅可比的工作终于惊动了老勒让德。他看到阿贝尔引进椭
圆积分的反演，抓住了探索椭圆积分的关键，不禁自叹不如：
“这个年轻的挪威人的智力是多么高啊!”
他称赞阿贝尔的工作是“不朽的丰碑”。老人得知阿贝尔的困
境以后深感不安，想必也知道过去对他怠慢了。他亲自写信给瑞典
国王，吁请他为附属国的这位天才安排一个职务。
受到勒让德的赞美和关怀，阿贝尔当然很高兴。他在给勒让德
的信中，表达自己的感激之情：
“当我看到我的工作能值得本世纪一位大数学家的关注时，这
成为我一生中最快乐的时刻之一。” ．
但是，这时候的阿贝尔远不是沉浸在欢乐之中。前景并不是一
片光明。贫穷一直像影子一样没有离开过阿贝尔。他撰写的专著没
有钱出版。没有一个出版商愿意冒险出版这种销路不大的数学专著。
而这还不是他最大的痛苦。他最悲伤的是，他知道自己的生命很有
限了。
阿贝尔回国以后，沉重的工作和不良的营养，使他的病情迅速
恶化。1828年整个夏天。他一直在发烧、咳嗽。入秋以后，健康毫
无起色，咳嗽反而更厉害了。但是，妈妈从小教育他愉快乐观，即
使穷得不行，在别人面前也决不能愁眉苦脸。因此，他要尽力保持
自己在人们心目中的乐观形象。不过，剩下他孤独一人的时候，衰
弱的身体使他很难集中精神思考。他心烦意乱，非常痛苦。他毫不
怀疑，只要身体好，自己一定能够在数学的许多领域继续深入下去，
得到有意义的成果。可是，现在不可能了。他只能勉强支撑着，承
受那愈来愈难以忍受的生活重担。
热心的克列尔一直关怀着阿贝尔。他筹了一笔款子作为“稿
费”，寄给阿贝尔。他一心希望这位有才能的年轻人不断前进。他
把雅可比的研究进展告诉阿贝尔；他要阿贝尔把他的椭圆函数专著
寄来，不论多长，他都全部刊登。阿贝尔看着来信，不禁热泪盈眶。
但是，他不得不告诉克列尔：
“我已病倒一个时期了。我不得不躺在床上。我很想工作，可
是医生警告我，即使我现在好转复原，任何劳心费神的事都将对我
有极大的伤害。”
看到这样的回信，精明强干的克列尔不禁黯然神伤，久久不能
平静。尽管是圣诞佳节，他待不住了。他要为改善阿贝尔的处境大
声疾呼。他去求见知识界“大祭司”式的人物，亚历山大·冯·洪
堡。这位以研究“宇宙”为己任、远涉重洋到美洲探险、以博学闻
名全欧洲的自然科学家，表示支持克列尔的努力。可惜，洪堡奖学
金当时还没有设立，不能使阿贝尔受惠，在20世纪，洪堡奖学金倒
是帮助了一些留学生。
正当克列尔为阿贝尔四处奔走呼吁的时候，该死的结核杆菌正
在大口大口地吞噬着这位天才的年轻的生命。圣诞节热闹过去，阿
贝尔觉得自己更不行了。在精神稍微好些的时候，他赶紧把自己在
方程论方面的进一步结果整理出来。虽然一般五次以上代数方程不
可能用根式解，但是一些特殊的高次方程还是可以用根式解的。阿
贝尔找到了一大类可以用根式解的高次方程。他把这类后人称为阿
贝尔方程的结果告诉克列尔和勒让德。克列尔看到重病中的阿贝尔
继续在研究中取得进展，更为自己的无能为力而痛心。他几经周折，
终于征集到高斯和勒让德称赞阿贝尔的信件。于是，他直接向教育
部长写信：
“尊敬的先生，我希望你尽快地批准阿贝尔的职务。现在这个
伟大的天才已经出名了。他很可能被聘请到别的地方工作。我刚得
到消息说，丹麦哥本哈根大学准备聘请他，那么他就不会来这里服
务了。”
其实，克列尔的努力已经没有用了。从3月起，阿贝尔不断吐
血，身体极度虚弱，一直躺在床上。他甚至连提笔写字都已经不可
能了。不久，心力衰竭使他发生昏迷现象。昏迷中，他又想到穷苦
的童年。他并没有怨天尤人。他在喃喃自语中念叨着汉斯廷夫人对
他的关怀和爱护。他在内心深处感激帮助过他的师友。他想着友爱
和温暖，美好和光明。生活中使他留恋的事物太多了1
4月5日晚上，北欧早春的夜晚寒气逼人。阿贝尔感到呼吸很
困难。一种说不出的压抑使他透不过气来。他痛苦地挣扎着。亲人
们轮流守护了他一夜。黎明，他平静了一点，慢慢地昏昏睡去。第
二天上午，似乎好一些。下午，克里斯廷单独守护在他身边。他的
神志又不清醒了。阿贝尔显然在挣扎：
“我还有许多工作……”
克里斯廷赶紧俯下身去，把手递给他。
“克列尔帮我找工作，怎么还没有消息?……我还要照顾妈妈、
弟弟、妹妹，……可怜的克里斯廷，亲爱的，我们的家多么遥远啊!
……我美丽的姑娘，你像是迎春的雏菊，多么高贵和纯洁。我死了
怎么办呢?”
也许觉察到未婚妻无声的抽泣，他又挣扎着说下去：
“不!我会好的。春天来了，我们的日子会好起来，……”
突然，握着姑娘的手松开了。他那睁大的眼睛还噙着泪水，牢
牢地盯着前方。但是，那遥远的、他日夜渴望和追求着的美好的未
来啊，他永远看不到了。克里斯廷伏倒他身上失声痛哭。她心爱的
人已经离开人世了。
3天以后，克里斯廷接到克列尔给阿贝尔的信：
“我已经从教育部负责人那里知道，你的职务确定了。我想尽
快地让你知道这个好消息。你现在完全不必忧虑了。你属于我们，
安全就有保障。我非常高兴，犹如我自己得到这个职务一样。你可
以准备起程了。”
好心的克列尔啊，是的，阿贝尔是起程了。他孤独一人起程到
我们再也见不到的地方去了。姑娘读着读着，又失声痛哭起来。
阿贝尔在贫病中夭折，使亲友们至感悲痛，也惊动了国际数学
界。巴黎科学院赶紧弥补自己的过失。他们评议了椭圆函数论的研
究。第二年把当时数学界最高荣誉——法国科学院大奖，授予阿贝
尔和雅可比，并且把后者选为他们的院士。
1500法郎奖金送到安娜妈妈的手中，又引起一阵痛苦的思念。
正义来得太迟了。尼尔斯·阿贝尔在他短促的一生中，一直被贫穷
和疾病所困扰，却在代数方程论、椭圆函数论和无穷级数等领域作
出第一流的贡献。可是他去世的时候，连个大学的正式教职都没有。
社会的正义在哪儿呢?
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