2024年4月2日发(作者：百色中考数学试卷答案解析)
数形结合------研究三角函数的主要数学思想
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事
非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。数形结合，主要指的
是数与形之间的一种对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关
系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解
形”， 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象
问题形象化。
三角函数是基本初等函数之一，它是中学数学的重要内容之一，它的认知
基础主要是几何中圆的性质、相似形的有关知识，在数学必修一中建立的函数概
念以及函数的研究方法。主要的学习内容是三角函数是概念、图象和性质，以及
三角函数模型的简单应用；研究方法主要是代数变形和图象分析。因此，三角函
数的研究已经初步把几何与代数联系起来了。
1.三角函数线作为三角函数的几何表示，它给三角函数的定义有了直观的
理解，加深了学生形与数的结合。对同角三角函数关系可予以几何解释，还能帮
助学生更好地理解掌握诱导公式，三角函数的定义域及三角函数的符号规律。三
角函数线在解决许多三角问题中都起到了重要的作用。从它的应用中让学生充分
体会数形结合的思想方法，从而培养“数形结合”的良好习惯。
2. 运用数形结合的思想方法，可更好的理解三角函数的图象和性质。如三
角函数的定义域，值域，周期性，奇偶性，单调性，对称性等都可以从三角函数
的图象上直观的显现出来，而利用三角函数的图象又非常容易理解三角函数的这
些性质。因此，明确研究三角函数问题都可用代数和几何相结合的思想方法，拓
宽思维空间，提高解决问题的能力。
3. 例题分析，下面列举几例来体会三角函数中的数形结合思想。
例1. 如果
x
,
那么函数
f(x)cos
2
xsinx
的最小值是多少？
44
分析：
yf(x)cos
2
xsinxsin
2
xsinx
1
从三角函数的角度来看，求
ysin
2
xsinx
1
的最小值是一个较难的问
题，是一个比较陌生的问题。但是，如果把数和形结合起来，画出相应的图像，
从几何的直观性入手，则可立刻看出结论。
图1
22
令
tsinx
因为
x
所以
sinx
,
22
44
1
5
则
ytt
1
t
2
4
2
2
22
图像为图中实线部分。
t
22
所以当
t
2
2
即
x
时，
f(x)
有最小值，且最小值为
4
2
2
1
51
2
。
2
42
2
例2.在（
0，2
）内，使
sinxcosx
成立的x取值范围为（ ）
5
A.
，
，
B.
，
4
4
2
4
3
5
5
C.
，
D.
，
，
4
4
4
2
4
分析1：作出在
0，2
区间上正弦和余弦函数的图像，解出两交点的横坐
5
标
和
，由图2可得（C）答案。
44
图2
图3
分析2：在单位圆上作出二、三象限的对角线，由正弦线、余弦线知应选（C）。
例3.若角α满足条件
sin2
0，
cos
sin
0
，则α在（ ）
A. 第一象限
C. 第三象限
B. 第二象限
D. 第四象限
分析：
sin2
2sin
cos
0
所以
sin
cos
0
即
sin
cos
0
即
sin
与
cos
异号
所以α在二、四象限
又
cos
sin
0
所以
cos
sin
由图4，满足题意的角α在第二象限。
图4
数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维
为形象思维，有助于把握数学问题的本质；使用了数形结合的方法，很多问题便
迎刃而解，且解法简捷从而起到优化解题途径的目的。
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