2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》解答专项练

2024年4月10日发(作者：南通中学创新班数学试卷)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》解答专项练习题（附答案）

1．如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝12，sinB＝，求BC长．

2．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AB＝2，求BC的长．（结果保留根号）

3．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝2，求BC的长．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB＝．求AC的长及∠A的正切值．

5．△ABC中，∠B＝45°，∠BAC＝15°，AC＝10cm，求BC边的长度．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，点D在BC上，且BD＝AD．求

AC的长和tan∠ADC的值．

7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝105°，AC＝4，求AB的长．

8．如图．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5．

（1）若∠A＝60°，求BC的长度．

（2）若sinA＝，求AB的长度．

9．如图，在△ABC中，AB＝6，sinB＝，tanC＝，求△ABC的面积．

10．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝4，tanA＝，求AD的长．

11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD．如果sin

∠ACB＝，求AD的长．

12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥

AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若＝，则tan∠BCF的值为 ．

13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，已知

AE＝16，sinA＝．

（1）求CD的长；

（2）求∠DBC的余切值．

14．如图，在△ABC中，∠B＝45°，CD是AB边上的中线，过点D作DE⊥BC，垂足为

点E，若CD＝5，sin∠BCD＝．

（1）求BC的长；

（2）求∠ACB的正切值．

15．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，

CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．

（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．

16．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，BD是AC边中线，DG平分∠BDC，

且BG⊥DG于点G，交BC于点F．

（1）求∠ABD的正弦值；

（2）求BG的长．

17．在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．

18．在△ABC中，AC＝4

（1）求△ABC的面积；

（2）求AB的值；

（3）求cos∠ABC的值．

，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．

19．如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，

cos∠ABC＝．

（1）求高CD的长；

（2）求tan∠EAB的值．

20．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝10，AC＝13，求BC的长．

21．如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，若AC＝15，cosA＝．求BC长．

23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinB＝．求BC的长及∠A的正切值．

24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）已知AB＝12，sinA＝，求BC的长；

（2）已知BC＝，AC＝，求∠B的度数．

25．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝60°，AB＝4，求△ABC的面积．

26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求

AD的长．

27．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E，tan∠EBC

＝，求∠ABE的正切值．

28．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB＝AD，BD＝4，tanC＝．

（1）求AB的长；

（2）求点C到直线AB的距离．

29．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝，求BC的

长．

30．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝4，AC＝3

（1）求AD的长．

（2）求sinC的值．

，∠A＝30°．

参考答案

1．解：作AD⊥BC于D，

∵cosC＝，

∴DC＝AC•cosC，

∴DC＝12cos30°＝6

∵∠C＝30°，

∴AD＝AC＝6，

∵sinB＝

∴AB＝

∴AB＝10，

∵BD

2

＝AB

2

﹣AD

2

，

∴DB

2

＝10

2

﹣6

2

，

∴DB＝8，

∴BC＝DB+DC＝6+8．

，

，

，

2．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，∠B＝45°，AB＝2，

∴BD＝AD＝AB＝，

， 在Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝

∴CD＝AD＝，

+． ∴BC＝BD+CD＝

3．解：∵AD是BC边上的高，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵sinB＝，∠C＝45°，AD＝2，

∴＝，CD＝AD＝2，

∴AB＝7，

∴BD＝

∴BC＝BD+CD＝3

即BC的长3+2．

＝

+2，

＝＝3，

4．解：在Rt△ABC中，

∵sinB＝

∴AC＝5．

∴BC＝

＝

＝12．

∴tanA＝＝．

＝，AB＝13，

5．解：过点A作 AD⊥BC，交BC的延长线于点D．

∵∠B＝45°，∠BAC＝15°，∠ADC＝90°，

∴∠DCA＝60°，∠BAD＝45°．

在Rt△ACD中，

∵cos∠DCA＝

sin∠DCA＝

＝cos60°＝，

＝sin60°＝

．

，AC＝10，

∴CD＝5，AD＝5

在Rt△ABD中，

∵∠BAD＝∠B，

∴BD＝AD＝5．

∴BC＝BD﹣CD＝5﹣5．

6．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝，

∴＝tanB＝

解得：AC＝4；

（2）设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，

在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD

2

＝CD

2

+AC

2

，

即（8﹣x）

2

＝x

2

+16，

解得：x＝3，

∴CD＝3，BD＝AD＝8﹣3＝5，CD＝4，

则tan∠ADC＝＝．

＝，

7．解：如图，过C作CD⊥AB于点D，则∠CDA＝∠CDB＝90°，

在Rt△ACD中，

∵∠A＝30°，AC＝4，

∴CD＝AC•sinA＝2，AD＝AC•cosA＝2

∵∠A＝30°，∠ACB＝105°，

∴∠B＝45°，

在Rt△BCD中，BD＝CD＝2，

∴AB＝2+2．

，

8．解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，

∵∠A＝60°，tanA＝

∴＝，

，

∵AC＝5，

∴BC＝5；

＝， （2）在Rt△ABC中，sinA＝

∴BC＝AB，

∵AC＝

∴

∴AB＝．

，AC＝5，

＝5，

9．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB＝6，sinB＝，

∴AD＝AB•sinB＝6×＝3，

∴BD＝＝＝3，

在Rt△ADC中，tanC＝，

∴CD＝＝＝9，

∴BC＝BD+CD＝3+9，

∴△ABC的面积＝BC•AD

＝×（3

＝

+9）×3

，

． ∴△ABC的面积为

10．解：方法1：如图，延长AD与BC交于点E．

在直角△ABE中，tanA＝

∴BE＝8，

＝，AB＝6，

∴AE＝＝10，EC＝BE﹣BC＝8﹣4＝4．

在△ABE与△CDE中，

∠B＝∠CDE＝90°，∠E＝∠E，

∴∠DCE＝∠A．

∴tan∠DCE＝tanA＝＝，

∴设DE＝4x，则CD＝3x，

在直角△CDE中，EC

2

＝DE

2

+CD

2

，

∴4

2

＝（4x）

2

+（3x）

2

，

解得：x＝（负值舍去），

∴DE＝，

＝． ∴AD＝AE﹣DE＝10﹣

即AD的长为．

方法2：如图，过D点作MN⊥BC，交BC的延长线于N，过A点作AM⊥MN于M，

则∠ADM＝∠BAD，∠DCN＝∠BAD，

∴tan∠ADM＝＝，tan∠DCN＝＝，

设AM＝4a，则DM＝3a，

设DN＝4b，则CN＝3b，

∴MN＝3a+4b，BN＝4+3b，

∴，

解得．

∴AD＝5a＝

即AD的长为

．

．