f(x)与|f(x)|的可导性、可积性关系

2024年3月27日发(作者：五年级思维数学试卷)

f（x）与｜f（x）｜的可导性、可积性关系

第28卷第6期

2010年11月

佳木斯大学(自然科学版)

JournalofJiamusiUniversity(NaturalScienceEdition)

V0l_28No.6

NOV.2010

文章编号:1008—1402(2010)o6—0955—02

f()与If()l的可导性,可积性关系①

冯再勇,张黎

(南京铁道职业技术学院苏州校区基础部.江苏苏州215137)

摘要:讨论了函数厂()与I)I之间的可导性,可积性关系,证明了二者间可导性,可积

性

的几个充要条件,并且给出了典型实例.

关键词:)与I)l;可导性;可积性

中图分类号:0172文献标识码:A

0引言

只需具备极限的基础知识,就不难明确函数

)与I.厂()l的连续性关系.但要理清)与1

.

厂()I二者之间的可导性,可积性关系却并不简

单.本文以基本的分析理论为工具,对)与I

厂()I之间的可导性,可积性关系,进行了分析和

研究,并且给出了相应的例子.

1导性关系

定理1若连续函数)在点.处有.)

≠0,则)在点.处可导的充要条件是l厂()I

在点处可导.

证明:令I)I=g(x).)≠0,先假

设)<0.

由于厂()在点.处连续,故取0<占<一

f—

(

_

x

-

o)

,贝0j>0,VE(.,),有:

,()<<0.

此时

厂(z.):lim二

—0一0

:lim二!

H0

I)一(一IJr(.)I)

一

0

(一g())一(一g(x.))

=一g(0).

因此,函数I厂()I=g(x)在点处可导,而

且g()=-y(.).

同理可证.)>0时,函数I)I=g(x)

在点也可导,而且g(.)=厂(‰).

这说明,连续函数)与I)可导性不同

的点只能出现在函数,()的零点,例如函数)

=