山东理工大学第七届大学生数学建模竞赛

2023年12月26日发(作者：五上杭州市数学试卷)

山东理工大学第七届大学生数学建模竞赛

题目：搜寻黑匣子落水点方位

摘要

本文研究的是飞机失控后飞行的轨迹及落地点问题。题目要求我们根据不同的目标建立数学模型，给出一些假定因子，用模型求解出飞机落地点的具体位置。首先我们想到的时运用牛顿第二定律对其进行受力分析，然后再对物体运动状态加以分析，因为阻力因子为变量，这就要求运用数学微分方程求解的思想加以求解，来大致确定黑匣子的落水点方位，由于所借助的思想和方法都是通过严格的实验和理论所推导出来的，故本文最终所计算的结果在一定范围内具有真实可靠性。

文中，我们每个问题的解决都渗透着同一种思想，即首先用物理学中的物体运动分析方法，结合牛顿第二定律，对飞机的运动状态加以分析，列出与之对应的状态方程，继而转化为数学问题，然后用数学中求解微分方程的相关算法及思想，得到飞机的运动轨迹方程，最后求得给定条件下黑匣子的落水点方位。且三个问题是环环相扣，后两个问题的求解只是在问题一的基础上附加多个变量因子，增加其求解的复杂度，但求解思想不变。

在求解过程中，我们大量运用解析法来推导公式，只在必要时采用数值法代替，同时引入一些必要的近似求解方法来降低计算量。

关键词：

牛顿第二定律，微分方程，运动轨迹一 、问题复述

1.背景

飞机是远距离航行的交通方式之一，其主要特点是速度快，安全性高，是交通方式中事故率最低的交通方式，黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括：飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。因此，在飞机失事后，为了能够及时救援，分析、查找失事的原因，而能够尽快确定失事后飞机的飞行轨迹和飞机上黑匣子的所在位置就变得极为重要。

2.问题

假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。

现欲解决以下问题：

（1）假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。

（2）假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。

（3）考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程。

二、 问题的分析

1.对于问题一，将空间问题平面化，建立相应的函数及微分方程，求出黑匣子落水之前所用的时间，以及飞机水平方向移动的距离，最终求得黑匣子的落水点位置。

2.黑匣子落水之后，会有诸多因素影响黑匣子的沉降，本文将着重考虑浮力，洋流运动对其的影响。

三、 问题的假设

假设一：飞机在坠落过程中重量的变化忽略不计；

假设二：飞机在落水之后，只考虑重力，浮力，阻力，洋流运动的影响;

假设三：飞机在落入水中之前，合外力始终在竖直方向，水平方向忽略不计；

假设四：在求解黑匣子所在位置时，允许有一定误差，结果可保留到0.01单位

四、符号说明

序号

符号

1

m

2

3

g

hi

当地的重力加速度

飞机竖直方向下降的位移

飞机及载物的总质量

说明

4

Xi

V

5

a

6

c

i

7

ρ8

s

9

vt

10

飞机竖直方向任意时刻的速度

飞机突然失去动力时的速度

飞机坠落时间

飞机迎风面积

i

飞机水平方向移动的位移

飞机排开海水的体积

飞机竖直方向任意时刻的加速度

阻力系数

密度

11

v0

t

12

五、 模型的建立和求解

1.问题一的建模和求解

（1）模型一的建立

由题意及假设，结合物理物体运动学分析，可知飞机在坠落中做变加速运动，所划过的轨迹为曲线。

（2）模型一的求解

a.查阅资料知阻力计算公式：

对飞机进行受力分析，在竖直方向，由牛顿第二定律得：

结合数学微分函数所学知识求解上式:

令

则求得

由题知，飞机刚失控速度为v0，

所以可求得

由积分得:

由于飞机失控时h1=0，t=0

所以

当m=2×10^5kg, ρ1=1.29kg/m3

,

c1=0.12, s=427,8m2 ,g=9.8m/s2 ,v0=222.2m/s时，

D=1.70m/s2, ,D1=0.74m/s2,

当h1=10000m时，可得飞机从失控到接触水面所用的时间t1=100.90s

由假设知，飞机水平方向不考虑阻力作用，故做匀速直线运动，所以飞机落水前水平方向移动的位移X1= v0

t1=22.42km

b.确定黑匣子落水点的位置

经查阅相关资料可知 纬度计算公式：

经度计算公式：

其中R为近似地球半径，B为该处纬度

黑匣子落水点的经度为：

黑匣子落水点的纬度为：

2.问题二的建模与求解

（1）模型二的建立

对于问题二，可认为在问题一的基础上加入浮力这一因子，使得问题复杂化。为了使进一步的分析简单及减少计算量，可近似简化为飞机只在水平竖直方向受阻力作用，运动轨迹为曲线，现运用物理学和数学知识对黑匣子沉降轨迹做一分析。

（2）模型二的求解

a.同样先对落水飞机做受力分析，在水平方向，有牛顿第二定律得：

结合数学微分函数所学知识求解上式:

令

则求得

由问题一知，当X2

=0时，p=222.2m/s

所以可得R=222.2m/s，由于m很大，

所以可近似为1，即可认为飞机在水平方向做匀速运动。

b.在竖直方向，由牛顿第二定律得：

结合数学微分函数所学知识求解上式:

令

则求得

由问题一可得，飞机刚坠入水面时竖直方向的速度为：

即为vt1=105.03m/s

所以可求得

由积分得：

当h2=0，t2=0时，可得

当m=2×10^5kg,ρ2=1.00kg/m3, c2

=1.93,s=427.8m2,，V=1692.33m3

，vt1=105.03m/s

时，得Q=-12.89m/s2,Q1

=0.93m/s2

c.求解黑匣子沉入海底的位置及区域

由b可得，当时，时间，此时由a得黑匣子水平方向移动的距离为,结合图示，可知飞机坠落海底时距离水面的竖直高度大约为h=4000m,此时水平距离为X=12816.48m,可知黑匣子沉入海底的区域为Ⅱ。

3.问题三的建模与求解

(1) 模型三的建立

对于问题三，可认为在问题二的基础上加入洋流这一因子，根据题示，可知飞机在坠海后，距海面2000m内受西澳洋流的影响，速度大小为v1

=0.3m/s,在分析过程中，将洋流速度做分解，分解到东偏北45°（速度可忽略不计）和与它垂直的方位，可知运动轨迹也为曲线，同样可运用与问题二一样的物理学和数学知识对黑匣子沉降轨迹做一分析。

（2）模型三的求解

由问题二可得，当知道飞机坠落高度h2时,可求得时间t.进而求得此时间段飞机移动的水平距离X2. ,

于是由勾股定理可求得，飞机此时间段行驶的距离X3.，即: X32=h22 + X22.飞机在东偏西45° 受洋流影响，行驶的距离为X4=v1tsin45°。现以落水点为原点，建立如图坐标系，可求得黑匣子沉入水下h2

落水点的位置,即P点的方位：

，距离为：

当h2=1000m时，t1=14.42s,X2=3204.124m,X3=3356.55m,X4=3.06m,此时θ=45.05°，X5=3356.55m

当h2=2000m时，t1=28.84s,X2=6408.248m,X3=6713.09m,X4=6.12m,此时θ=45.05，

X5=6713.09m

当h2=3000m时，t1=43.26s,X2=9612.372m,X3=10069.6m,X4=9.18m,此时θ=45.05，

X5=10069.60m

六 、模型的评价

该模型是基于牛顿第二定律建立的，具有相当的理论基础，经过严格的数学公式推导，借用解析法求得了每一个物理量，这些都确保了模型建立的正确性。然而该模型没经过计算机的模拟与仿真，因此少了对各个问题所得数值的检验，存在一定的缺陷，并且在计算过程中多次采用近似替代法，这样就使得所得数值存在一定的误差，影响最终的结果与判断。

七、 模型的改进

在现有模型的基础上，可运用计算机模拟系统对该模型进行进一步的检验与校正，增加模型的准确性；并且由于模型在求解过程中人工计算过于繁琐，使的许多外界因子趋于理想化，故造成所得数据与实际有不小的误差，现可利用计算机相应软件，运用现有模型的思想，附加外界因子，对模型进行改进，从而提高模型的实用性和广泛性。

八 、参考文献

[1] 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导资料教材（一），长沙：湖南教育出版社，1998年。

[2]杨启帆等，数学建模竞赛，浙江：浙江大学出版社，2005年。

[3]边馥萍等，数学模型方法与算法，北京：高等教育出版社，2005年。

用飞行轨迹模型探寻失联飞机

摘要

针对前段时间出现的马航失联飞机的问题，本文利用数学模型来对失联飞机的搜寻做出合理的探究。

对于问题一，对失联飞机进行受力分析，可知失去动力后的飞机受到重力、升力以及空气阻力的作用，根据飞机失事时所处的经纬度判断出还受到了东南信风的影响，利用Matlab软件以Anoval函数求解，建立起飞机下落轨迹的数学模型，求出飞机下落的大致位置。

对于问题二，同样的进行受力分析，飞机受到了重力、浮力和水的阻力，利用Matlab软件画出图表进行分析，从而判断出黑匣子在水中的轨迹，并求出其大体位置。

对于问题三，是对问题二的进一步探究，飞机落水后，还受到了洋流的影响，根据其落水位置判断出其受南赤道暖流的影响，类比问题一，建立适当的模型，来求解第三问中的相关问题。

关键字

类比 受力分析 函数求解 建立模型

正文

一 问题的重述

A题：寻找失联飞机

飞机是远距离航行的交通方式之一，其主要特点是速度快，安全性高。据统计，飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式，但是飞机一旦发生事故，乘客的生还几率非常小。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之

一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括：飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。因此，在飞机失事后，为了能够及时救援，分析、查找失事的原因，而能够尽快确定失事后飞机的飞行轨迹和飞机上黑匣子的所在位置就变得极为重要。

假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为 10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。

请建立模型求解以下问题：

1.

假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。

2.

假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。

图1 黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图

3. 考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。

二 模型假设

1、飞机在坠落时只考虑重力、升力、空气阻力，还有东南信风的影响。

2、模型中所涉及到的阻力系数和飞机质量，横截面积等常量用平均值来表示。

3、题目所给的数据真实可靠。

4、飞机在水中只考虑重力、浮力、水的阻力影响。（是否考虑洋流的影响根据题目要求而定。）

1.

假设飞机的各个参数为统一的标准，没有差异。

三 符号说明

表一【1】

P0

=1013.25 mbar

T0=288.15K

ρ0=1.2250kg/m3

g0=9.806665m/s2

海平面的大气压力

海平面绝对温度

海平面绝对密度

标准加速度

表二

M m

P

黑匣子 飞机的重量

大气压强

f

a

v

v0

v∞

Y

ΓX

V

f浮

S

四 问题分析

（1）问题一的分析：

阻力

加速度

速度

初速度

无限远处的空气流速

升力

环量

位移

黑匣子的体积

黑匣子海水中所受浮力

黑匣子的横截面积

对飞机进行受力分析，可知失去动力后的飞机受到重力、升力以及空气阻力的作用，根据飞机的特性可知，飞机在飞行时机翼的作用会使飞机上方的压强小于下方的压强，从而形成了升力。

Ⅰ.根据库塔-儒可夫斯基公式可得升力Y=ρbv∞Γ…………①

飞机的重力为G=mg…………②

又由运动学公式可得，H=1/2a0t02，…………③

根据公式①②③（H=10000m）可求出a0、t0和竖直方向的分速度v3。

Ⅱ.同理在水平方向上受到了空气阻力和东南信风的影响，分别对两个力方向上的运动进行分析。

ⅰ.空气阻力：

飞机在空气阻力所在直线上的分速度v1=v0-a阻·t0…………④

空气阻力f阻=kv2…………⑤

加速度a阻=f阻/m=kv2/m…………⑥

ⅱ.东南信风：

东南信风的平均风速为v2=6m/s❶

对v1、v2在0~t0上分别积分，求出分位移。

根据分位移求出在水平方向上的和位移，根据在竖直方向上下落了10000m的高度，可求出飞机的飞行轨迹和落水点。

(2)问题二的分析：

飞机落水后，进行受力分析，飞机受到了重力、浮力和水的阻力。

Ⅰ.竖直方向上

f浮=ρ液gV排…………⑦

在水中竖直方向的加速度Ma1=G-F浮…………⑧

根据②⑦⑧还有v3可得在水中的竖直方向的分位移为h。

Ⅱ水平方向

飞机在水中所受到的阻力f1=1/2c·ρ·v2·s…………⑨

在水中水平方向上的的加速度a2有Ma2=f1…………⑩

落水时的水平方向上的速度v122=v12+v22…………⑪

根据⑨⑩⑪可得，在水中水平方向的分位移x。

令x=5,15,25,35,45，此时，可以分别求出不同水平位移所对应的海底深度，h5，h15，h25，h35，h45。依次对对应水平位移下飞机的沉降深度hx与海底深度h进行比较，根据大小判断飞机沉在海底的位置。

（3）问题三的分析：

类比于问题一，在水中的阻力即可看为在空气中的阻力，浮力即可看为在空气中飞机受到的升力，南赤道暖流对飞机的影响即可看为东南信风对飞机的影响，根据问题一的思路，求出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。

1.

模型建立与与求解

问题一的模型建立于求解 1.

┏Y=ρbv∞Γ …………①

竖直方向┃G=mg …………②

┃H=1/2a0t02，

…………③

┗H=10000m …………④

解得 v3=313.6m/s

┏v1=v0-a阻·t0

…………⑤

空气阻力方向 ┃f阻=kv2

…………⑥

┗a阻=f阻/m=kv2/m …………⑦

解得 v1=212.0m/s

东南信风方向 v2=6m/s t0

t0

X1= v1dt= 7748.6m

0 0

X= X12+X22

= 7750m

X2= v2dt=23.6m

即黑匣子的落水点在距离失事点竖直对应海平面点7750m，且与东北方向偏偏北成角 tan.α=23.6/7748.6

问题二的模型建立于求解 1.

┏f浮=ρ液gV排

…………⑧

竖直方向 ┃Ma1=G1-F浮

…………⑨

┗G1=Mg …………⑩

┏f1=1/2c·ρ·v2·s …………⑪

水平方向 ┃Ma2=f1

…………⑫

┗v122=v12+v22

…………⑬

解得 x=v12t1+/1/2a2t1

经证明，当x=5,15,25,的时候，h>hx, 所以落在Ⅳ区域。

2.

问题三的模型建立于求解

┏h=v3t3+1/2a1t32

┗x=v12t3+1/2a2t32

当h=1000时，x= 636m

当h=2000时，x= 954m

当h=3000时，x= 1144.8m

即，当h=1000时，距离落入点竖直对应海底点的位移为636m，成角为东北偏南tanβ=0.3

当h=2000时，距离落入点竖直对应海底点的位移为948m，成角为东北偏南tanγ=0.47

当h=3000时，距离落入点竖直对应海底点的位移为1144.8m，成角为东北偏南 tanε=0.68

六 模型的评价

优点：我们充分考虑了飞机在空中的受力情况，建立了合理的坐标系并通过计算得出了飞机轨迹的方程，运用matlab软件绘出了该曲线。对问题的分析和模型的描述与计算方面我们也做的很详细。

缺点：我们认为条件的假设过于理想化，虽然可以解决实际问题，但是效率没有预期的高。

七 参考文献

1.

国家标准(GB1920—80)

八 附录

飞机的坠落轨迹曲线

该模型的代码

搜寻失联飞机

摘要

飞机作为现代高速的交通工具，给人们的交通带来了极大的便利。同时它的失事率也是最低的，但是一旦有危险发生，乘客的生还几率也是极小的，所以，分析飞机失事的原因做到防患未然显得很重要。

针对问题一，飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，首先明确飞机失事的位置根据飞机失事后的所受的力，建立数学模型，分析飞机坠落过程，明确其原理，并查阅相关资料获取数据，列出公式。分别算出水平加速度和竖直加速度，再算出速度，进而求出飞机下落的水平距离。

针对问题二，黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，首先分析黑匣子在落水之后所受到的力，明确其原理，建立数学模型，查阅相关资料获取数据，在水平方向黑匣子运动的距离与初速度、阻力有关，综合考虑这些因素，可构造出水平方向的距离方程。在竖直方向上主要受重力、浮力、阻力的影响，进而列出竖直方向上的距离方程，竖直方向的距离可取图1中平均高度。求出时间，再求出水平距离。

针对问题三，首先考察了飞机失事地点的洋流情况。明确了洋流对黑匣子运行轨迹的影响。结合问题二，进一步讨论了黑匣子在海水中更加逼真的运行轨迹。此时，黑匣子受到四个力的作用：重力、浮力、阻力以及洋流的作用力，其中洋流的作用虽不可忽略，但是由于洋流的流速较慢，它的作用相对较轻。借助三维坐标，引入时间参数t，确定了参数方程，使问题得以解决。

关键词： 空气气流 洋流 运行轨迹 三维坐标

一、问题重述

飞机是远距离航行的交通方式之一，其主要特点是速度快，安全性高。据统计，飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式，但是飞机一旦发生事故，乘客的生还几率非常小。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。黑匣子记录的参数包括：飞机停止工作或失事坠毁前半小时的语音对话和两小时的飞行高度、速度、航向、爬升率、下降率、加速情况、耗油量、起落架放收、格林尼治时间、飞机系统工作状况和发动机工作参数等。因此，在飞机失事后，为了能够及时救援，分析、查找

失事的原因，而能够尽快确定失事后飞机的飞行轨迹和飞机上黑匣子的所在位置就变得极为重要。

假设有一架飞机在高空中飞行时突然发生事故，此时飞行高度为10000米，飞行速度是800公里/小时，航向东北方向45°，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。

请建立模型求解以下问题：

1.

假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。

2.

假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。

图1 黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图

3.

考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。

一、

问题分析

这是一个对失联飞机进行有目标地搜索问题。要解决这个问题要先明确飞机失事时的大体位置在哪以及飞机在坠落过程中所受的作用力有哪些。问题的特点在于飞机在飞行过程中所受力的情况很复杂。而

问题的关键也在于必须通过查阅相关资料获取这方面的信息。并通过相关文献获得系数值，获得问题结果。

2.1问题一的分析

飞机在失去动力的情况下，可通过惯性速度和空气流的作用继续飞行一段时间。但由于动力的失去，空气气流对飞机的作用就显得尤为重要。在获知空气气流对飞机的作用机理后可将这个关键的问题进行简化，从而得到一个类似物理学中运动问题的求解。

2.2 问题二的分析

基于问题一的情形，当飞机坠毁时假定黑匣子与飞机分离，同时具有与飞机相同的水平速度。当黑匣子落入水中，忽略洋流的影响，则问题可以进一步简化为物体在水中手流体水的作用运动的问题。同问题一，此时需要弄清楚水对在其中运动的物体的作用机理，进而抽象为运动问题的求解。

2.3 问题三的分析

问题三是在问题二的基础上考虑了洋流对黑匣子运动的影响。那么，首先应该查阅相关资料了解飞机失事区域的常年性的洋流情况是怎样的。其次应该了解运动的水流对物体的作用机理是什么。结合问题二的情形和洋流的作用考察黑匣子的可能运行轨迹，得到轨迹方程，获得问题的结果。

二、

模型假设与符号系统

3.1模型假设

（1）准确性假设：假设查阅的相关文献和资料都是准确的，可以根据相关的研究获得相关系数的数值。

（2）排他性假设：假设飞机和黑匣子在所研究的问题中只受到题目中所强调的因素的影响，不考虑其他因素对研究对象的影响。

（3）合理性假设：a、飞行员的技术和经验足够，能尽量使飞机保持相对稳定和平衡。时间元内认为飞机速度水平。b、飞机坠落的方圆区域相对整个地球表面足够小，可视为平面处理。c、黑匣子外形相对规则。

3.2 符号系统

符号

意义

Y

飞机升力

ρ

水的密度

C

升力系数

S

机翼面积

v

飞机速度

Cd

阻力系数

A

机翼面积

飞机在水平方向的加速度

飞机在竖直方向的加速度

M

飞机质量

α

飞机迎角

E

升阻比

Fd

飞机阻力

t

飞机飞行时间

g 重力加速度

L

飞机坠落过程中水平方向位移

H

飞机的失事时的高度

单位

牛（N）

Kg/

m/s

m·

Kg

°

N

s

m/

m

m

V

飞机的失事的速度

黑匣子的体积

海水的密度

黑匣子的质量

黑匣子的表面积

海水对黑匣子的阻力系数

Km/h

Kg/

Kg

注：未列出的符号及重复出现的符号以出现处为准。

三、

问题一的建模与求解

4.1 问题分析

根据查阅的相关资料，飞机在飞行过程中主要受到来自四方面的作用力：自身重力、升力、阻力及动力。当然，在问题一中我们出去动力对飞机的作用，只考虑其他三个方面的作用力。地球上及其附近的一切物体都要受到重力，飞机也不例外。该作用力作用于飞机竖直向下指向地心。问题一的主要问题是搞清空气气流作用在飞机上的升力和阻力，通过相关文献和参数确定相关参数，最终得到计算结果。

问题一的解决流程，如下图所示：

4.2数据初始化

α=10°；C=0.6 ；E=17 ；Cd=0.04 ；S=450 ；M=178156 ；ρ=1.205

H=10000 ；=800

4.3模型的建立

4.3.1相互关系的确立

①Y=

·ρ·C·S

②Fd=···Cd·A

4.3.2相关量的求解

=

=g -；

v =；

L =141.231km

B点

A

点

如上图所示，通过对模型的求解，得出以下结论；

1、

飞机失事点A距离落水点B之间的距离为141.231Km；

2、

落水点的经纬度为（88.898375E，21.101625S）。

四、

问题二的建模与求解

5.1 问题分析

根据合理性假设，黑匣子在落入海中的前一瞬间有与飞机相同的水平速度。在落入海中以后直达落在海底某位置的时间段内，黑匣子受到三个力的作用：自身重力、浮力以及海水的阻力。其中，重力和浮力为恒定的力，而海水阻力是运动速度的函数。在根据运动学的相关知识可以确定黑匣子在海水中运动时的大致曲线轨迹。

经查阅相关文献和资料，我们获得了黑匣子和海水的相关参数。本模型均已此参数为准。

问题二的解决流程图，如下图所示

5.2 数据初始化

V=0.0086 ； =1025 ；=20 ；=0.27 ；=0.5；

黑匣子入海时的速度Vh=35m/s

5.3 模型的建立

5.3.1 相互关系的确立

①黑匣子在海水中所受到的浮力：

Fh=·g·V

②黑匣子的重力为：

G=·g

③黑匣子在水中运动所受的阻力：

Fh=·

5.3.2 相关量的求解

引入时间参数t，综合考虑海水对黑匣子的作用，将模型简化如下：

1、

黑匣子的运动轨迹为（参数方程，其中x为水平方向，y为竖直方向）：

X=Vh·

Y=·a·

2、

根据上述模型，X=13.625km，黑匣子最终将落在区域Ⅱ

五、

问题三的建模与求解

6.1 问题分析

基于问题二，现考虑洋流对黑匣子运动的影响。首先通过查阅相关的资料和文献，明确在飞机失事区域的洋流情况。再结合问题二并加入洋流的影响，分析黑匣子在重力、浮力、阻力以及洋流冲击力的作用下的运动情况。从而获得黑匣子的运动轨迹方程，并解出在不同水深处黑匣子的落水点方位。

资料显示，东经88°、南纬22°处于东南信风带，常年盛行东南风，该处的洋流为南赤道暖流，平均流速为1.8km/h。这与飞机的航向即黑匣子落水时初速度的方向东北方向相互作用，使得黑匣子的运动往南偏离。

6.2 模型的建立

6.2.1 数据初始化

南赤道暖流的平均流速Vs=1.8km/h。其他数据同问题二。

6.2.2 相关量的求解

1、黑匣子的轨迹方程为：

X=Vh·

Y=

Z=Vh·t

2、当黑匣子处在1000m深度时，方位为（21.702564S,88.198236E）。

3、

当黑匣子处在2000m深度时， 方位为 （21.576349S，88.487562E ）。

4、

当黑匣子处在3000m深度时， 方位为 （21.312786S，88.610257E）。

六、

模型的评价

本文建立的模型简单易懂，从飞机的实际坠落轨迹中抽象出便于计算的数学轨迹模型，利用平抛、阻力系数、浮力系数、升力系数、流体力学、飞机的设计与制造原理等交叉学科的知识，更为精确的拟合出飞机坠毁的轨迹。在构建黑匣子落水轨迹的模型中，由忽略洋流因素的影响的简单模型进一步向考虑洋流因素的模型构建，由浅及深，可以为搜寻坠落物体提供具有一定可信度的搜索方法。

正是由于模型的简单，随之而来的就是模型因为考虑的因素不全面造成的不准确性。实际问题变幻无穷，例如飞机驾驶员面对坠机事件的应急处理不同、空中强气流的影响、海水中不定时洋流的影响、海洋地形以及海洋生物的影响，都会对黑匣子的落水位置造成影响，进而影响对黑匣子的位置的搜寻。

总而言之，本文建立的模型不能完全精确的反应实际情况中坠落物体落入水中的轨迹，但模型层层深入、有繁化简，的确可以解决一些精确度要求不高的问题。

参考文献：

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[3]/link?url=pyasFi772_VmE445c7eWVSASEkwZsh3m30fxwOFuQskal-M9YqURbp2uu7nIrBxhND9ykNtnHQ1GOwSi3xerja百度

[4]dia. /view/?fr=aladdinorg/wiki/%E5%8D%87%E9%98%BB%E6%AF%94百度

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[6]书名《飞行动力学》 作者：徐明友 出版社：科学出版社

[7]书名 《水力学》 作者：孙东坡 出版社： 黄河水利出版社

飞机失联问题

摘要

飞机失联是指飞行器与地面控制中心失去联系。民航飞机失联一般有两类：一是通讯失联，就是飞机上呼叫不到地面，或者地面无法呼叫到飞机。第二类是雷达信号失去联系，这类失联问题较大。

2014年3月8日凌晨2点40分，马来西亚航空公司称与一架载有239人的波音777-200飞机与管制中心失去联系的，该飞机航班号为MH370，原定由吉隆坡飞往北京。该飞机本应于北京时间2014年3月8日6:30抵达北京，马来西亚当地时间2014年3月8日凌晨2点40分与管制中心失去联系。马航已经启动救援和联络机制寻找该飞机。

利用飞机所在高度及外形，大气压力空气风阻，信风因素及地心引力等一系列问题，对飞机在空中的可能坠落轨迹进行分析对黑匣子的落水地点进行求解，利用微积分等高等数学知识和曲线拟合对其进行数学建模，获得更加精确的数据。在建模的过程中充分考虑与飞机坠落所有关的外界因素

关键词：飞机运行轨迹 黑匣子落水位置 空气阻力 多普勒效应 大气压差 信风地带

一、、提出问题

二、分析问题

三、建模过程

1.建立模型

2.对定义符号说明

3.受力分析

4.求解模型

5.模型验证

四、模型评价及改进

五、参考文献

飞机失联问题

一、 提出问题：黑匣子的学名是飞行数据记录仪，记录飞机飞行期间的详细信息资料，供事故分析使用，黑匣子是查明航空事故原因的重要因素，是全部调查工作的重中之重。

二、分析问题：由题可知，飞机在地面的投影位置为南纬22.0度，东经88.0度。

飞机失事地点为信风地区，由副热带高气压带吹向赤道地区的定向风叫信风。在地球自转偏向力的作用下，风向发生偏离，北半球形成东北信风；南半球形成东南信风。与此同时，飞机受地球引力及空气阻力，和自身涡流气压影响，在高空中进行无规则下落运动，飞机产生的动能，已无法和高空中的势能产生平衡。这样重力势能就会占有优势，就会产生下落的加速度，使飞机在接近地面的速度非常快，声音与地面接触瞬间，速度产生的变化量极大速度变化量，与飞机质量产生的惯性也是极大极大。即因为惯性极大极大，所以飞机在坠落利用接触时会完成解体，只剩下黑匣子在水中运动。通过对其运动特点的分析，了解坠落地点，大大节省搜救时间。

二、 建模过程

1、 模型建立

（1）、飞机下落过程主要受地球引力和空气阻力两大因素影响

（2）、飞机的初始速度和初始位置对下落位移有极大影响

（3）、飞机出事地点为东南信风带区域，所以飞机在水平方向上所阻力方向不变，飞机在下落过程中高度改变，空气压力改变，阻力大小改变。

（4）、由于飞机自身外形不规则，在空中做不规则变向运动以及提前解体

2、阻力满足 f=kv²

施密特数，用Sc表示，定义为运动黏性系数和扩散系数的比值，用来描述同时有动量扩散及质量扩散的流体。

雷诺数（Reynolds number）一种可用来表征流体流动情况的无量纲数，以Re表示，Re=ρvd/μ，其中v、ρ、μ分别为流体的流速、密度与黏性系数，d为一特征长度。

斯坦顿数：Stanton number简介：描述强制对流的一个准数。与雷诺数、普朗特常数等类似。

公式： St=α/（ρ*u*Cp）或 St=Nu/（Re*Pr）

α为对流传热系数，W/m2·K；ρ为流体密度，kg/m3；u为流体速度，m/s；

Nu为努塞尔特准数，Re为雷诺数，Pr为普朗特准数（皆为无量纲的数值）。

在流体的温度和流速等条件相同时，St数愈大，发生于流体与固体壁面之间的对流换热过程就愈强烈。

3、 建立模型

初始速度为800公里每小时，由于空气阻力的作用,水平速度会迅速减小并消失，在竖直方向上，速度增大，空气阻力变大，当达到与飞机自重一致时，保持匀速运动。

4、 阻力∝速度×粘性×物体几何尺寸。高雷诺数时,近似的阻力定律为

5、 St=α/（ρ*u*Cp）或 St=Nu/（Re*Pr）

建立三维坐标系，分别可以列出动力学方程：

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、

15、

16、

17、

18、

19、

下落时速度逐渐增大,阻力也随之增大,因而加速度随之减小。当下落速度增大到一定值,使阻力与重力大小相等时,飞机所受合力为零,物体将以V1 匀速下落。并将上公式整合得到底物体的下落轨迹及时间，就X关于Y的运动方程。求得t≈184s，则飞机相当于失事点的水平位移为（6.5km，3,9km）