2019-2020年九年级数学上册 韦达定理之根的分布知识详解 人教新课标版

2024年4月12日发(作者：高三数学试卷文科题形)

2019-2020年九年级数学上册 韦达定理之根的分布知识详解 人教新课

标版

一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。这部分

知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判

别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性

质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。

一．一元二次方程实根的基本分布——零分布

一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有

一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的

两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。

一元二次方程

axbxc0

（

a0

）的两个实数根为

x

1

、

x

2

，则

x

1

、

x

2

均为正



△

≥

0，

x

1

＋

x

2

＞0，

x

1

x

2

＞0；

x

1

、

x

2

均为负



△

≥

0，

x

1

＋

x

2

＜0，

x

1

x

2

＞0；

2

x

1

、

x

2

一正一负



x

1

x

2

＜0。

例1．关于

x

的一元二次方程

8x(m1)xm70

有两个负数根，求实数

m

取值范围。

2



≥0 ①



解：设两个实数根为

x

1

、

x

2

，依题意有



x

1

x

2

0②



xx0③



12

由①得：

(m1)32(m7)≥0

，

(m15)≥0

，恒成立。

22

m1

＜0，解之，

m

＞

1

。

8

m7

由③得：＞0，解之，

m

＞7。

8

综上，

m

的取值范围是

m

＞7。

由②得：



例2．若

n

＞0，关于

x

的方程

x(m2n)x

值。

2

1

m

mn0

有两个相等的正实数根，求的

4

n



0①



解：设两个实数根为

x

1

、

x

2

，依题意有



x

1

x

2

＞0 ②



xx0③



12

由①得：

(m2n)mn0

，

(mn)(m4n)0

，

∴

mn

或

m4n

。

2

若

mn

，则

x

1

＋

x

2

m2nn2nn

＜0，不符合②，舍去。

故

m4n

，此时均符合②、③，

∴

m4n

4

。

nn

2

二．一元二次方程实根的非零分布——

k

分布

设一元二次方程

axbxc0

（

a0

）的两实根为

x

1

、

x

2

，且

x

1

x

2

，

k

为常数。

则一元二次方程实根的

k

分布指

x

1

、

x

2

相对于

k

的关系，例如

x

1

、

x

2

均比

k

大，或者

x

1

、

x

2

均

比

k

小，或者

x

1

、

x

2

一个比

k

大，一个比

k

小等等。

x

1

、

x

2

均比常数

k

大



△

≥

0，（

x

1

－

k

）＋（

x

2

－

k

）＞0，（

x

1

－

k

）（

x

2

－

k

）＞0；

x

1

、

x

2

均比常数

k

小



△

≥

0，（

x

1

－

k

）＋（

x

2

－

k

）＜0，（

x

1

－

k

）（

x

2

－

k

）＞0；

x

1

、

x

2

一个比

k

大，一个比

k

小



△＞0，（

x

1

－

k

）（

x

2

－

k

）＜0。

例3．若方程

x2ax4a30

的两根均大于1，求实数

a

的取值范围。

解：设两个实数根为

x

1

、

x

2

，由韦达定理得：

x

1

＋

x

2

2a

，

x

1

x

2

4a3

。

2



Δ≥0 ①



依题意有



(x

1

1)(x

2

1)＞0 ②



(x1)(x1)＞0 ③

2



1

由①得：

4a4(4a3)≥0

，解之，

a≤1

或

a≥3

。

由②得：

2a

＞2，解之，

a

＞1。

由③得：

4a32a1＞0

，解之，

a

＞1。

综上，

a

的取值范围是

a≥3

。

当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2

和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达

定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个

弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数

量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。

我们知道，如果二次函数

f(x)axbxc(a0)

的图像与

x

轴有交点，那么交点的横坐

标即为二次方程

axbxc0(a0)

的实数根。反之亦然。利用这一点来看

问题1：什么条件下，二次方程

axbxc0(a0)

两个实数根

x

1

、

x

2

一个比

t

大，另

2

2

2

2