数学抽象及其在教学中应用

2023年12月26日发(作者：新疆高考2022数学试卷)

数学抽象及其在教课中的应用

抽象性是数学的基本特色之一，全部的数学知识可以说都是经过抽象获得的，小学

数学中的知识和方法亦是这样。数学抽象也是一种基本的数学思想。学生学习数学，不

仅是要学习那些由古人抽象概括形成的数学知识， 同时还要学习形成知识的抽象概括的

方法。认识数学抽象的特别性以及如何在小学数学教课中有效应用数学抽象方法就显得

十分必需。本文将在解析数学抽象的内涵、分类、教育价值的基础上，商讨数学抽象在

小学数学教课中的应用。

一、数学抽象的内涵和分类

1. 数学抽象的内涵。

“抽象”一词源于拉丁语“ abstracio

”，其本义是消除、抽取的意思。此刻人们对

抽象的理解一般有两种，一种是用来形容那种远离详尽经验，因此不太简单理解的对象

性质的程度；另一种是指从详尽事物中舍弃非实质属性而抽取实质属性的过程和方法。

后者反响出抽象是一种思想活动。

抽象性是数学的基本特色之一，抽象也是数学活动最基本的思想方法。作为方法的

数学抽象抽取的是事物在数目关系和空间形式等方面实质属性，从而提炼数学看法，构

造数学模型，建立数学理论。

2．数学抽象的分类。

数学的全部活动，从看法到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学系统所用的公义化方法，在实质应用中的数学模型方法，小到一个看法的给出，一个计算过程的建立，一个证明技巧的发现，甚至于一个问题的表征都需要用到数学抽象。由此也可以看出数学抽象是多种多样的，也是多层次的。认识数学抽象的分类有助于我们在教课中抓住抽象的要点和要点。

数学抽象依据抽象对象的性质可以分为“表征型抽象” “原理型抽象”和“建构型抽象”。对事物所表现出来的特色的抽象，称为“表征型抽象” 。比方三角形、正方形、圆、立方体、轴对称等看法都是“表征型抽象”的结果。对事物内在因果性、规律性、

关系性的抽象，称为“原理型抽象” 。比方乘法分配律、三角形内角和为 180o等基本数学关系都是“原理型抽象” ”的结果。而建立在这些抽象基础上的数学建构性活动称为“建构型抽象”。如定义质数和合数的看法的活动就是“建构型抽象” 。

数学抽象还可以从抽象过程的特色上分为“理想化抽象” “等置抽象”“弱抽象”和“强抽象”。理想化抽象是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象的

思想过程，理想化抽象得出的数学看法包括了关于真实事物或现象的简化和完美化，因此这些看法与现实原型自己未必完整吻合，如线段、射线、直线等看法都是理想化抽象的结果；又如，在解决实质问题的时候，常常用线段图来表示题目中的数目关系，而线

段图也是理想化抽象的结果。理想化抽象也可以经过引进理想化元向来发现数学理论，如虚数看法的建立。等置抽象是指依照某种等价关系抽取一类对象共同特色的抽象方法。如从三个苹果、三棵树、三枚棋子 这些在数目上拥有共同特色的事物中抽拿出“自然数 3”这一看法，就是等置抽象。弱抽象也可以叫做看法“扩大式抽象” ，即由原型中采用某一特色或侧面加以抽象，从而形成比原型更加一般的看法或理论。如关于长

方形的看法来讲，假如只保留“两组对边分别相等”的属性， 而舍弃“角”方面的特色，则可抽象出“平行四边形”的看法，这个过程就是弱抽象。强抽象也可以叫做“增强结

构式抽象”，即经过把一些新的特色加入到某一看法中而形成新看法的抽象过程。如在一般三角形看法上引入“两条边相等” ，就抽象出特别的“等腰三角形”这一看法，这个过程就是强抽象。

从思想过程上来看， 弱抽象是 “特别到一般” 的概括推理过程， 这个过程比较直观，比较切近学生的思想水平，有益于学生的理解，合适学生自主学习；强抽象则是“一般

到特别”的演绎推理过程，这个过程比较直接，但是不易理解，对学生的思想水平要求较高，需要教师进行讲解指导。

二、数学抽象的教育价值

数学抽象因为抽象的对象（看法、模型、理论系统等）和过程的不一样，表现出不一样的层次性，比方自然数、整数、有理数、实数、复数等看法的抽象性，几乎是逐渐提升的。一般说来抽象水平越高，反响出人们抽象思想能水平也越高，相应的民族文化发展水平也越高。所以，对教师而言，指引并训练学生逐渐从初级的经验水平转向高级的科学水平的抽象，提升他们的思想水平，促进他们智慧发展，是数学教育的重要任务。

1．数学抽象可以帮助学生更好地领会数学的实质。

数学抽象方法固然多，但是这些方法实质上都是一种构造活动，是借助于定义和推

理进行的逻辑建构。这里的逻辑建构是借助于明确的定义逻辑地构造出相应的数学对

象，这样的方法使得数学对象可以由内在的思想活动转变成外在的独立存在，从而形成

为一种“客观的”知识。比方，倍数和因数是两个整数在有整除关系的基础上构造出来

的看法。经过数学抽象这一构造活动，不但可以让学生经历数学知识产生的过程，还有

助于让学生领会数学知识自己的量化、形式化、模式化和理想化的特色，逐渐形成“数

学是关于模式的科学”的数学观和初步的“模型思想” 。

2．数学抽象可以帮助学生领会数学知识之间的层次性和构造规律。

经过数学抽象可以帮助我们找出数学看法和定理的原型，真实弄懂它们的含义，

掌握数学知识的前因后果，并洞察知识形成过程的全貌，这有助于我们认识看法层次结

构中各步骤的难易程度，看清看法的构造，从而进一步理解这些数学知识之间的关系及

其抽象的过程。比方，从因数到最大公因数这是一个强抽象的过程；

2、3、5 的倍数的

特色是原理型抽象的结果。

一般来说，人们先认识的一些较为详尽直观的事物对象，假如其内涵丰富，往

往会成为弱抽象的原型；反之，假如内涵特别困穷也许不够丰富，则会成为强抽象的出

发点。当我们认识到这一规律后，在今后的学习中遇到一个看法，可以就其性质特色加

以追问、反思和抽象，提升抽象思想的水平。比方当学生学习平行四边形时，我们可以

追问“四条边都相等的平行四边形是什么图形？（菱形）四个角都是直角的平行四边形

是什么图形？（长方形） ”这样的过程实质上就是强抽象的过程。

3．数学抽象有益于培育学生的抽象概括能力，发展思想能力。

思想最明显的特色就是概括性。思想之所以能揭露事物的实质和内在规律性的关系，主要来自抽象和概括，对事物的认识只有经过抽象概括才能由感性上涨到理性。

概括是指从某类事物中的个别对象拥有某种特有属性推行到该类事物的全体对象拥有这类特有属性的思想过程。比方，从下边的图片中消除颜色、大小等非实质属性，拿失事物中的空间形式这是抽象，而后依据抽象出的不一样大小的图形，再找出其共同的属性，建立梯形看法，这个过程就是概括。因而可知，在数学抽象的过程中，概括也起着至关重要的作用。

可以这样说，数学中的任何一类数、一种运算、一个看法、一个法规，都是抽象概

括共同作用的结果。 假如说抽象重在解析、 提炼，那么概括则重视于概括、 综合。可见，抽象是概括的基础，没有抽象就不行能有概括，而概括有有助于抽象，它能使抽象而来

的特有属性推行到研究对象的整个类中去。当抽象概括水平越高，知识系统性就越强，迁徙就越灵巧，一个人的智力和思想能力就更加展。

三、数学抽象在小学数学教课中的应用

小学数学中的看法、运算、性质和法规等都是经过数学抽象逐渐在学生的脑筋中建构起来的，所以，提升数学抽象方法使用的有效性，让学生可以经过数学抽象建立正确的数学知识就显得尤其重要，下边来说说数学抽象在小学数学教课中的应用。

1. 数学抽象时要充分发挥表象的作用。

表象是感性认识的一种高级形式，它是从详尽感知到抽象思想的过渡和桥梁，所以

在看法形成、计算法规和公式的推导过程中，建立能突失事物共性的典型表象是特别关

键的，这为进一步高水平的抽象概括供应了基础。

比方，在认识平行四边形的时候，为了便于抽象概括出其“两组对边相等”

“两组

对边分别平行”等实质特色，可以供应给学生以下典型图形充分感知、观察比较后，思

考这些图形共同之处，而后再抽象概括。

这里典型图形不必定只有一种，可以是多种多样的，这样有助于让学生建立比较丰

富的平行四边形的表象。 但是目前的大多数小学数学教材中认识平行四边形一课中所呈

现的素材中并无给出长方形和正方形（可能考虑到学生认知规律的原由）

，所以常导

致学生产生片面认识，即平行四边形的四个角不可以是直角，这正是供应的表象不全面导

致的。为了防备这样的问题产生，在采用表象的时候，必定要考虑全面。

2．数学抽象要掌握机遇，及时抽象概括。

在对详尽事物充分感知，形成表象后，就要掌握好机遇，及时抽象概括了，这样才

能使感性认识上涨到理性认识，提升学生的思想能力。试想，假如不及时抽象概括，那

么学生的思想水平必定逗留在表面的、浅陋的、琐碎的外面现象上，对事物的认识就不

可以深入下去。比方，在认识线段的时候，先让学生“把线拉直”

，发现毛线两头拉紧

后，中间一段是直直的。 而后指引学生在不看实物的情形下，

想象出拉直后毛线的状态，

并把脑筋中形成的图像画下来，以此抽象出线段的看法。这里的抽象概括是建立在学生

充分操作、想象的基础上的，机遇是合适，也是及时的。

3. 数学抽象要注意层次性。

小学生的抽象能力是跟着年龄的增加而逐渐发展着的， 是从抽取事物外面特色逐渐

发展到抽取事物实质特色的，是从借助于详尽事物进行较低层次的抽象，发展到借助于

表象也许数学看法的较高层次的抽象，这类发展需要教师的指导和点拨。

比方，研究轴对称图形时，教师先经过一些详尽的轴对称物体抽象为轴对称图案，

再抽象为详尽的轴对称图形，最后抽象出“对折以后完整重合的图形叫做轴对称图形”

这一看法，此中的层次性不言而喻。又如，加法交换律的教课，教师先从详尽情境“朝

三暮四”的故事中抽象出数目关系“

3+4=4+3”，再经过一组这样的等式抽象概括出“交

换加数的地点和不变”这一结论，最后用抽象的字母表示为“

a+b=b+a”。这类抽象的层

次性吻合学生认知从详尽到抽象、特别到一般的发展规律，便于学生理解和接受。

4. 重视语言在数学抽象过程中的作用。

数学抽象的结果是形式化的，多数是用词、词组和句子来表达的，任何一个数学概

念、法规的推导过程也是要借助于语言的指导和帮助的，所以要重视语言在数学抽象过

程中的作用。在数学抽象过程中使用语言，一般有两个作用，一是加工调理作用，经过

语言表达，让感知对象的特色更加清楚，表象更加明确精巧，这样有益于后续的抽象。

二是概括作用，经过语言将抽象出来的结论表达出来，给它命名，也许给出一个结论，

便于学生理解和记忆。比方，异分母分数计算的法规是：

“异分母分数相加减，平时先

通分，再按同分母分数的加减法计算。

”把抽象的计算过程简洁理解地表达出来，不但

使学生易于掌握，并且还可以培育学生的数学语言。

抽象是基本的数学思想。数学抽象方法是数学化的一般方法，是数学学习过程中必定要用到的数学方法。教师在教课中要精心设计数学知识逐渐抽象概括的过程，指引学生逐渐感悟抽象思想。