国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第16届)

2023年12月10日发(作者：45套数学试卷安徽)

国际数学奥林匹克（IMO）竞赛试题（第16届）

1. 三个玩家玩游戏．在三张扑克牌上分别写上一个正整数，并且每张牌上的数都不相同．在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得卡片上数目的筹码．当游戏进行时，玩家手上的筹码自然是越来越多．假设游戏至少进行了两轮以上．在最后一轮结束时，第一个玩家有筹码20个，第二个玩家有10个，第三个玩家有9个．又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码．试问，在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？

2. 三角形ABC，求证在边AB上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是

sin A sin B <= sin2(C/2).

3. 试证明对任意非负整数n，下式都不能被5整除：

∑ C(2n+1，2k+1)23k，

上式中的求和是k从0到n，符号 C(r，s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!)．

4. 沿着一个 8 x 8 象棋盘（黑白相间）中的线将其分割成p个不相交的长方形，使得每个长方形内的黑白小方格的数目一样，并且每个长方形中小方格的数量也都不一样多．求出所有可能p值中的最大值；并对这样的最大值求出所有可能的分法（即求出那些长方形的大小）．

5. a，b，c，d是任意实数，判定下式的所有可能值：

a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)．

6. 设 P(x) 是一个指数d>0的整系数多项式，n是P(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 n <= d + 2.