2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析

2023年12月5日发(作者：浙江数学试卷中考)

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2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

一、 选择题

（1）、复数13i=

1iA. 2i　　B. 2i　　C. 12i　　D. 12i

【考点】复数的计算

【难度】容易

【答案】C

【解析】13i(13i)(1i)24i12i.

1i(1i)(1i)2【点评】本题考查复数的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）、已知集合A＝{1.3.

m}，B＝{1，m} ,AUB＝A, 则m=

A. 0或3 B. 0或3 C. 1或3 D. 1或3

【考点】集合

【难度】容易

【答案】B

【解析】

ABABAQA(1,3,m),B(1,m)mAm3或mmm0,m1(舍去)m3.

【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x=﹣4 ，则该椭圆的方程为

x2y2x2y2A. +=1 B. +=1

1612128x2y2x2y2C. +=1 D. +=1

84124【考点】椭圆的基本方程

【难度】容易

【答案】C

.. .

【解析】椭圆的一条准线为x=﹣4,∴a2=4c且焦点在x轴上，

22xy∵2c4∴c2，a22∴椭圆的方程为=1

84【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。在高考精品班数学（文）强化提高班中有对圆锥曲线相关知识的总结讲解。

（4） 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=22 E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

A. 2 B.

【考点】立体几何

【难度】容易

【答案】C

【解析】因为底面的边长为2，高为22且连接AC,BD,

得到了交点为O,连接EO,EO∥AC,则点C1到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，过C作CH⊥OE,则：CH即为所求在三角形OCE中，利用等面积法，可得CH=2.

【点评】本题考查立体几何中直线与平面间距离问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解，其中第11讲中的例4与此题几乎一致。

（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a55,S515，则数列{3 C.

2 D. 1

1}的前100项和为

anan1A.1009999101 B. C. D.

1【考点】数列

【难度】中等

【答案】A

【解析】因为已知等差数列{

an}中，a5=5，

S5(a5a1)515∴a1=1

∴d=1

2∴ann∴1111=

anan1n(n1)n(n1)111111100.

∴S100=(1-)(-)...()12231

【点评】本题考查数列的前n项和求解方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第二章《数列》有详细讲解，其中第04讲中，例6属于完全相同类型的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。

.. .

rruurruurrrruuura.b0,a1,　b2则AD= （6）△ABC中，AB边的高为CD，若CB=a,CA=b,　

1r1r2r2r3r3r4r4rA.ab　　B.ab　　C.ab　　D.ab

33335555【考点】向量

【难度】容易

【答案】D

rr25

【解析】因为a

b=0

∴∠ACB=90°

∴AB=5,CD=

5∴BD=545,AD=

∴AD:BD=4:1

55uuur1uuur4uuuruuuruuuruuurur4uuur4uu4r4rCDCACB∴ADCDCACACBba

555555【点评】本题考查向量的计算问题。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第六章《平面向量》有详细讲解，其中第01讲，有向量计算问题的专题讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对向量相关知识的总结讲解，在百日冲刺班有向量与三角函数综合类型题目的讲解。

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=

3A.5555 B. C. D.

3993【考点】三角函数

【难度】容易

【答案】A

【解析】∵sin+cos=

sin2=

13.两边平方，得到1+sin2=

332∴是第二象限角，因此sin＞0，cos＜0

315

35.

3∴- sin+cos=

(sincos)2cos2=(-- sin+cos)( sin+cos)=

【点评】本题考查三角函数的计算及二倍角公式，注意各个象限内三角函数值的符号。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第六章《三角函数》中有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。

（8）已知F1、F2为双曲线C：

x－y2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

..

22.

A.1334 B. C. D.

4545【考点】双曲线及解三角形

【难度】中等

【答案】C

【解析】由题意可知，a=2=b

∴c=2

设PF1=2X,

PF2=X

∴PF1-

PF2=x22∴PF1=

42，PF2=

22，F1F2=4

2(42)2（22）423利用余弦定理则cos∠F1PF2=

=.

422242【点评】本题考查在双曲线中利用余弦定理求解三角形问题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，其中第06讲中例4有相同类型题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对圆锥曲线、解三角形相关知识的总结讲解。

（9）已知x=lnπ，y=log52，z=e，则

A. x＜y＜z B. z＜x＜y C. z＜y＜x D. y＜z＜x

【考点】对数函数

【难度】中等

【答案】D

【解析】∵ln＞1

∴log512122125∴log5＞2，

log2

∴z=

e1∴e＜2∴y＜z＜x.

e【点评】本题考查对数函数的相关性质，即单调性。在高一数学强化提高班上学期课程讲座2，第四章《初等函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对指数函数、对数函数相关知识的总结讲解，其中第02讲中有相同类型题目的讲解。

(10) 已知函数yx－3xc的图像与x恰有两个公共点，则c＝

A .﹣2或2 B. ﹣9或3 C. ﹣1或1 D. ﹣3或1

【考点】导数的应用

【难度】中等

【答案】A

【解析】因为三次函数的图像与x轴恰有两个公共点，说明函数的极大值或极小值为零即可。

【点评】本题考查利用导数判断函数单调性，进而判断函数与坐标轴交点。在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《导数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对导数相关知识的总结讲解，同时还包含很多导数与数列、与圆锥曲线相结合的题目。

..

3.

（11）将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

A.12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种

【考点】排列

【难度】中等

【答案】A

【解析】本题考查排列组合的运用，利用分布计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，接着填写第二行第一列的数，有2种，所以一共有3×2×2=12种。

【点评】本题考查排列的定义及计算方法。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章《排列、组合、二项式》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率、排列、组合相关知识的总结讲解，同时包含概率与立体几何相结合的综合题目。

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7.动点P从E出发沿直线3向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

A.16 B.14 C.12 D.10

【考点】轨迹问题

【难度】较难

【答案】B

【解析】结合已知中的点E，F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可。

【点评】本题考查在空间几何体中点的轨迹问题。在高二数学（理）强化提高班上学期，第七章《空间向量与立体几何》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中均有对轨迹问题相关知识的总结讲解，同时还包含很多轨迹问题的总结性题目。

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作．．．．．答无效。

．．．3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．x-y10,（13）若x，y满足约束条件xy-30,则z3x1的最小值为_________.

x3y-30,【考点】线性规划

【难度】容易

【答案】－1

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【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（0,1）时最小为－1。

【点评】本题考查线性规划求最值。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第五章《不等式》有详细讲解，其中第06讲，是线性规划的专题讲解，有完全相似的题目讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对线性规划相关知识的总结讲解。

(0x＜2)取得最大值时，x=___________. （14）当函数ysinx3cosx　【考点】三角函数

【难度】容易

5【答案】6

【解析】因为 ysinx－3cosx2sin(x3)

5Qx[0,2] x－[－，]33,3

5当x－，即x,326函数值最大为2.

【点评】本题考查三角函数变换。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第五章《三角函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。

（15）若(x)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中【考点】二项式定理

【难度】中等

【答案】56

【解析】CnCn,　n8　Q(x261xn1的系数为_________.

2x18)展开式的通项公式为：

x

Tr1C8rx8-2r　,令8－2r－2，得到r＝5C56即为所求.58【点评】本题考二项式定理的公式。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第九章《排列、组合、二项式定理》有详细讲解，其中第03讲，例2，属于完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对二项式定理、排列、组合相关知识的总结讲解。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=50°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

【考点】异面直线之间的夹角

【难度】较难

【答案】338

38.. .

【解析】首先根据已知条件，做AH垂直于底面交BC的高线于H,然后可得到侧棱与底为3，设出侧棱长3为a,然后利用建立空间直角坐标系，表示异面直线所成的角，以H为原点，建立坐标系，这样可以得到A（3a3aa6a3aa3aa6a,0,0）B1(,,),B(,,0),C1(,,)，结合向量的夹角公式可以得到余弦值。

333362623

【点评】本题考查异面直线之间夹角的计算方法。在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第五章《空间中的夹角和距离》有详细讲解，其中例4有完全相似的题目。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对立体几何相关知识的总结讲解，包括空间中的垂直、平行、夹角典型例题的讲解。

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（注意：在试卷上．．．．．．．作答无效）

．．．．（17）（本小题满分10分）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos(A－C)＋cosB=1，a=2c，求c.

【考点】解三角形综合题

【难度】容易

【点评】本题考查解三角形及三角函数综合题。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第一章《解三角形应用问题》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对解三角形相关知识的总结讲解。

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.

【考点】立体几何综合题

【难度】中等

【点评】本题考查立体几何中垂直关系的证明及直线与平面所成角的求解。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第四章《立体几何》，高二数学（理）强化提高班上学期，第七章《空间向量与立体几何》有详细讲解，有完全相似的题目剖析。在高考精品班数学（理）强化提高班、寒假特训班中有对立体几何相关知识的总结讲解。

（19）. （本小题满分12分）

.. .

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球.

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.

【考点】概率计算综合题

【难度】中等

【点评】本题考查概率的计算。在高二数学（理）强化提高班下学期，第六章《概率》有详细讲解，其中第04讲主要讲解“高考中的概率题”，有完全相似题目的讲解。在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

（20）（本小题满分12分）

设函数f(x)axcosx，x∈[0，π].

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）设f(x)1sinx，求a的取值范围.

【考点】函数性质及导数综合

【难度】中等

【点评】本题考查利用导数判断函数的相关性质及函数与不等式的综合问题。在高二数学（理）强化提高班下学期，第一章《导数》有详细讲解，在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第五章《不等式》有不等式详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数、导数及不等式综合知识的总结讲解。

（21）.（本小题满分12分）

1已知抛物线C:y(x1)2与圆M:y(x1)2(y)2r2 (r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切2线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

【考点】抛物线

【难度】中等

【点评】本题考查抛物线、直线的综合知识。在高一数学强化提高班下学期课程讲座2，第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解，同时高清课程《平面解析几何专题》也有对抛物线的专题讲解。

（22）（本小题满分12分）

函数f(x)x2x3，定义数列{xn}如下：x12,xn1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.

（Ⅰ）证明：2xnxn13;；

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.

【考点】数列与函数综合题

【难度】较难

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2.

【点评】本题考查函数与数列的结合，及数列综合知识。在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第八章《数列》，高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第二章《数列》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班、百日冲刺班中均有对数列相关知识的总结讲解，有相同类型的重点分析。

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