江苏省南京市、盐城市2022届高三第二次模拟考试数学试题含答案_

2024年4月17日发(作者：九有关数学试卷)

南京市、盐城市2022届高三年级第二次模拟考试

数 学

注意事项：

1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．

2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．

3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡

上．

第 I 卷 (选择题共60分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x

2

－4x＋3≤0}则A∪B＝

A．[1，3] B．(2，3] C．[1，＋∞) D．(2，＋∞)

2．若(2＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知a，b为单位向量．若|a－2b|＝5，则|a＋2b|＝

A．3 B．5 C．7 D．5

4．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°~90°之间角的三角函数值，而这个范

围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则tan1600°

的值为(小数点后保留2位有效数字)

α

sinα

A．－0.42

10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80°

0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848

B．－0.36 C．0.36 D．0.42

5．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上．若该圆锥的底面半径为23，高为6，

则球O的表面积为

A．32π B．48π C．64π D．80π

6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出．泊松分布的

λ

k

概率分布列为P(X＝k)＝e(k＝0，1，2，…)，其中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均

k!

值．已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布．若每周销

售1件该商品与每周销售2件该商品的概率相等，则两周共销售2件该商品的概率为

2

A．

4

e

B．

4

e

4

6

C．

4

e

8

D．

4

e

高三数学试卷

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x

2

y

2

7．已知椭圆C：

2

＋

2

＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，过点F与x

ab

轴垂直的直线与直线AB交于点P．若线段OP的中点在椭圆C上，则椭圆C的离心率为

A．

7－17－15－15－1

B．C．D．

2323

8．已知实数a，b∈(1，＋∞)，且2(a＋b)＝e＋2lnb＋1，e为自然对数的底数，则

A．1＜b＜aB．a＜b＜2aC．2a＜b＜eD．e＜b＜e

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚

转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．2017年~2021

年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示．根据下面图表，下

列说法一定正确的是

A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民

B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大

C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大

D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升

(第9题图)

10．已知抛物线y

2

＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的

准线于点Q，下列说法正确的是

A．若O为线段PQ中点，则PF＝2 B．若PF＝4，则OP＝25

C．存在直线l，使得PF⊥QFD．△PFQ面积的最小值为2

π

11．设函数f(x)＝sin(ωx＋)，ω＞0，下列说法正确的是

3

A．当ω＝2时，f(x)的图象关于直线对称

π

B．当时，f(x)在[0，]]上是增函数

2

高三数学试卷

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7

C．若f(x)在[0，π]上的最小值为－2，则ω的取值范围为ω≥

6

4

D．若f(x)在[－π，0]上恰有2个零点，则ω的取值范围为ω≥

3

12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝2．若

点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则

A．AG⊥平面PBD

π

B．直线FG和直线AB所成的角为

4

C．当点T在平面PBD内，且TA＋TG＝2时，点T的轨迹为一个椭圆

D．过点E，F，G的平面与四棱锥P－ABCD表面交线的周长为22＋6

第II卷 (非选择题共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．实数a，b满足lga＋lgb＝lg(a＋2b)，则ab的最小值为 ▲ ．

14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表

和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不

同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则

不同的排列方法种数为▲ ．(用数字作答)

15．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1－x)＋f(1＋x)＝2，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x－x

2

，

若f(x)≥x＋b对一切x∈R恒成立，则实数b的最大值为 ▲ ．

16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径．如图，将三个半径为20cm的

小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切．利用“十”字尺

测得小球的高度差h为8cm，则圆弧的半径为cm．

(第16题图)

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

2ππ

在平面四边形ABCD中，已知∠ABC＝，∠ADC＝，AC平分∠BAD．

36

π

(1)若∠BAD＝，AC＝2，求四边形ABCD的面积；

3

(2)若CD＝23AB，求tan∠BAC的值．

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18．(本小题满分12分)

已知数列{a

n

}，当n∈[2，2

k

)时，a

n

＝2

k

，k∈N*．记数列{a

n

}的前n项和为S

n

．

(1)求a

2

，a

20

；

(2)求使得S

n

＜2022成立的正整数n的最大值．

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，△PAB是边长为2的等边

三角形，PD⊥AB，PD＝6．

(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．

20．(本小题满分12分)

最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为p(0＜p＜1)．现对该

产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验

10次．记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a＞0)元．

(1)①写出X的分布列；

1

②证明：E(X)＜；

p

(2)某公司意向投资该产品．若p＝0.25，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，

并说明理由．

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21．(本小题满分12分)

x

2

y

2

双曲线C：

2

－

2

＝1(a＞0，b＞0))经过点(3，1)，且渐近线方程为y＝±x．

ab

(1)求a，b的值；

(2)点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经

过原点O．求证：直线AB与圆x

2

＋y

2

＝1相切．

22．(本小题满分12分)

设函数f(x)＝ae

x

＋sinx－3x－2，e为自然对数的底数，a∈R．

(1)若a≤0，求证：函数f(x)有唯一的零点；

(2)若函数f(x)有唯一的零点，求a的取值范围．

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