一种构造阿基米德Copula生成元的方法

2023年12月29日发(作者：自贡小升初前几年数学试卷)

第３８卷第４期　２０１１年７月　浙江大学学报（理学版）　ＪｏｕｒｎａＩ　ｏｆ　Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｊｏｕｒｎａｌｓ．互ｊＵ．ｅｄｕ．ｃｎ／ｓｃｉ　Ｖ０ＩＪ．３８　Ｎｏ．４　ｕ１．２０１１　ＤＯＩ：１０．３７８５／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—９４９７．２０１Ｉ．０４．００６　一种构造阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元的方法　曾　霞　，王　沁。，赵琼　（１．湖北经济学院统计与应用数学系，湖北武汉４３０２０５；２．西南交通大学数学学院，！ＮｉｌＩ成都６１００３１）　摘　要：阿基米德Ｃｏｐｕｌａ族在经济、金融方面有着重要的应用，它们是由某些单调递减凸函数所生成的一类Ｃｏｐｕ—　ｌａ，这类单调递减的凸函数被称为生成元．不同生成元所生成的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ具有的性质也完全不同．通过ｇ函　数，找到了一种通过某些连续的一维分布函数构造阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元的方法．另外，讨论了生成元与ｇ函数　之间的关系，从而在某些情况下可以扩展阿基米德Ｃｏｐｕｌａ族．　关键词：生成元；阿基米德Ｃｏｐｕｌａ；ｇ函数；　分布函数　文献标志码：Ａ　文章编号：１００８—９４９７（２０１１）０４—３９１－０４　中图分类号：０　２１１．９　ＺＥＮＧ　Ｘｉａ　，ＷＡＮＧ　Ｏｉｎ。，ＺＨＡＯ　Ｑｉｏｎｇ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃ＆Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｗｕｈａｎ　４３０２０５，Ｃｈｉｎａ；２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ　６１００３１，Ｃｈｉｎａ）　Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ　ｏｆ　Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　Ｃｏｐｕｌａｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ），２０１　ｉ，　３８（４）：３９１—３９４　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　Ｃｏｐｕｌａｓ　ｐｌａｙ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｒｏｌｅ　ｉｎ　ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　ａｎｄ　ｆｉｎａｎｃｅ，ｔｈｅｙ　ｃａｎ　ｂｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｂｙ　ｓｏｍｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ　ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｘ．Ｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｈｉｃｈ　ａｒｅ　ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ　ａｎｄ　ｃｏｎｖｅｘ　ａｒｅ　ｃａｌｌｅｄ　ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ．　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ　ｃｏｕｌｄ　ｇｅｎｅｒａｔｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　Ｃｏｐｕｌａｓ．Ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ　ｏｆ　Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　ｇｅｎｅｒ—　ａｔｏｒｓ　ｗｈｉｃｈ　ｄｅｐｅｎｄｓ　ｏｎ　ｓｏｍｅ　ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　ｆｏｕｎｄ　ｂｙ　ｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｗｅ　ｃａｎ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｉｓ　ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ　ｂｙ　ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｅａｓｉｌｙ．Ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｇｅｎｅｒａｔｏｒ　ｉｓ　ｄｉｓｓｃｕｓｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｕｓ，Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　Ｃｏｐｕｌａｓ　ｃａｎ　ｂｅ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｉｎ　ｓｏｍｅ　ｃａｓｅｓ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｔｏｒ；Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　Ｃｏｐｕｌａｓ；ｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　米德Ｃｏｐｕｌａ是单减凸函数所生成的一类Ｃｏｐｕｌａ，　０　引　言　Ｃｏｐｕｌａ一词原意是交换、连接的意思，首次出　现在ＳＫＬＡＲＬ１］的文献中．它是研究相依性非数值　测度的一种方法，是构造多维分布函数族的起点，随　不同生成元所生成的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ所具有的性　质也完全不同．例如，Ｇｕｍｂｅｌ－Ｃｏｐｕｌａ只能用于描述　变量间的非负相关关系，而Ｃｌａｙｔｏｎ—Ｃｏｐｕｌａ可以用　于描述变量间的负相关关系和正相关关系．如何构　造生成元从而生成多种类型的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ是　后文献［２—３］对其进行了发展．自从ＥＭＢＲＥＣＨＴＳ　等＿４　把Ｃｏｐｕｌａ引入金融研究上以来，许多学者取得　了较好的研究成果．　在众多的Ｃｏｐｕｌａ函数族中，阿基米德Ｃｏｐｕｌａ　近来研究的一个热点．文献Ｅｓ－１利用函数的符号运算　构造了生成元，文献［６］利用单增函数方法构造了生　成元．　本文研究的目的是为了寻找阿基米德Ｃｏｐｕｌａ　的函数具有形式简单、对称和可结合等其他Ｃｏｐｕｌａ　函数不具备的优点，在金融分析中被广泛应用．阿基　收稿日期：２０１０—０４—１２．　的生成元．内容安排如下：第ｌ部分基础知识；第２　部分基于文献［７］提出的基于ｇ函数构造Ｃｏｐｕｌａ的　基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（ｓ、ｖＪＴＵ０９２Ｔ３７）　作者简介：曾霞（１９８Ｏ一），女，讲师，主要从事随机变量相依性研究．　

３９２　浙江大学学报（理学版）　第３８卷　新方法，提出了一种构造阿基米德Ｃｏｐｕｌａ的生成元　的方法；第３部分分析了ｇ函数与阿基米德Ｃｏｐｕｌａ　生成元之间的关系；第４部分是结论和值得进一步　研究的问题．　２　一种构造生成元的方法　定理３　若非负随机变量０的分布函数Ａ（　）　为连续函数且存在反函数，概率密度函数为　（　），函　１　基础知识　本文用到如下定义和定理：　数　（　）是　（　）的Ｌａｐｌａｃｅ变换，即　（　）一　ｊ。ｅｘｐ｛一０ｓ｝Ａ（Ｏ）ｄＯ，则　是一个阿基米德ｃ。Ｐｕｌａ　生成元．　定义１［。　记Ｉ—Ｅｏ，１１，如果一个二元函数　ｃ：，　一，，满足：　（１）Ｖｔ∈Ｊ，Ｃ（ｔ，Ｏ）一Ｃ（０，　）一０且Ｃ（ｔ，１）一　ｔ，Ｃ（１，￡）一ｔ；　（２）对于Ｖ“１≤“２，　１≤　２，　ｌ，Ｍ２，　，　２∈　，　Ｃ（Ｕ２，　２）一Ｃ（“２，　１）一Ｃ（　１，　２）＋Ｃ（　１，　１）≥０，　则称二元函数Ｃ为２一Ｃｏｐｕｌａ．　定义２［。　为［Ｏ，１］一［０，＋。。］的一元连续　的、严格单减的凸函数，满足　（１）一０，　（ｓ）是函　数　的逆函数，９卜　．［０，＋。。］一［０，１］是函数　的　广义逆函数，其定义为　９Ｅ　１　２（ｓ）：＝　∞’㈩　则Ｃ（ｕ，　）一９　（　（　）＋　（　））为阿基米德　Ｃｏｐｕｌａ，函数　为其生成元．　如果　（Ｏ）一。。，则称生成元与其相应的　Ｃｏｐｕｌａ为严格的．　定义３Ｌ７　对任意的“，ｔ∈Ｊ，如果非负二元函　数ｇ（Ｕ，￡）满足：　（１）Ｖ　ｔ∈Ｊ，函数ｇ（ｕ，　）在Ｊ上是　的非降函　数；　（２）ｇ（０，　）＝０，ｇ（１，￡）一１；（３）ｌ　ｇ（ｕ，　）ｄｔ一　，则称二元函数ｇ（ｕ，ｆ）为ｇ函数．　定理１　Ｅ　若非负值随机变量＠的分布函数　Ａ（　）为连续函数且反函数存在，概率密度函数为　（　），函数　（ｓ）是　（　）的Ｌａｐｌａｃｅ变换，即　（ｓ）＝＝＝　Ｉ　ｅｘｐ｛－Ｏｓ）　（　）ｄＯ，则函数　ｇ（ｕ，　）一ｅｘｐ｛一Ａ～　（￡）９－　（“））　（２）　是满足定义３的ｇ函数，其中Ｕ，ｔ∈，．　定理２［。　Ｖ　，７２，ｔ∈Ｊ，ｇ１（“，ｆ），ｇ２（　，￡）是ｇ　函数，则二元函数　Ｃ（“，　）一ｌ　ｇ１（“，ｔ）ｇ２（　，　）ｄｔ　（３）　是２一Ｃｏｐｕｌａ．　证明　若令ｔ—Ａ（　），由定理１知　ｇ（“，￡）一ｅｘｐ｛一Ａ＿　（￡）　（“）｝一ｅｘｐ｛一０９　（　）｝　是满足定义３的ｇ函数，其中“，ｔ∈ｊｒ．　在定理２中取ｇ１（“，￡）一ｇ２（“，ｆ）一ｇ（“，￡），代　人式（３），　Ｃ（ｕ，　）一ｌ　ｇ（ｕ，Ａ（　））ｇ（　，Ａ（　））　（　）ｄＯ—　Ｊ。ｅｘｐ｛一０９　（　））ｅｘｐ｛一０９　（　））　（　）ｄ　ｊ。ｅｘｐ｛一　（　）＋　（　）　（　）ｄ　一　（“）＋　（　）］，　令　一　，于是Ｃ（ｕ，口）一　［　（“）＋　（　）］．　下证　是阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元．　由于　（ｓ）：［．ｆ　ｅｘｐ｛－０ｓ｝　（　）ｄ　］　一　一１　０ｅｘｐ｛一Ｏｓ｝　（０）ｄＯ＜０，　即　一　＜０，所以　严格单减．　由于　为凸函数当且仅当　为凸函数，于是只　需证　为凸函数即可．　Ｖ　Ｓ，ｔ∈ＥＯ，ｏ。］，使得０≤ｓ＜ｔ，而　（　）一ｊ’　ｅｘｐｌ＿＿字　一　Ｉ　ｅｘｐ｛－ｓＯ｝２（Ｏ）ｄＯ＋ｌ　ｅｘｐ｛－ｔＯ｝２（Ｏ）ｄＯ　：　．．　．．．．．．．．　．．　．．　．．．．．．．．．．．．．．．．　．．．．．．．．．．．．．．．．．、　．　。．．．．．．．．．．：　．　：　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　．．．一一　２　—ｅｘｐ｛一ｓ———　）＋ｅｘｐ｛一￡—　——～　｝　　（　）ｄＯ，　义ｙ—ｅｘｐｉ—Ｏｘ　Ｊ力曲凼甄，即Ｖ　Ｓ，ｔ∈ＬＯ，∞Ｊ，当　０≤Ｓ＜ｔ时，　唧卜　｝≤　，　故　（半）一Ｊ’　ｅｘｐ｛一半　㈣ｄ　≤　Ｊ　０　ｆ。。　厶　上）型Ａ（Ｏ）ｄＯ—　

第４期　曾　霞，等：一种构造阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元的方法　翌　±翌　２　’　，　即　为凸函数，亦即　为凸函数．　ｌ！ｐ为所求的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元．　又　（１）＝＝＝０，　（Ｏ）一ＣｘＤ，即　于是　满足定义２，故　元．证毕　：Ｉ一［０，。。］，　是阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成　容易求得，生成元　・（　）一　一１生成的阿基　４ｓ　米德ｃ０ｐ　ｕｌａ为ｃ一　‘　例１　若随机变量＠服从参数为ａ（ａ＞Ｏ）的指　数分布，即分布函数为　Ａ（　）事实上，该结论告诉我们，由一个一维连续分布　函数，就可求出一个相应的生成元，而一维连续分布　ｆ　１一ｅｘｐ｛－－ａＯ），０≥０，　…、　一ｆ　１０，０＜０，　概率密度函数为　（　）一』　。ｘｐ｛一ａ　｝，０≥ｏ，　１０，０＜０，　其Ｌａｐｌａｃｅ变换为　（ｓ）一Ｊ。ｅｘｐ｛一０５｝。口ｅｘｐ｛＿ａＯ）ｄＯ一　・　于是　（ｓ）一旦一ａ，　即为所求的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元．　容易求得，生成元　（ｓ）一旦一ａ生成的　Ｃｏｐｕｌａ为Ｃ一—＿　—一，即对所有的口＞０，生成　的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ均为Ｃ一—＿　—一．文献［７］　把该ｃ。Ｐｕｌａ记为　．在文献［７］列出的常见２２族　阿基米德Ｃｏｐｕｌａ中，该Ｃｏｐｕｌａ是其中某些族的一员．　例如，阿基米德Ｃｏｐｕｌａ族　—　＝＝＿　二　，　０∈［一１，１］，其中Ｃ１一—　；又如阿基米德　Ｃｏｐｕ・ａ族Ｇ—ｍａｘ｛　，０），　０∈［１，ｃｏ），其中Ｃ。。一—＿＿　一．　例２　若随机变量＠的分布函数为　。’　一　【，０　　其他，，　　概率密度为　一｛ｌ，００其　。ｅ，　－￣，其他，　’　其Ｌａｐｌａｃｅ变换为　（ｓ）一．『　ｅｘｐ｛一　ｓ｝　ｅｘｐ｛一０｝ｄ０－　＝　＿ｊ　，　于是　函数非常容易获得，因此，这种方法不失为一个获得　生成元的好方法．ｇ函数实际上是一维分布函数与　生成元之间关系的桥梁．　显然，由这种方法所得到的生成元具有一般生　成元的特征，即它是连续的严格单调递减的凸函数．　３　阿基米德生成元与ｇ函数之间的　关系　定理４　设妒是阿基米德生成元，且　的　Ｌａｐｌａｃｅ逆变换存在，若对　作Ｌａｐｌａｃｅ逆变换的结　果为概率密度　，Ａ是对应的一维分布函数，那么式　（２）可写为　ｇ（ｕ，￡）一ｅｘｐ｛一Ａ一　（￡）　（　）），　（４）　于是，找到了ｇ函数与阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元之间　的一种关系．　例３　阿基米德Ｃｏｐｕｌａ￣　Ｃ（　，　）＝：＝—＿　一　“Ｔ　。“Ｕ　的生成元为　（５）一÷一１，则　（５）一　（ｓ）一　＿ｌ，对　（ｓ）做Ｌａｐｌａｃｅ逆变换，可求得概率密度函　数为　（　）一ｆ　ｅｘｐ｛－０｝，　≥ｏ，　１０，０＜０，　于是分布函数为　Ａ（…　）　ｆ　１一ｅｘｐ｛、　一０｝，０≥０，一｛　一　　【０，０＜０，　那么　Ａ一　（￡）一一Ｉｎ（１一￡）．　将Ａ一，　代人式（４），可求得ｇ函数为　ｇ（ｕ，　）一（１一￡）音～．　由定理２可知，ｇ函数可用来构造Ｃｏｐｕｌａ，那　么，根据ｇ函数与生成元之间的关系，阿基米德族就　可以进一步扩展．例如，２个不同的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ　生成元　，　分别对应着２个不同的ｇ函数ｇ　，ｇ　，　其中，　

３９４　浙江大学学报（理学版）　第３８卷　ｇｌ（　，ｆ）一ｅｘｐ｛一Ａ　（　）　１（　）），　Ｓｔａｓｔｉｓｔ，１９８６，４０：２８０—２８５．　ｇ２（口，　）一ｅｘｐ｛一Ａ　（￡）　２（　）），　［３］ＪＯＥ　Ｈ．Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ　ｆａｍｉｌｉｅｓ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕ—　通过ｇ　，ｇｚ又可以构造出与　，　相关的Ｃｏｐｕｌａ　ｒ１　ｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｇｉｖｅｎ　ｍａｒｇｉｎｓ［Ｊ－］．Ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ　Ａｎａｌ，１９９３，　４６：２６２—２８２．　ｃ（“，　）一ｌ　ｇ１（　，￡）ｇ２（　，￡）ｄｔ—　Ｊ　０　ｒ４］　ＥＭＢＲＥＣＨＴＳ　Ｐ，ＬＩＮＤＳＫＯＧ　Ｆ，ＭＣＮＥｌＬ　Ａ．Ｍｏｄ—　ｅｌｉｎｇ　ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ　ｗｉｔｈ　Ｃｏｐｕｌａｓ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｔＯ　ｒｉｓｋ　ｒ１　Ｊ　Ｕ　Ｉ　ｅｘｐ｛－［Ａ『　（　）　（“）十　（　）　（　）］｝出．　（５）　ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ［Ｃ］／／Ｈａｎｄｂｏｏｋ　ｏｆ　Ｈｅａｖｙｔａｉｌｅｄ　Ｄｉｓｔ　Ｒｉｂｕｔ　Ｉｏｎｓ　ｉｎ　Ｆｉｎａｎｃｅ．Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｎｏｒｔｈ　Ｈｏｌｌａｎｄ　Ｐｕｂｌｉｓｈ—　ｉｎｇ　Ｃｏｍｐａｎｙ，２００３：３２９—３８４．　阿基米德Ｃｏｐｕｌａ具有对称性，但式（５）的Ｃｏｐｕｌａ不　一定是对称的，即不一定是阿基米德Ｃｏｐｕｌａ，但是　［５］陈崇双，何平，马利琼．阿基米德Ｃｏｐｕｌａ生成元的复合　它的性质肯定与生成元　，妒ｚ的性质有关．这将是　一个比较有意义的问题．　４　结　论　目前Ｃｏｐｕｌａ理论已经广泛应用于金融领域，尤　其是具有良好性质的阿基米德Ｃｏｐｕｌａ族，它的性质　与其生成元有关．而本文给出了一类与一维分布函　数有关的阿基米德生成元，因此可以新生成一些阿　基米德Ｃｏｐｕｌａ．根据本文的结论，在某些情况下，甚　至可以将阿基米德Ｃｏｐｕｌａ的形式改写成Ｃ（ｕ，　）一　［　（“）＋　（　）］，只需令　＝＝＝　即可．此外，在　已知生成元的情况下，阿基米德Ｃｏｐｕｌａ还能由式　（５）扩展，即从具有对称性的Ｃｏｐｕｌａ扩展为不一定　具有对称性，但其性质又与构成它的生成元相关．这　将进一步扩大阿基米德Ｃｏｐｕｌａ的应用范围．　参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：　Ｅｌｉ　ＳＫＬＡＲ　Ａ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｄｅ　ｒｅｐａｒｔｉｔｉｏｎ　ａｎ　ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ　ｅｔ　ｌｅｕｒｓ　ｍａｒｇｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｓｔ　Ｓｔａｔｉｓｔ　Ｕｎｉｖ　Ｐａｒｉｓ，１９５９，８：２２９—２３１．　［２］　ＧＥＮＥＳＴ　Ｃ，ＭＡＣＫＡＹ．Ｔｈｅ　ｊｏｙ　ｏｆ　Ｃｏｐｕｌａｓ：Ｂｉｖａｒｉ—　ａｔｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｕｎｉｆｏｒｍ　ｍａｒｇｉｎａｌｓ［Ｊ］．Ａｍｅｒ　构造研究［Ｊ］．西南民族大学学报：自然科学版，２００８，　１２：１１４５—１１４８．　ＣＨＥＮ　Ｃｏｎｇ－ｓｈｕａｎｇ，ＨＥ　Ｐｉｎｇ，ＭＡ　Ｌｉ－ｑｉｏｎｇ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　Ｃｏｐｕｌａ　ｇｅｎｅｒａ—　ｔｏｒｓ［－Ｊ］．Ｊｏｍｍｌ　ｏｆ　Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｓｅ：　Ｎａｔｒｕａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００８，１２：１　１４５—１　１４８．　［６］何嘉梅．基于实值函数的二元Ｃｏｐｕｌａ的构造［Ｄ］．成　都：西南交通大学，２００７．　ＨＥ　Ｊｉａ—ｍｅｉ．Ｔｈｅ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｂｉｖａｒｉａｔｅ　Ｃｏｐｕｌａｓ　Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　Ｒｅａｌ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｄ］．Ｃｈｅｎｇｄｕ：Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ　Ｊｉａｏ—　ｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００７．　［７］　曾霞，何平．基于ｇ函数的多元Ｃｏｐｕｌａ的构造［Ｊ］．数　理统计与管理，２００８，２７（５）：８４３—８４９．　ＺＥＮＧ　Ｘｉａ，ＨＥ　Ｐｉｎｇ．Ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｔｅ　Ｃｏｐｕｌａｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｍａｎａｇｅ－　ｍｅｎｔ，２００８，２７（５）：８４３—８４９．　［８］　Ｒ０ＧＥＲ　Ｂ，ＮＥＬＳＥＮ．　Ａｎ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　ｔＯ　Ｃｏｐｕｌａｓ　ｒ　Ｃ］／／Ｌｅｃｔｕｒｅｓ　Ｎｏｔｅｓ　ｉｎ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，１３９，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：　Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９９９．　［９］王沁，易文德，王璐．乘积阿基米德Ｃｏｐｕｌａ［Ｊ－］．浙江大　学学报：理学版，２０１０，３７（３）：１４８—１５２．　ＷＡＮＧ　Ｑｉｎ，ＹＩ　Ｗｅｎ－ｄｅ，ＷＡＮＧ　Ｌｕ．Ｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ　Ａｒｃｈｉｍｅｄｅａｎ　Ｃｏｐｕｌａ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｚｈｅｊｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉ—　ｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２０１０，３７（３）：１４８—１５２．　（责任编辑寿彩丽）