2023年河南省高考文科数学真题及参考答案

2023年12月17日发(作者：六下数学试卷期末)

2023年河南省高考文科数学真题及参考答案一、选择题1.2i2i23（B.2）A.1C.5D.5）2.设集合U0,1,2,4,6,8，集合M0,4,6，N0,1,6，则MCUN（A.0,2,4,6,8B.0,1,4,6,81,2,4,6,8C.D.U3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.304.在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosBbcosAc，且C则B（），5A.10B.5C.310）D.25xex5.已知fxax是偶函数，则a（e1A.2B.1C.1D.2）6.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则ECED（A.5B.3C.25D.57.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域x,y1xy4内随机取一点A，则直线22OA的倾斜角不大于A.18的概率为（411B.C.64）D.1218.函数fxxax2存在3个零点，则a的取值范围是（3）2A.，3B.，1C.4，D.3,0共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、9.某学校举办作文比赛，乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.1310.已知函数fxsinx在区间22，单调递增，直线x和x为函数6363）5yfx的图象的两条对称轴，则f（12A.32B.2122C.12D.32）11.已知实数x,y满足xy4x2y40，则xy的最大值是（A.13222B.4C.132D.7y212.已知A,B是双曲线x1上两点，下列四个点中，可为AB中点的是（9A.1,1二、填空题13.已知点A1，5在抛物线C：y2px上，则A到C的准线的距离为14.若0，，tan）B.1,2C.1,3D.1,42.31，则sincos2.x3y115.若x,y满足约束条件x2y9，则z2xy的最大值为3xy7.16.已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA.2三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yii1,2,10，试验结果如下试验序号i伸缩率xi伸缩率yi527355337548536记zixiyii1,2,10，记z1,z2z10的样本平均数为z，样本方差为s，（1）求z，s；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显2s2著提高（如果z2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡10胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.记Sn为等差数列an的前n项和，已知a211，S1040.（1）求an的通项公式；（2）求数列an前n项和Tn.19.如图，在三棱锥PABC中，ABBC，AB2，BC22，PBPC6，BP,AP,BC的中点分别为D,E,O，点F在AC上，BFAO.（1）证明：EF∥平面ADO；（2）若POF120，求三棱锥PABC的体积.320.已知函数fx1alnx1.x（1）当a1时，求曲线fx在1,f1的切线方程；（2）若fx在0，单调递增，求a的取值范围.5y2x2，点A2，21.已知椭圆C：221ab0的离心率为0在C上.3ab（1）求C的方程；（2）过点2,3的直线交曲线C于P,Q两点，直线AP,AQ交y轴于M,N两点，证明：线段MN中点为定点.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1x2cos的极坐标方程为2sin，曲线C2：（为参数，y2sin42）.2（1）写出C1的直角坐标方程；（2）若直线yxm既与C1没有公共点，也与C2没有公共点，求m的取值范围.【选修4-5】23.已知fx2xx2.（1）求不等式fx6x的解集；（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组fxy所确定的平面区域的面积.xy604参考答案一、选择题1C2A23D34C5D6B7C28B39A10D11C212D1.解：∵2i2i212i12i，∴2i2i12i12253.解：如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA13，点H,I,J,K为所在棱上靠近点B1,C1,D1,A1的三等分点，O,L,M,N为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCDA1B1C1D1去掉长方体ONIC1LMHB1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵ABC，∴sinCsinAB，∵acosBbcosAc，由正弦定理得：sinAcosBsinBcosAsinCsinAcosBcosAsinB∴sinBcosA0，∵B0，，∴sinB0，∴cosA0，∴A∵C3，∴B.525102xex5.解：∵fxax是偶函数，则e1xexxexxexea1xax0，fxfxaxaxe1e1e1又∵x不恒为0，可得eexa1x0，则xa1x，∴a2.6.解：以AB,AD为基底表示：1ABAD，21EDEAADABAD，2ECEBBC22111∴ECEDABADABADADAB41342257.解：∵区域x,y1xy4表示以O0，0为圆心，外圆半22径R2，内圆半径r1的圆环，则直线OA的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角MON，结4441.合对称性可得所求概率为p2428.解：由条件可知fx3xa0有两根，∴a02a要使函数fx存在3个零点，则f0且3解得a3af0，3A6259.解：有条件可知P.66610.解：∵fxsinx在区间则T，当xT22，单调递增，∴，且0，632362时，fx取得最小值，则22k,kZ，66255,kZ，不妨取k0则fxsin2x，6622.T则2k则f355.sin1232222211.解：由xy4x2y40得x2y19，令xyt，则xyt0，圆心2,1到直线xyt0的距离为21t1122t123，解得132t132，∴xy的最大值为132.12.解：由对称性只需考虑1,1，1,2，1,3，1,4即可，注意到1,3在渐近线上，1,1，1,2在渐近线一侧，1,4在渐近线的另一侧.下证明1,4点可以作为AB的中点.设直线AB的斜率为k，显然k存在.6ykx14设lAB：ykx14，直线与双曲线联立2y2，1x9整理得9k2x22k4kx4k90，2x1x222k4k9只需满足，∴，解得，此时满足0.2k2049k二、填空题13.9；414.5；515.8；16.213.解：由题意可得：准线方程为x522p1，则2p5，∴抛物线的方程为y25x，559，点A到C的准线的距离为1.444sin2cos2114.解：∵0，，∴sin0,cos0，由sin1，2tancos2解得sin5255,cos，∴sincos.555∵z2xy，15.解：作出可行域如下图所示，∴y2xz，联立有x3y1，x2y9解得x5y2设A5,2，显然平移直线y2x使此时截距z最小，则z最大，代入得z8.其经过点A，16.解：如图所示，根据题中条件OAOS2，ABBCAC3，233∴rO1A3，32222OAOO1O1A∴22OSSAOOO1A2172222Rdr4d3即，代入数据得，解得SA2或SA1（舍）2222RSAdr4SAd3三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵zixiyii1,2,10，∴z1x1y15455369；z26；z38；z48；z515；z611；z719；z818；z920；z1012.z1z1z2z10196881511191820121110102110ziz，将各对应值代入计算可得s261∵s10i1（2）由（1）知：z11，s61，2s26161122s222∴2，z11121，∴z222101010510∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高a2a1d1118.解：（1）设等差数列an的公差为d，由题意可得109S10ad401012解得a113，∴数列an的通项公式为ana1n1d152n.d2nN（2）由（1）知an152n，令an152n0得0n7,∴当0n7,nN时，Tnna1ann214n；2当n8,nN时，Tna1a2a7a8a9ana1a2a7a8a9ana1a2a7a8a9an8T7TnT72T7Tn249n214nn214n982n14n,n7,nN综上所述Tn2n14n8,n7,nN19.解：（1）∵AOBF,ABBC，∴FBCOABOB2AB2，tanACB，∴FBC2BC2∴点F为AC中点.又点O为BC中点，∴OFBC.又ABBC∴OF∥AB.∵点E为PA中点，∴EF∥PC.∵点D,O分别为BP,BC中点，∴DO∥PC，即DO∥EF∵EF平面ADO，DO平面ADO，∴EF∥平面ADO.（2）过点P作PHOF，垂足为H.在PBC中，PBPC，∴POBC.∵OFPOO，∴BC⊥平面POF.又PH平面POF，∴BCPH.又∵PHOF，OFBCO，∴PH⊥平面ABC.在PBC中，PO由（1）知OFBC，PC2OC22.3在RtPOH中，POH60，PHPOsinPOH∴VPABC11126PHSABCPHABBC.332311lnx1,，x20.解：（1）（1）当a1时，fx则fx111lnx11，xx1x2据此可得f10,f1ln2，函数在1，f1处的切线方程为y0ln2x1，即ln2xyln22xx1lnx1111（2）由题意知fx2lnx1a.2xx1xxx1若fx在0，则方程axxx1lnx10在0，上单调递增，上恒成立，29令hxaxxx1lnx1,2x0，则hx2axlnx1.当a1时，hx2axlnx10成立，hx单调递增且h00，hx0成立，2111时，hx2axlnx1,hx2a0，则x1，2x12a111上单调递减，在1，上单调递增，h002a2a符合题意.当0a则hx在0,则hx在0,11上单调递减，h00，2a则x0,11上时，hx0不合题意，舍去.2a当a0时，hx2axlnx10，hx单调递减，h00，则hx0不合题意，舍去..∴a的取值范围为，b2a3y2x22221。21.解：（1）由题意可得abc，解得b2，∴椭圆的方程为94c5c5ea3（2）由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ：ykx23，Px1,y1,Qx2,y2，12ykx23222联立方程y2，消去y得：4k9x8k2k3x16k3k0，x2149则64k22k32644k29k23k1728k0，解得k0，8k2k316k23k可得x1x2，,x1x2224k94k9∵A2,0，则直线AP：yy1x2，x1210令x0，解得y2y12y1，即M，0，x12x12同理可得N0，2y2，x222y12y2x2x22kx123kx223则12x12x222kx1x24k3x1x242k31083，x1x22x1x2436∴线段PQ的中点时定点0,3.（二）选做题22.解：（1）∵2sin，即2sin，可得xy2y，222整理得xy11，表示以0,1为圆心，半径为1的圆，22又∵xcos2sincossin2，ysin2sin1cos2，且2，则2，则xsin20,1，y1cos21,2，42222故C1：xy11，x0,1，y1,2.（2）∵C2：2x2cos（为参数，）2y2sin2整理得xy4，表示圆心为O0,0，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线yxm过1,1，则m0，若直线yxm即xym0与C2相切，m2则2，解得m22，m0若直线yxm与C1，C2均没有公共点，则m22或m0，即实数m的取值范围为，022，.113x2,x223.解：（1）依题意，fxx2,0x2，3x2,x0不等式fx6x化为：x20x2x0或或，3x26xx26x3x26x解得2x2，∴不等式fx6x的解集为2，2.（2）作出不等式组fxy表示的平面区域，如图中阴影ABC，xy60y3x2由得A2，8，xy6由yx2，解得C2，4，xy6又B0，2，D0，6，∴ABC的面积SABC11BDxCxA62228.221213