2010年北京市中学生数学竞赛(初二)

2024年4月16日发(作者：数学试卷忘带了怎么办)

２０１１年第３期　

２０１０年北京市中学生数学竞赛（初二）　

中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１１）０３—００２５—０３　

一

、

选择题（每小题５分，共２５分）　

１．设　、ｙ为实数，满足　

＋　＋，，４＝　．　

则　＋　的值是（　）．　

（Ａ）２　（Ｂ）３　（Ｃ）４　（Ｄ）５　

２．如图１，直线１，／／ｚ，　

４一　３＝　３一　２　

＝　２一　１＝ｄ＞０，其　

中，　３＜９０。，　１＝５０。．　

则　４最大可能的整数值　

是（　）・　图ｌ　

（Ａ）１０７。　（Ｂ）１０８。　

（Ｃ）１０９。　（Ｄ）１１０。　

３．设Ｐ是质数．则满足　

Ｉ口＋ｂＩ＋（ａ一６）　＝ｐ　

的整数对（口，ｂ）共有（　）对．　

（Ａ）３　（Ｂ）４　（Ｃ）５　（Ｄ）６　

４．设△ＡＢＣ的三边长分别为ＢＣ＝２，ＣＡ　

Ｆ　

＝

３，ＡＢ＝４，ｈ　ｈ¨ｈｃ分别表示边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ　

上的高．则　

（　＋　＋＾　）（　＋　１＋　１）＝（）．　

（Ａ）４

。

１（Ｂ）孚（ｃ）　（Ｄ）　

５．如图２，正方　

形ＡＢＣＤ被直线ＯＥ　

分成面积相等的两　

部分，已知线段ＯＤ、　

ＡＤ的长都是正整　

图２　

，’　’　

数，　２０・则满足　

上述条件的正方形ＡＢＣＤ面积的最小值是　

（　）．　

（Ａ）３２４（Ｂ）３３１　（Ｃ）３５４（Ｄ）３６１　

二、填空题（每小题７分，共３５分）　

１．如图３，已知　

ＡＢ：２，ＢＣ：ＡＥ：６，Ａ　

Ｃ，Ｅ＝Ｃ，Ｆ＝７．ＢＦ＝８．　

则四边形ＡＢＤＥ与　

△ＣＤＦ面积的比值　

２圯知４＋＿Ｔ１＝　＋２．　

４＋　

３．如图４，在四　

边形ＡＢＣＤ中，设　

ＢＡＤ＋　ＡＤＣ＝　

２７０。，且Ｅ、Ｆ分别　

为ＡＤ、ＢＣ的中点，　图４　

＝

４，阴影部分分别是以ＡＢ、ＣＤ为直径的　

半圆．则这两个半圆面积的和是　（圆　

周率为７ｃ）．　

４．计算：　

１　１　１　

ｉ　丽＋互　丽＋…＋互　丽一　

２　０１０［　１　１　

．　

１　、　

五Ｉ　面十　一＋撕　Ｊ　

５．如图５，在边长　

为ｌ０的正方形ＡＢＣＤ　

中，内接有六个大小相　

同的正方形，Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ　

是落在大正方形边上的　

小正方形的顶点．则这　

六个小正方形的面积和是　

中等数学　

三、（１０分）在凸五边形ＡＢＣＤＥ中，　

ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＥ＝ＥＡ．　

故（　。＋　＋　）（去＋　１＋　１）　

＝

＝

／ＡＢＣ＝２　ＤＢＥ．　

求证：　ＡＢＣ：６０。．　

四、（１５分）能否将２　０１０写成ｋ个互不　

相等的质数的平方和？如果能，试求ｋ的最　

大值；如果不能，请简述理由．　

五、（１５分）某次初二数学竞赛，共有９９　

＝

【（　＋萼＋　＋　Ｊ萼）（【　＋　　＋ｂ＋　Ｊ去）　

（　＋｝＋÷）　口＋６＋ｃ，　

（　＋了ｌ＋÷）（２＋３＋４）＝　．　

５．Ｄ．　

所中学报名参加，每校参赛者中既有男选手，　

也有女选手．证明：存在其中的５０所学校的　

男选手总数不小于全部男选手总数的一半，　

且其参赛的女选手总数也不小于全部女选手　

总数的一半．　

参考答案　

Ｉ

、

１．Ａ．　

令　＋Ｙ　＝ａ．则　

＝　＝　．　

又　４＋　＝（　２＋），　）　一２ｘ　ｙ２　

＝ａ２

—

２（　）　＝　１。２＋ｎ一　１＝　７　

＝　ｎ　＋２Ⅱ一１：７　

口＝２或一４．　

由于ａ＞０，则　＋Ｙ　＝２．　

２．　

由　３＝５０。＋２ｄ＜９０。　ｄ＜２０。　

＝　４＝５０。＋３ｄ＜５０。＋３×２０。＝１１０。　

４最大可能的整数值是１０９。．　

３．Ｄ．　

因ａ＋ｂ、ａ—ｂ具有相同的奇偶性，所以，　

Ｐ＝２．　

于是，整数对（ａ，ｂ）为　

（１，１），（一１，一１），（０，１），　

（１，０），（一１，０），（０，一１）．　

共６对．　

４．Ｂ．　

设△ＡＢＣ的面积为ｓ．则　

ｈ　＝　，ｈ　＝２　Ｓ

＝　

，

．　

如图６，因　

为正方形ＡＢＣＤ　

被直线ＯＥ分成　

面积相等的两部　

分，所以，直线ＯＥ　

通过正方形的中　

图６　

Ｐ．　

故ＢＥ＝ＧＤ．　

令ＯＤ＝ｎ，ＡＤ＝ｍ．则　

ＢＥ　：　ＧＤ　ｏＤ　：　：　

ｎ　

：２０．

一　

　

所以，ｍ：１９ｎ≥１９．　

当，ｌ＝１时，ｍ＝１９．　

故正方形ＡＢＣＤ面积的最小值为　

１９　：３６１．　

二、１．１．　

因ＡＣ＝ＢＦ＝８，ＣＥ＝ＣＦ＝７，ＢＣ＝ＡＥ＝６，　

所以，△ＡＥＣ　△ＢＣＦ．　

故Ｊｓ呦脚雠＝Ｓ△　一｜ｓ　

＝

ｓ　Ｆ—ｓ　ｏｃ＝ｓ　ＤＰ　

２．一１．　

注意到　＋２＝４＋　．　

５＋２　

一

２ｋ＝√Ｓ＋２　｜ｉ｝＝一１．　

３．８７ｃ．　

如图７。延长　

ＢＡ与ＣＤ交于点　

由　ＢＡＤ＋　

ＡＤＣ＝２７０。。得　

ＢＭＣ　

＝　ＡＭＤ＝９０。．　图７　

联结ＢＤ，并取ＢＤ的中点Ｐ，再联结雎、　

２０１１年第３期　

ＰＦ．　

由三角形的中位线定理有　

ＰＥ　．　

因此，　ＥＰＦ＝　ＢＭＣ：９０。．　

在Ｒｔ△ＥＰＦ中应用勾股定理得　

Ｐ　＋Ｐ　＝ＥＦ２＝　

．　

即　

（竽）　＋（　）　．　

所以，两个阴影半圆面积的和为　

詈（　）　＋詈（　）　＝詈ｘ　６＝８丌．　

４

．　

１　

’２—０２１—０５５‘　

对于ｋ：２，３，…，２　０１０，有　

ｌ　２　０１０　

ｋ（２０１１一　）２０１１（　一１）（２０１１一　）　

＝　

【（÷＋　）一（　＋　）】　

＝　

（　一　）．　

故原式＝　１＋　（　一・）　

一———————　—一一　

一

２　Ｏ１１×１　００５—　

２　０２１　０５５。　

５．３２．６４．　

如图８，过　

每个小正方形　

的顶点依次作　

各边的平行线，　

构成“弦图”，　

其中的小直角　

三角形长边为　

口，短边为ｂ．则　

ｆ２ａ＋５ｂ＝１０．　图８　

ｉ５ｎ＝１０　

』口＝２，　

Ｉ　ｂ＝１．２．　

所以，一个小正方形面积为　

２　＋１．２　＝５．４４．　

于是，六个小正方形面积和为　

５．４４×６＝３２．６４．　

三、因为　ＡＢＣ＝２　ＤＢＥ，所以，　

ＤＢＥ＝　ＡＢＥ＋　ＣＢＤ．　

如图９，过点　

Ｂ　ＢＰ　｝ＡＥ　１　

ＤＥ交于点　

结合ＡＢ＝ＡＥ，　

知　ＰＢＥ＝　ＡＥＢ　

图９　

＝

／ＡＢＥ．　

所以，　ＣＢＤ＝　ＤＢＰ．　

但由ＢＣ＝ＣＤ，得　ＣＤＢ＝　ＣＢＤ．　

所以，　ＣＤＢ＝　ＤＢＰ．　

因此，ＢＰ∥ＣＤ．　

又　ｆＡＥ，则ＣＤｆｆＡＥ．　

而ＣＤ＝ＡＥ，知四边形ＡＣ　是平行四　

边形．　

于是，ＡＣ＝ＤＥ．　

在△ＡＢＣ中，由ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，知△ＡＢＣ　

是等边三角形．　

因此，　ＡＢＣ＝６０。．　

四、若２　０１０能写成．ｊ｝个质数的平方和，　

取最小的ｌ０个互不相等的质数的平方和，则　

４＋９＋２５＋４９＋１２１＋１６９＋　

２８９＋３６１＋５２９＋８４１　

＝

２　３９７＞２　０１０．　

因此，ｋ≤９．　

易知，只有一个偶质数２，其余质数都是　

奇数，而奇数的平方被８除余１．　

因为２　０１０被８除余２，但九个不同质数　

的平方和被８除余１或４，八个不同质数的　

平方和被８除余０或３，故｜ｊ｝≤７．　

当ｋ＝７时，经试算得　

２　＋３　＋７　＋１１。＋１３　＋１７　＋３７　＝２　０１０

．　

综上，２　０１０可以写成ｋ个互不相等的质　

数的平方和，ｋ的最大值是７．　

事实上，还可以证明ｋ≠１，２，…，６．　

所以，２　０１０只能表示为七个互不相等　

的质数的平方和．　

五、将参赛中学编号为１，２，…，９９，以　

（ｉ：１，２，…，９９）表示编号为第ｉ所中学男选　

中等数学　

２０１０年全国高中数学联赛山东赛区预赛　

中图分类号：（；４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１１）０３—００２８—０７　

一

、

选择题（每小题６分，共６０分）　

１．已知｛ａ　｝是一等差数列，５　是其前　

ｎ项之和．则一口　＜０１＜一０　＋１是Ｓ　＞０，　

４．已知一　＜　＜詈，　

２ｔａｎ　＝ｔａｎ　２ｏｒ，ｔａｎ（ｌ一　）＝一２４２．ｆ　

则ＣＯＳ　ａ＝（　）．　

Ｓ　＋。＜０的（　）条件．　

（Ａ）充分必要　

（Ｂ）充分而不必要　

（Ｃ）必要而不充分　

（Ｄ）既不充分也不必要　

（Ａ）譬　（Ｂ）　（ｃ）　（。）　

５．已知整数集合　

Ｍ＝｛ｍｌ　＋　一３６＝０有整数解｝，　

２．已知函数　

）＝　＋（ｎ＋１）　＋（口＋１）　＋ｔ／，　

集合Ａ满足条件：　

（１）　ＣＡＣＭ；　

在其定义域内既有极大值又有极小值．则实　

数ａ的取值范围是（　

（Ａ）一１＜０＜２　

（２）若ａ∈Ａ，则一ｔ／，∈Ａ．　

）．　

（Ｂ）０＞２　

则所有这样的集合Ａ的个数为（　

（Ａ）１５　（Ｂ）１６　（Ｃ）３１　

）．　

（Ｄ）３２　

（Ｃ）ａ＜一１　（Ｄ）口＞２或口＜一１　

６．已知０＜０＜ｂ，在ｎ、ｂ之间插入一个　

７，，使０、ｍ、１１，、ｂ成等差数列．　

３．若集合　：｛　Ｉ　｛　≤　｝和集合　

入两个正数ｍ、１

Ｎ＝｛　Ｉｘ　一２ｘ＋Ｃ≤０｝满足　ｎ　Ｎ＝Ｍ，则实　

正数｜ｊ｝，使ａ．ｋ、ｂ成等比数列；在ａ、ｂ之间插　

则（ｋ＋１）　与（ｍ＋１）（凡＋１）的大小关系为　

（　）．　

（Ａ）（ｋ＋１）　＜（ｍ＋１）（ｎ＋１）　

（Ｂ）（ｋ＋１）　：（ｍ＋１）（ｎ＋１）　

（Ｃ）（ｋ＋１）　＞（ｍ＋１）（ｎ＋１）　

数ｃ的取值范围是（　

（Ａ）ｃ≤一４　４　

（ｃ）ｃ≤一６６　

百

）．　

（Ｂ）　≤

（Ｄ）ｃ≤

５　５　

一

７７　

一

百

（Ｄ）不确定　

由　２　≥　２　（ｋ＝２，３，…，４９）得　

Ａ２≥Ａ１一　２≥Ａｌ一　１．　

手的数量．不妨设　。≥　≥…≥　．　

将除第１所学校外的２～９９号学校分为　

两组．　

因此，Ａ２＋　１≥Ａ１．　

第一组是编号为２，４，…，９８的４９所学　

校．男选手总和设为Ａ，，女选手总和设为曰　

又在第一组与第二组的选手中，必有一　

组（设为ｃ）的女选手数量不小于两组参赛女　

选手总数量的一半，再将编号为１的学校加　

入到Ｃ组，所得的５０所学校的男、女选手也　

都不小于男、女选手总数的一半．　

第二组是编号为３，５，…，９９的４９所学　

校．男选手总和设为Ａ　，女选手总和设为Ｂ　．　

由　２　≥　２…（ｋ＝１，２，…，４９）得　

Ａ１≥Ａ２．　

（李延林提供）