北师大版八年级下册数学同步课时练习题(全册分章节课时,含答案)

2024年3月19日发(作者：泸州初一数学试卷真题)

北师大版八年级下册数学同步课时练习题

第一章三角形的证明

第二章 1．1 等腰三角形

第1课时全等三角形和等腰三角形的性质

01 基础题

知识点1 全等三角形的性质与判定

1．如图，△ABC≌△BAD.若AB＝6，AC＝4，BC＝5，则AD的长为(B)

A．4 B．5

C．6 D．以上都不对

2．如图，若能用AAS来判定△ACD≌△ABE，则需要添加的条件是(B)

A．∠ADC＝∠AEB，∠C＝∠B

B．∠ADC＝∠AEB，CD＝BE

C．AC＝AB，AD＝AE

D．AC＝AB，∠C＝∠B

3．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝120°．

4．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：AB＝DE(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEC.

5．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝6．

6．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.

证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠DAC＝∠CBD，

∴∠DAB＝∠CBA.

在△ADB和△BCA中，

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

∠DBA＝∠CAB，



AB＝BA，



∠DAB＝∠CBA，

∴△ADB≌△BCA(ASA)．

∴AD＝BC.

7．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM.

证明：∵∠BAC＝∠DAM，∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，∠DAM＝∠DAC＋∠NAM，

∴∠BAD＝∠NAM.



AB＝AN，

在△BAD和△NAM中，



∠BAD＝∠NAM，



AD＝AM，

∴△BAD≌△NAM(SAS)．

∴∠B＝∠ANM.

知识点2 等腰三角形的性质

8．若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角度数为(D)

A．40° B．50° C．60° D．65°

9．(2017·平顶山市宝丰县期末)等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为(D)

A．13 B．14 C．15 D．13或14

10．(2017·江西)如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2，其中OA＝OB.若剪刀张开的角为30°，则∠A＝75度．

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是20．

02 中档题

12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BD＝CD，则下列结论错误的是(C)

A．AB＝AC B．AD平分∠BAC

C．AB＝BC D．∠BAC＝90°

13．(2017·朝阳市建平县期末)若等腰三角形的一个内角等于15°，则这个三角形为(D)

A．钝角等腰三角形

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B．直角等腰三角形

C．锐角等腰三角形

D．钝角等腰三角形或锐角等腰三角形

14．(2016·泰安)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若

∠MKN＝44°，则∠P的度数为(D)

A．44° B．66°

C．88° D．92°

15．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.

(1)从图中任找两组全等三角形；

(2)从(1)中任选一组进行证明．

解：(1)答案不唯一，如：△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.

(2)答案不唯一，如选择证明△ABE≌△CDF，证明如下：

∵AF＝CE，

∴AE＝CF.

∵AB∥CD，

∴∠BAE＝∠DCF.

又∵∠ABE＝∠CDF，

∴△ABE≌△CDF(AAS)．

16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：

(1)△AEF≌△CEB；

(2)AF＝2CD.

证明：(1)∵AD⊥BC，CE⊥AB，

∴∠AEF＝∠CEB＝∠ADC＝90°.

∴∠AFE＋∠EAF＝∠CFD＋∠ECB＝90°.

又∵∠AFE＝∠CFD，

∴∠EAF＝∠ECB.

在△AEF和△CEB中，



∠AEF＝∠CEB，



AE＝CE，



∠EAF＝∠ECB，

∴△AEF≌△CEB(ASA)．

(2)∵△AEF≌△CEB，

∴AF＝BC.

在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

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∴CD＝BD，BC＝2CD.

∴AF＝2CD.

03 综合题

17．(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数；

(2)如图2，在△ABC中，∠ACB＝40°，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，则∠DCE＝110°；

(3)在△ABC中，∠ACB＝n°(0＜n＜180)，点D，E在直线AB上，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数(直接

写出答案，用含n的式子表示)．

解：(1)∵AD＝AC，BC＝BE，

∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC.

∴∠ACD＝(180°－∠A)÷2，

∠BCE＝(180°－∠B)÷2.

∵∠A＋∠B＝90°，

∴∠ACD＋∠BCE＝180°－(∠A＋∠B)÷2＝180°－45°＝135°.

∴∠DCE＝∠ACD＋∠BCE－∠ACB＝135°－90°＝45°.

(3)①如图1，∠DCE＝90°－n°；

②如图2，∠DCE＝90°＋n°；

③如图3，∠DCE＝n°；

④如图4，∠DCE＝n°.

第2课时等边三角形的性质

01 基础题

知识点1 等腰三角形相关线段的性质

1．在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为边AC，AB上的中线．若BD＝5，则CE＝5．

2．证明：等腰三角形两腰上的高相等．

解：已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D.

求证：BD＝CE.

证明：∵CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，

∴∠AEC＝∠ADB＝90°.

又∵AC＝AB，∠A＝∠A，

∴△ACE≌△ABD(AAS)．

∴CE＝BD.

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知识点2 等边三角形的性质

3．如图，△ABC是等边三角形，则∠1＋∠2＝(C)

A．60° B．90°

C．120° D．180°

4．(2017·南充)如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)

A．(1，1) B．(3，1)

C．(3，3) D．(1，3)

5．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝120°．

6．如图，等边△ABC中，AD为高，若AB＝6，则CD的长度为3．

7．等边△ABC的边长如图所示，则y＝3．

8．如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，延长AC，交直线m于点D.若∠1＝20°

解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°.

∴在△BCD中，∠CDB＝∠ACB－∠1＝60°－20°＝40°.

∵l∥m，

∴∠2＝∠CDB＝40°.

9．如图，△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE＝BD.

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求∠2的度数．，

证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，AD为BC边上的中线，

∴AE＝AD，AD为∠BAC的平分线．

∴∠CAD＝∠BAD＝30°.

∴∠BAE＝∠BAD＝30°.

在△ABE和△ABD中，



AE＝AD，



∠BAE＝∠BAD，



AB＝AB，

∴△ABE≌△ABD(SAS)．

∴BE＝BD.

02 中档题

10．下列说法：①等边三角形的每一个内角都等于60°；②等边三角形三条边上的高都相等；③等腰三角形两底角

的平分线相等；④等边三角形任意一边上的高与这条边上的中线互相重合；⑤等腰三角形一腰上的高与这条腰上的

中线互相重合．其中正确的有(D)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

11．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，垂足为D，点E是AC上一点，且AD＝AE，则∠CDE等于(C)

A．30° B．20°

C．15° D．10°

12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15度．

13．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，CD，BE交于点O，则∠BOC的度数是120°．

14．如图，已知等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的

位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝45°．

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15．如图，在等边△ABC中，D是BC上的一点，延长AD至E，使AE＝AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF

于点O.求∠E的度数．

解：∵△ABC是等边三角形，BF是△ABC的高，

∴∠ABO＝∠ABC＝30°，

AB＝AC.

∵AE＝AC，∴AB＝AE.

∵AO为∠BAE的平分线，

∴∠BAO＝∠EAO.

在△ABO和△AEO中，



AB＝AE，



∠BAO＝∠EAO，



AO＝AO，

∴△ABO≌△AEO(SAS)．

∴∠E＝∠ABO＝30°.

16．如图，△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM＝CN，BN

与AM相交于点Q.

(1)求证：AM＝BN；

(2)求∠BQM的度数．

解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.

在△AMB和△BNC中，



AB＝BC，



∠ABM＝∠C，



BM＝CN，

∴△AMB≌△BNC(SAS)．∴AM＝BN.

(2)∵△AMB≌△BNC，

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∴∠MAB＝∠NBC.

∴∠BQM＝∠MAB＋∠ABQ＝∠NBC＋∠ABQ＝∠ABC＝60°.

03 综合题

17．已知，如图所示，P为等边△ABC内的一点，它到三边AB，AC，BC的距离分别为h

，h

，△ABC的高

AM＝h，则h与h

，h

有何数量关系？写出你的猜想并加以证明．

解：猜想：h

＋h

＝h.

证明如下：连接PA，PB，PC.

∵S

△

PAB

＝AB·h

，

△

PAC

＝AC·h

，

△

PBC

＝BC·h

，

△

ABC

＝BC·h，

△

PAB

＋S

△

PAC

＋S

△

PBC

＝S

△

ABC

，

1111

∴AB·h

＋AC·h

＋BC·h

＝BC·h.

2222

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC.

∴h

＋h

＝h.

第3课时等腰三角形的判定与反证法

01 基础题

知识点1 等腰三角形的判定

1．在△ABC中，已知∠B＝∠C，则(B)

A．AB＝BC B．AB＝AC

C．BC＝AC D．∠A＝60°

2．如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是(C)

A．任意三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．直角三角形

3．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的

条件不能是(C)

A．OA＝OD B．AB＝CD

C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB

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4．(易错题)下列能判定△ABC为等腰三角形的是(B)

A．∠A＝30°，∠B＝60°

B．∠A＝50°，∠B＝80°

C．AB＝AC＝2，BC＝4

D．AB＝3，BC＝7，周长为10

5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD＝3cm.

6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.

其中能使△ABC成为等腰三角形的有①②．

7．已知：如图，AB＝BC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形．

证明：∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C.

∵DE∥AC，

∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C.

∴∠BDE＝∠BED.

∴BD＝BE.

∴△DBE是等腰三角形．

知识点2 反证法

8．(2017·西安期中)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中有两个角

是直角．

9．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．

已知：等腰△ABC，AB＝AC.

求证：∠B，∠C必定是锐角．

证明：①假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是直角，即∠B＋∠C＝180°，

则∠A＋∠B＋∠C＝180°＋∠A＞180°，

这与三角形内角和等于180°矛盾；

②假设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，即∠B＋∠C＞180°，

则∠A＋∠B＋∠C＞180°，

这与三角形内角和等于180°矛盾．

综上所述，假设①，②错误，

所以∠B，∠C只能为锐角．

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故等腰三角形的底角必定为锐角．

10．用反证法证明：已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.

证明：假设a与b相交于点M，则过M点有两条直线平行于直线c，

这与“过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条”相矛盾，

所以假设不成立，即a∥b.

02 中档题

11．(2017·郑州月考)已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交

AB，AC于点D，E.若BD＋CE＝5，则线段DE的长为(A)

A．5 B．6 C．7 D．8

12．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.若用反证法证这个结论，应首先假设∠B≥90°．

13．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得到△ABC的形状一定是等腰三

角形．

14．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东70°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的

方位是北偏东50°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝7海里．

15．(2017·内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．

证明：∵DE∥AC，

∴∠DAC＝∠EDA.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠EAD.

∴∠EAD＝∠EDA.

∵AD⊥BD，

∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.

∴∠B＝∠BDE.

∴△BDE是等腰三角形．

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16．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.

(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明理由；

(2)小敏同学说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？

解：(1)BD＝DE是正确的．

理由：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.

∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.

又∵CE＝CD，

∴∠E＝30°.

∴∠DBC＝∠E.

∴BD＝DE.

(2)可改为：BD⊥AC(或点D为AC中点)．

理由：∵BD⊥AC，

∴∠BDC＝90°.

∴∠DBC＝30°.

由(1)可知∠E＝30°，

∴∠DBC＝∠E.

∴BD＝DE.

03 综合题

17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，

作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.

(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝25°，∠DEC＝115°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小(填“大”或“小”)；

(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理

由．

解：(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.

理由：∵∠C＝40°，

∴∠DEC＋∠EDC＝140°.

又∵∠ADE＝40°，

∴∠ADB＋∠EDC＝140°.

∴∠ADB＝∠DEC.

又∵AB＝DC＝2，

∴△ABD≌△DCE(AAS)．

(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.

理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.

∵∠C＝40°，

∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.

∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.

∴∠AED＝∠DAE.

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∴AD＝ED.

∴△ADE是等腰三角形．

当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.

∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.

∴∠DAE＝∠ADE.

∴AE＝DE.

∴△ADE是等腰三角形．

第4课时等边三角形的判定

01 基础题

知识点1 等边三角形的判定

1．△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是(B)

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．不等边三角形 D．不能确定

2．下列说法不正确的是(D)

A．有两个角分别为60°的三角形是等边三角形

B．顶角为60°的等腰三角形是等边三角形

C．底角为60°的等腰三角形是等边三角形

D．有一个角为60°的三角形是等边三角形

3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，∠B＝60°，则AC等于(B)

A．4 B．6 C．8 D．10

4．如图，将两个完全相同的含有30°角的三角板拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是等边三角形．

5．如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°，当OP＝a时，△AOP为等边三角形．

6．如图，点D，E在线段BC上，BD＝CE，∠B＝∠C，∠ADB＝120°，求证：△ADE为等边三角形．

证明：∵∠B＝∠C，

∴AB＝AC.

又∵BD＝CE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴AD＝AE.

又∵∠ADB＝120°，

∴∠ADE＝60°.

∴△ADE为等边三角形．

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知识点2 含30°角的直角三角形的性质

7．(2017·平顶山市宝丰县期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝9，则AB＝18．

8．(2017·郑州月考)如图，∠C＝90°，∠ABC＝75°，∠CDB＝30°.若BC＝3 cm，则AD＝6cm.

9．如图，这是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5米，自动扶梯的倾角为30°，若自动扶梯运

行速度为v＝0.5米/秒，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为26秒．

10．如图，铁路AC与铁路AD相交于车站A，B区在∠CAD的平分线上，且距车站A为20千米，∠DAC＝60°，

则B区距铁路AC的距离为10千米．

11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，BC＝8 cm，求AD的长．

解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8 cm，

∴∠B＝60°，AB＝2BC＝16 cm.

又∵CD⊥AB于D，

∴∠BDC＝90°.

∴∠DCB＝30°.

∴DB＝BC＝4 cm.

∴AD＝AB－DB＝12 cm.

02 中档题

12．在下列三角形中：①三边都相等的三角形；②有一个角是60°且是轴对称图形的三角形；③三个外角(每个顶

点处各取1个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(D)

A．①②③ B．①②④

C．①③ D．①②③④

13．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处，已知CD＝1，∠B＝30°，则BD的长

是(B)

A．1 B．2 C.3 D．23

14．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P

与P关于OB对称，P

与P关于OA对称，则P

，O，P

三点所

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构成的三角形是(D)

A．直角三角形 B．钝角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

15．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝

(C)

A．3 B．4 C．5 D．6

16．如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，CA边上一点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状

是等边三角形．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，点E，F分别是AB，AC的中点，连接

DE，DF.

(1)求证：△AED是等边三角形；

(2)若AB＝2，则四边形AEDF的周长是4．

证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°.

∵AD是BC边的中线，

∴AD⊥BC.

∴∠BAD＝60°.

∴AD＝AB.

∵点E为AB的中点，

∴AE＝AB.

∴AE＝AD.

∴△ADE是等边三角形．

03 综合题

18．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D＝60°，连接AC.

(1)如图1，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF.求证：

①△ABE≌△ACF；

②△AEF是等边三角形；

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(2)若点E在BC的延长线上，则在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论(图2备用)．

解：(1)证明：①∵AB＝BC，∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形．∴AB＝AC.

同理，△ADC也是等边三角形，

∴∠B＝∠ACF＝60°.

又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．

②∵△ABE≌△ACF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.

∵∠BAE＋∠CAE＝60°，

∴∠CAF＋∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°.

∴△AEF是等边三角形．

(2)存在．

证明：在CD延长线上取点F，在BC延长线上取点E，使CF＝BE，连接AE，EF，AF.

与(1)①同理，可证△ABE≌△ACF，

∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.

∴∠BAE－∠CAE＝∠CAF－∠CAE.

∴∠BAC＝∠EAF＝60°.

∴△AEF是等边三角形．

(注：若在CD延长线上取点F，使CE＝DF也可)

小专题(一) 等腰三角形中常见的数学思想

类型1 方程思想

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的度数．

解：设∠A＝x°，

∵BC＝BD＝ED＝EA，

∴∠ADE＝∠A＝x°.

∴∠DEA＝∠DBE＝2x°.

∴∠BDC＝∠C＝3x°.

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC＝3x°.

在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC＝180°，

即x＋3x＋3x＝180.

180

∴x＝.

180°

∴∠A为.

类型2 分类讨论思想

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，

则符合条件在点P共有(B)

A．7个 B．6个 C．5个 D．4个

第 15 页共 175 页

3．若实数x，y满足|x－5|＋y－10＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为25．

4．如图，∠BOC＝60°，点A是BO延长线上的一点，OA＝10 cm，动点P从点A出发沿AB以2 cm/s的速度移

动，动点Q从点O出发沿OC以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t＝或

10s时，△POQ是等腰三角形．

5．已知O为等边△ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上一动点，且∠EOF＝120°，若

AF＝1，求BE的长．

解：当F点在线段DA的延长线上，如图1，作OM∥AB交AD于M，

∵O为等边△ABD的边BD的中点，

∴OB＝2，∠D＝∠ABD＝60°.

∴△ODM为等边三角形．

∴OM＝MD＝2，∠OMD＝60°.

∴FM＝FA＋AM＝3，∠FMO＝∠BOM＝120°.

∵∠EOF＝120°，

∴∠BOE＝∠FOM.

而∠EBO＝180°－∠ABD＝120°，

∴△OMF≌△OBE(ASA)．

∴BE＝MF＝3.

当F点在线段AD上时，如图2，

同理可证明△OMF≌△OBE，

则BE＝MF＝AM－AF＝2－1＝1.

类型3 整体思想

6．已知△ABC中，∠A＝α，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．

第 16 页共 175 页

(1)如图1，若BE＝BD，CD＝CF，则∠EDF＝90°－

α；

(2)如图2，若BD＝DE，DC＝DF，则∠EDF＝180°－2α；

(3)如图3，若BD＝CF，CD＝BE，AB＝AC，则∠EDF＝(180°－α)；

(4)如图4，若DE⊥AB，DF⊥BC，AB＝AC，则∠EDF＝(180°－α)．

1．2 直角三角形

第1课时勾股定理及其逆定理

01 基础题

知识点1 直角三角形的性质及其判定

1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(D)

A．120° B．90°

C．60° D．30°

2．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C)

A．∠A＝37°，∠C＝53°

B．∠A－∠C＝∠B

C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5

D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5

3．(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为(C)

A．60° B．50° C．40° D．30°

知识点2 勾股定理及其逆定理

4．(2017·西安期中)下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是(D)

A．2，4，5 B．6，8，11

C．5，12，12 D．1，1，2

5．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD

的长为(D)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．(2017·阿坝)直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为6．

7．(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是5－1．

8．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．

解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，

∴AC＝AD

－CD

＝13

－12

＝5.

第 17 页共 175 页

又∵AB＝3，BC＝4，

∴AB

＋BC

＝3

＋4

＝5

＝AC

∴∠B＝90°.

∴S

四边形

ABCD

＝S

△

ABC

＋S

△

ACD

＝AB·BC＋AC·CD

＝×3×4＋×5×12

＝6＋30

＝36.

知识点3 命题(逆命题)与定理(逆定理)

9．下列命题中，其逆命题成立的是①④．(只填写序号)

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a

＋b

＝c

，那么这个三角形是直角三角形．

10．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题．

(1)两直线平行，同位角相等；

(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．

解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．

(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．

02 中档题

11．已知下列命题：

①若a＋b＝0，则|a|＝|b|；②等边三角形的三个内角都相等；③底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题与逆

命题均为真命题的个数是(A)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(A)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．以上答案都不对

13．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点

C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(A)

A．33 B．6

C．32 D.21

14．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则

AB的长为(D)

第 18 页共 175 页

A．2 B．23 C.

＋1 D.3＋1

15．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于(C)

A．10 B．8

C．6或10 D．8或10

16．如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁

正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为20cm.

17．(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，

设BD＝x，则CD＝14－x.

由勾股定理，得AD

＝AB

－BD

＝15

－x

，AD

＝AC

－CD

＝13

－(14－x)

，

故15

－x

＝13

－(14－x)

，

解得x＝9.

∴AD＝AB

－BD

＝15

－9

＝12.

∴S

△

ABC

＝BC·AD＝×14×12＝84.

03 综合题

18．观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你

发现的规律，请写出：

(1)当a＝19时，则b，c的值是多少？

(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？

解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：19

＋k

＝(k＋1)

解得k＝180.

故b＝180，c＝181.

(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a

＋b

＝c

得(2n＋1)

＋k

＝(k＋1)

，

解得k＝2n(n＋1)．

∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.

证明：∵a

＋b

＝(2n＋1)

＋[2n(n＋1)]

＝4n

＋8n

＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]

＝4n

＋8n

＋4n＋1，

∴a

＋b

＝c

∴(2n＋1)

＋[2n(n＋1)]

＝[2n(n＋1)＋1]

第2课时直角三角形全等的判定

01 基础题

知识点1 用HL判定直角三角形全等

第 19 页共 175 页

1．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是

(A)

A．HL B．ASA

C．AAS D．SAS

2．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是(A)

A．AB＝AC B．∠BAC＝90°

C．BD＝AC D．∠B＝45°

3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝(B)

A．40° B．50°

C．60° D．75°

4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则

DE＝8．

5．如图所示，AD⊥BE于点C，C是BE的中点，AB＝DE，求证：AB∥DE.

证明：∵AD⊥BE，

∴∠ACB＝∠DCE＝90°.

∵C是BE的中点，

∴BC＝EC.

在Rt△ABC和Rt△DEC中，



AB＝DE，





BC＝EC，

∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．

∴∠A＝∠D.

∴AB∥DE.

知识点2 用其他方法证明直角三角形全等

6．(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是(C)

第 20 页共 175 页

A．两条直角边分别对应相等

B．斜边和一个锐角分别对应相等

C．两个锐角对应相等

D．斜边和一直角边分别对应相等

7．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件：答案不唯一，如：∠BAC＝∠ABD．(只需

写出一种情况)

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，

交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.

证明：∵EF⊥AC，

∴∠F＋∠C＝90°.

∵∠A＋∠C＝90°，

∴∠A＝∠F.

又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，

∴△FBD≌△ABC(AAS)．

∴AB＝BF.

知识点3 HL在实际问题中的应用

9．如图，点C是路段AB的中点，小明和小红两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到

达D，E两地，并且DA⊥AB于A，EB⊥AB于B.此时小明到路段AB的距离是50米，则小红到路段AB的距离

是多少米？

解：∵DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，

∴△ADC和△BEC为直角三角形．

∵点C是路段AB的中点，

∴AC＝BC.

∵小明和小红同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，

∴CD＝CE.

∴Rt△ADC≌Rt△BEC(HL)．

∴BE＝AD＝50米．

答：小红到路段AB的距离是50米．

02 中档题

10．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是(A)

第 21 页共 175 页

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC

于点F，则图中全等的直角三角形有(D)

A．3对 B．4对 C．5对 D．6对

12．如图所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为点E，F.若AE＝1，CF＝

3，则AB的长度为10．

13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直

于AC的射线AO上运动，当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等．

14．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.

(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；

(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠CBF＝∠ABE＝90°.

在Rt△ABE和Rt△CBF中，



AE＝CF，





AB＝CB，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．

(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，

∴∠CAB＝∠ACB＝45°.

∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.

由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，

∴∠BCF＝∠BAE＝15°.

第 22 页共 175 页

∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.

03 综合题

15．如图1，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交

AC于点M.

(1)求证：AE＝CF，MB＝MD；

(2)当E，F两点移动到如图2的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请

说明理由．

解：(1)证明：在Rt△ABF和Rt△CDE中，



AB＝CD，



BF＝DE，



∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．

∴AF＝CE.

∴AF－EF＝CE－EF，

即AE＝CF.

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEM＝∠BFM＝90°.



∠DEM＝∠BFM，

在△DEM和△BFM中，



∠DME＝∠BMF，



DE＝BF，

∴△DEM≌△BFM(AAS)．

∴MD＝MB.

(2)AE＝CF，MB＝MD仍然成立．证明：

在Rt△ABF和Rt△CDE中，



AB＝CD，





BF＝DE，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．

∴AF＝CE.

∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.



在△DEM和△BFM中，



∠DME＝∠BMF，



DE＝BF，

∴△DEM≌△BFM(AAS)．

∴MD＝MB.

周周练(1.1～1.2)

(时间：45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题4分，共32分)

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A的度数是(C)

第 23 页共 175 页

∠DEM＝∠BFM，

A．70° B．55° C．50° D．40°

2．若△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，则必有(D)

A．∠A＝2∠B＝3∠C

B．∠A＝∠B＝∠C

C．∠A＝∠B＋∠C

D．∠A＋∠B＝∠C

3．下列命题的逆命题不正确的是(D)

A．若a

＝b

，则a＝b

B．两直线平行，内错角相等

C．等腰三角形的两个底角相等

D．对顶角相等

4．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是(D)

A．∠B＝∠C B．AD⊥BC

C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD

5．(2017·平顶山市宝丰县期中)若等边三角形的一条高为3，其边长为(A)

A．2 B．1 C．3 D．4

6．(2017·陕西西北大学附属学校期中)如图，△ABC中，AC＝3，∠C＝90°，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，

则AP的长不可能是(D)

A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7

7．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE

＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(D)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8．如图，在Rt△ABE中，∠B＝90°，延长BE到C，使EC＝AB，分别过点C，E作BC，AE的垂线，两线相交

于点D，连接AD.若AB＝3，DC＝4，则AD的长是(C)

A．5 B．7 C．52 D．无法确定

二、填空题(每小题4分，共24分)

第 24 页共 175 页

9．如图，在△ABC和△DFE中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC

≌Rt△DFE，则还需补充条件答案不唯一，如：BC＝FE．

10．在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于60°”成立时，我们利用反证法，先假设三角形的三个内角

都大于60°，则可推出三个内角之和大于180°，这与三角形内角和定理相矛盾．

11．如图，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝3．

12．如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需7米．

13．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为

43．

14．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(3，0)，B(8，0)，若点P在y轴上，且△PAB是等腰三角形，

则点P的坐标为(0，4)或(0，－4)．

三、解答题(共44分)

15．(8分)(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交

于点O.

(1)求证：△ABC≌△DCB；

(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．

解：(1)证明：∵在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，

∴△ABC和△DCB都为直角三角形．



AC＝DB，

在Rt△ABC和Rt△DCB中，





BC＝CB，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)．

(2)△OBC是等腰三角形．

证明：∵Rt△ABC≌Rt△DCB，

∴∠ACB＝∠DBC.

∴OB＝OC.

∴△OBC是等腰三角形．

16．(10分)(2017·苏州)如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.

(1)求证：△AEC≌△BED；

第 25 页共 175 页

(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．

解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O，

∴∠AOD＝∠BOE.

∵∠A＝∠B，

∴∠BEO＝∠2.

又∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠BEO.

∴∠1＋∠AED＝∠BEO＋∠AED，即∠AEC＝∠BED.

在△AEC和△BED中，



∠A＝∠B，



AE＝BE，



∠AEC＝∠BED，

∴△AEC≌△BED(ASA)．

(2)∵△AEC≌△BED，

∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.

在△EDC中，

∵EC＝ED，∠1＝42°，

∴∠C＝∠EDC＝69°.

∴∠BDE＝∠C＝69°.

17．(12分)如图，已知A，B，C，D四个城镇(除B，C外)都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共

汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下：

为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价．

解：AD为16，AB为20，BD为12，∵12

＋16

＝20

，

∴∠ADB＝90°.

∵AC＝25，AD＝16，CD＝9，即AC＝AD＋DC，

∴A，D，C三个点在一条直线上，可知∠BDC＝90°.

又∵BD＝12，DC＝9，

∴BC＝12

＋9

＝15.

故B，C之间的公共汽车票价为15元．

18．(14分)如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.

(1)求证：△ODE是等边三角形；

(2)线段BD，DE，EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程；

(3)数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有

关的问题．(只要提出问题，不需要解答)

第 26 页共 175 页

解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°.

∵OD∥AB，OE∥AC，

∴∠ODE＝∠ABC＝60°，

∠OED＝∠ACB＝60°.

∴△ODE是等边三角形．

(2)BD＝DE＝EC.

理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，

∴∠ABO＝∠OBD＝30°.

∵OD∥AB，

∴∠BOD＝∠ABO＝30°.

∴∠OBD＝∠BOD.

∴DB＝DO.

同理，EC＝EO.

由(1)知，△ODE是等边三角形，

∴DE＝OD＝OE.

∴BD＝DE＝EC.

(3)答案不唯一，如：①连接AO，并延长交BC于点F，求证：△ABF是直角三角形；

②若等边△ABC的边长为1，求BC边上的高．

第 27 页共 175 页

1.3 线段的垂直平分线

第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

01 基础题

知识点1 线段的垂直平分线的性质

1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)

A．6 cm B．5 cm

C．4 cm D．3 cm

2．如图，AB是CD的垂直平分线，若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)

A．3.9 cm B．7.8 cm

C．4 cm D．4.6 cm

3．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(C)

A．AB＝AD B．AC平分∠BCD

C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC

4．(2017·西安期中)如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(B)

A．50° B．100°

C．120° D．130°

5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3，则CE的长为6．

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.

证明：∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB.

∴∠EAB＝∠B.

∵∠C＝90°，

∴∠CAB＋∠B＝90°.

第 28 页共 175 页

又∵∠AED＋∠EAB＝90°，

∴∠CAB＝∠AED.

知识点2 线段的垂直平分线的判定

7．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(A)

A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

8．如图，D是△ABC的边BC的延长线上一点，且BD＝BC＋AC，则点C在线段AD的垂直平分线上．

9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线

上．

证明：∵∠C＝90°，∠A＝30°，

∴∠ABC＝90°－30°＝60°.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ABC＝30°.

∴∠A＝∠ABD.

∴DA＝DB.

∴点D在AB的垂直平分线上．

02 中档题

10．平面直角坐标系中，已知A(－1，3)，B(－1，－1)．下列四个点中，在线段AB的垂直平分线上的点是(B)

A．(0，2) B．(－3，1)

C．(1，2) D．(1，0)

11．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段

AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直

平分线上．其中正确的有(C)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以A，C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连

接MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE，则：

(1)∠ADE＝90°；

(2)AE＝EC；(填“＝”“＞”或“＜”)

(3)当AB＝3，AC＝5时，△ABE的周长＝7．

第 29 页共 175 页

13．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC.若∠AOC＝125°，

则∠ABC＝70°．

14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在

AC的垂直平分线上，则∠C＝30°．

15．(2017·朝阳市建平县期中)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC

的延长线于点E，则CE的长为．

16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD垂直平分线与AB的交点，DE交AC于

点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．

证明：∵E是BD的垂直平分线上的一点，

∴EB＝ED.

∴∠B＝∠D.

又∵∠ACB＝90°，

∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.

∵∠B＝∠D，

∴∠CFD＝∠A.

又∵∠AFE＝∠CFD，

∴∠AFE＝∠A.

∴EF＝EA.

∴点E在AF的垂直平分线上．

03 综合题

17．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交直线BC于点M，∠A＝40°，求∠NMB

的大小；

(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小；

(3)你发现了什么样的规律？试证明；

(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．

第 30 页共 175 页

解：(1)∵∠B＝(180°－∠A)＝70°，

∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.

(2)同理得∠NMB＝35°.

(3)发现的规律是∠NMB＝∠A.

证明：设∠A＝α，则有∠B＝(180°－α)．

∴∠NMB＝90°－∠B＝90°－(180°－α)＝

＝∠A.

(4)∠A改为钝角后，∠NMB＝∠A这个规律仍成立．上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边

的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．

第2课时三角形三边的垂直平分线

01 基础题

知识点1 三角形三边的垂直平分线的性质

1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)

A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上

C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上

2．(2017·郑州期末)在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)

A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条高的交点

3．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是(B)

A．20° B．40° C．50° D．60°

4．△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点P，那么P点必定在BC的垂直平分线上，且PA＝PB＝PC．

5．如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO＋BO＋CO＝15_cm．

6．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，BC＝6 cm，请

计算出∠DAE的度数和△ADE的周长．

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解：∵AB和AC的垂直平分线交BC于点D，E，

∴BD＝AD，CE＝AE.

∴∠DAB＝∠B＝32°，∠EAC＝∠C＝48°.

∴∠ADE＝∠B＋∠DAB＝64°，

∠AED＝∠C＋∠EAC＝96°.

∴∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝20°，

△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.

知识点2 作图

7．在同一平面内，过直线上一点作已知直线的垂线，能作(A)

A．1条 B．2条

C．3条 D．无数条

8．下列作图语句正确的是(D)

A．过点P作线段AB的中垂线

B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝AC

C．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥b

D．过点P作直线AB的垂线

9．如图，已知线段a，h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h.张红的作法是：①作线段

BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，

则△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(C)

A．① B．② C．③ D．④

10．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇A村，B村，C村所属的村

委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要

求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

解：已知：A，B，C三点不在同一直线上．

求作：作一点P，使PA＝PB＝PC.

如图所示，点P即为所求的点．

02 中档题

11．在平面内，到三点A，B，C距离相等的点(D)

A．只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有

12．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)

A．点P在三角形内

B．点P在三角形外

第 32 页共 175 页

C．点P在三角形底边上

D．点P的位置与三角形的边长有关

13．(2017·西安期中)如图，已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，∠BAC＝80°，则∠BOC＝160°.

14．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝76°，EF，MN分别是AB，AC的垂直平分线，点E，M在BC上，则∠EAM

＝28°．

15．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水

管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在

图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一

个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．

16．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．

解：作法：(1)作线段AD＝a；

(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；

(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．

17．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.

(1)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；

(2)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．

解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，

∴AM＝CM，BN＝CN.

∴△CMN的周长＝CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.

∵△CMN的周长为15 cm，

∴AB＝15 cm.

(2)∵∠MFN＝70°，

∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.

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∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，

∴∠AMD＋∠BNE＝∠MNF＋∠NMF＝110°.

∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE

＝180°－110°＝70°.

∵AM＝CM，BN＝CN，

∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.

∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)

＝180°－2×70°＝40°.

03 综合题

18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN

周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为(B)

A．130° B．120° C．110° D．100°

提示：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″的长度即为△AMN

周长的最小值．

1．4 角平分线

第1课时角平分线的性质定理及其逆定理

01 基础题

知识点1 角平分线的性质

1．(2017·台州)如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D.若PD＝2，则点P到边OA的距离是

(A)

A．2 B．3 C.3 D．4

2．下列各图中，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角平分线

上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)

3．(2016·怀化)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(B)

A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP

C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD

4．如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD＝8，OP＝10，则PE的长为

(B)

A．5 B．6 C．7 D．8

第 34 页共 175 页

5．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(B)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．(2017·西安期中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是3．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.

(1)求DE的长；

(2)求△ADB的面积．

解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴AC⊥CD.

又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，

∴DE＝CD.

又∵CD＝3，

∴DE＝3.

(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝AC

＋BC

＝6

＋8

＝10.

∴S

△

ADB

＝AB·DE＝×10×3＝15.

(或S

△

ADB

＝BD·AC＝×(8－3)×6＝15.)

知识点2 角平分线的判定

8．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为(A)

A．30° B．40° C．50° D．60°

9．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：

(1)PE＝PF；

(2)点P在∠BAC的平分线上．

第 35 页共 175 页

证明：(1)连接AP.

∵PE⊥AB，PF⊥AC，

∴∠AEP＝∠AFP＝90°.

又∵AE＝AF，AP＝AP，

∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．

∴PE＝PF.

(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，

∴点P在∠BAC的平分线上．

02 中档题

10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)

A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点

11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE

等于(C)

A.3 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm

12．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，

对于结论：①DE＝DF；②BD＝CD；③AD上任一点到AB，AC的距离相等；④AD上任一点到B，C的距离相等．其

中正确的是(D)

A．仅①② B．仅③④

C．仅①②③ D．①②③④

13．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，P是∠AOB的平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C.

若∠AOB＝30°，PD＝2 cm，则PC＝4cm.

14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.

(1)求证：AM⊥DM；

(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．

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解：(1)证明：∵AM平分∠BAD，OM平分∠ADC，

∴∠MAD＝∠BAD，∠ADM＝∠ADC.

∵AB∥CD，

∴∠BAD＋∠ADC＝180°.

∴∠MAD＋∠ADM＝(∠BAD＋∠ADC)＝90°.

又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°，

∴∠AMD＝90°.

∴AM⊥DM.

(2)过M作MN⊥AD于点N.

∵AB∥CD，∠B＝90°，

∴∠C＝90°.

即BM⊥AB，MC⊥DC.

又∵AM，DM分别平分∠BAD，∠ADC，

∴BM＝MN，MN＝MC.

∴MN＝BC＝4.

∴M到AD的距离为4.

15．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．

解：(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°.

又∵∠EOB＝∠DOC，

∴∠ABD＝∠ACE.

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB.

∴∠ABC＝∠ACB.

∴AB＝AC，

即△ABC是等腰三角形．

(2)点O在∠BAC的平分线上．

理由：∵∠BOE＝∠COD，∠BOE＋∠EBO＝90°，

∠COD＋∠DCO＝90°，

∴∠EBO＝∠DCO.

又∵∠BEO＝∠CDO＝90°，OB＝OC，

∴△BOE≌△COD(AAS)．

∴OE＝OD.

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又∵OD⊥AC，OE⊥AB，

∴点O在∠BAC的平分线上．

03 综合题

16．(2017·西安交大二附中期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝6，若点P是

AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是．

第2课时三角形三个内角的平分线

01 基础题

知识点三角形的角平分线的性质

1．(2017·西安交大二附中期中)与三角形三边距离相等的点，是这个三角形的(B)

A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点

C．三条高的交点 D．三边的垂直平分线的交点

2．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S

△

ABO

∶S

△

BCO

∶S

△

CAO

等于(C)

A．1∶1∶1 B．1∶2∶3

C．2∶3∶4 D．3∶4∶5

3．(2017·郑州月考)如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的

距离相等，凉亭的位置应选在(C)

A．△ABC三条中线的交点

B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条角平分线的交点

D．△ABC三条高所在直线的交点

4．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则∠A为60°.

02 中档题

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的

是(D)

A．BF＝CF B．点F到∠BAC两边的距离相等

C．CE＝BD D．点F到点A，B，C三点的距离相等

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6．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，直线l，l′，l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到

三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)

A．一处 B．二处 C．三处 D．四处

7．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋∠BAC.

证明：∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，

∴点P是△ABC三个内角平分线的交点．

∴CP平分∠ACB，BP平分∠ABC.

∴∠PCB＝∠ACB，∠PBC＝∠ABC.

∴∠BPC＝180°－∠PCB－∠PBC

＝180°－∠ACB－∠ABC

＝180°－(∠ACB＋∠ABC)

＝180°－(180°－∠BAC)

＝90°＋∠BAC.

03 综合题

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，

且四边形OECF是正方形．

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；

(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M.

∵四边形OECF为正方形，

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.

∵BD是∠ABC的平分线，

∴OE＝OM.

∴OM＝OF.

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∴AO平分∠BAC，即点O在∠BAC的平分线上．

(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝13.

易证：BE＝BM，AM＝AF.

∵BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，且CE＝CF＝OE，

∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.

∵BM＋AM＝AB，即BE＋AF＝13，

∴12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2.

章末复习(一) 三角形的证明

01 基础题

知识点1 三角形全等

1．如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点．如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于(A)

A．4 B．6

C．5 D．无法确定

2．(2017·黔东南)如图，点B，F，C，E在一条直线上，已知FB＝CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件∠A＝

∠D(答案不唯一)，使得△ABC≌△DEF.

知识点2 等腰三角形

3．(2016·赤峰)等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是(B)

A．30°，60° B．45°，45°

C．45°，90° D．20°，70°

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为55°．

5．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则DC＝1．

知识点3 直角三角形

6．如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C＝55°，则∠ABC的度数是(D)

A．35° B．55° C．60° D．70°

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7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为(D)

A.3－1 B.3＋1

C.5－1 D.5＋1

8．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“HL”．

知识点4 线段的垂直平分线和角平分线

9．(2017·西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，

则△ACD的周长是(A)

A．7 B．8 C．9 D．10

10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝2，则△ABD的面积

为8．

11．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，EF垂直平分BD.求证：∠ABD＝∠BDF.

证明：∵EF垂直平分BD，

∴FB＝FD.

∴∠FBD＝∠BDF.

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠FBD.

∴∠ABD＝∠BDF.

02 中档题

12．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等

的角是(A)

A．∠A B．∠B

C．∠C D．∠B或∠C

13．如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线

段是(B)

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A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH

C．AB，CD，EF D．AB，CD，GH

14．(2016·枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相

交于点D，则∠D的度数为(A)

A．15° B．17.5°

C．20° D．22.5°

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD的长为正整

数，则点D的个数共有(C)

A．5个 B．4个

C．3个 D．2个

16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠CBD＝30°，∠BCD＝45°.若AB＝22，则四边形

ABCD的面积为6＋23．

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于

点F.求证：

(1)FC＝AD；

(2)AB＝BC＋AD.

证明：(1)∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠FCE.

∵E是CD的中点，

∴DE＝CE.

又∵∠AED＝∠FEC，

∴△ADE≌△FCE(ASA)．

∴FC＝AD.

(2)∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，AD＝FC.

又∵BE⊥AE，

第 42 页共 175 页

∴BE是线段AF的垂直平分线．

∴AB＝BF＝BC＋FC.

∵AD＝FC，

∴AB＝BC＋AD.

03 综合题

18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

(1)求证：AB＝AC；

(2)若DC＝4，∠DAC＝30°，求AD的长．

解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

∵BD＝CD，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．

∴∠B＝∠C.

∴AB＝AC.

(2)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC.

在Rt△ADC中，∠DAC＝30°，

∴AC＝2DC＝8，

AD＝AC

－DC

＝8

－4

＝43.

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北师大版八年级下册数学第二章一元一次不等式与一元一次不等式组同步课时练习题

2．1 不等关系

01 基础题

知识点1 不等式的意义

1．(2017·太原期中)学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座

客车y辆，则不等式“45x＋30y≥500”表示的实际意义是(A)

A．两种客车总的载客量不少于500人

B．两种客车总的载客量不超过500人

C．两种客车总的载客量不足500人

D．两种客车总的载客量恰好等于500人

2．有下列数学表达式：①3<0；②4x＋5>0；③x＝3；④x

＋x；⑤x≠－4；⑥x＋2>x＋1.其中是不等式的有4个．

知识点2 列不等式

3．某电梯标明“载客不超过13人”，若载客人数为x，x为自然数，则“载客不超过13人”用不等式表示为(C)

A．x＜13 B．x＞13

C．x≤13 D．x≥13

4．如图为一隧道入口处的指示标志牌，图1表示汽车的高度不能超过3.5 m，由此可知图2表示汽车的宽度l(m)应

满足的关系为l≤3．

限制高度限制宽度

图1 图2

5．用适当符号表示下列关系：

(1)x的绝对值是非负数；

解：|x|≥0.

(2)a的3倍与b的的和不大于3；

解：3a＋b≤3.

(3)x与17的和比它的5倍小．

解：x＋17<5x.

02 中档题

6．小新买了一罐八宝粥，看到外包装标明：净含量为330±10 g，那么这罐八宝粥的净含量x的范围是(D)

A．320＜x＜340 B．320≤x＜340

C．320＜x≤340 D．320≤x≤340

7．下列叙述：①a是非负数，则a≥0；②“a

减去10不大于2”可表示为a

－10＜2；③“x的倒数超过10”可表

示为＞10；④“a，b两数的平方和为正数”可表示为a

＋b

＞0.其中正确的个数是(C)

A．1 B．2

C．3 D．4

8．在数轴上，点A表示2，点B表示－0.6，点C在线段AB上，点C表示的数为a，则用不等关系表示为－0.6≤

a≤2．

9．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n

道题，则根据题意可列不等式为10n－5(20－n)＞90．

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03 综合题

10．请设计不同的实际背景来表示下列不等式：

(1)x>y；(2)2.0≤x≤2.6；(3)3a＋4b≤560.

解：答案不唯一，如：

(1)八年级(1)班的男生比女生多，其中男生x人，女生y人．

(2)某班级男生立定跳远成绩x在2.0米到2.6米之间．

(3)3条长裤和4件上衣的总价不超过560元，其中长裤单价a元，上衣单价b元．

2.2 不等式的基本性质

01 基础题

知识点1 不等式的基本性质

1．若a

A．－3a<－3b B．a－3

C．a＋c>b＋c D．2a>2b

2．(2017·成都期末)若x>y，则下列式子中错误的是(D)

A．x－3>y－3 B.>

C．x＋3>y＋3 D．－3x>－3y

3．(2017·株洲)已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列选项错误的为(D)

A．a＞b B．a＋2＞b＋2

C．－a＜－b D．2a＞3b

4．下列说法不一定成立的是(C)

A．若a＞b，则a＋c＞b＋c

B．若a＋c＞b＋c，则a＞b

C．若a＞b，则ac

＞bc

D．若ac

＞bc

，则a＞b

5．由不等式a＞b得到am＜bm的条件是m＜0.

6．已知m＜n，下列关于m，n的命题：①6m＞6n；②－3m＜－3n；③m－5＜n－5；④2m＋5＞2n＋5.其中正确命

题的序号是③．

7．小燕子竟然推导出了0＞5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里．

已知x＞y，

两边都乘5，得5x＞5y.①

两边都减去5x，得0＞5y－5x.②

即0＞5(y－x)．③

两边都除以(y－x)，得0＞5.④

解：错在第④步．

∵x＞y，∴y－x＜0.

不等式两边同时除以负数(y－x)，不等号应改变方向才能成立．

知识点2 将不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式

8．(2017·太原期中)下列不等式的变形过程中，正确的是(D)

A．不等式－2x＞4的两边同时除以－2，得x＞2

B．不等式1－x＞3的两边同时减去1，得x＞2

C．不等式4x－2＜3－x移项，得4x＋x＜3－2

D．不等式＜1－去分母，得2x＜6－3x

9．将下列不等式化成“x>a”或“x

(1)x－5<1； (2)2x>x－2；

解：x<6. 解：x>－2.

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(3)x>－3; (4)－5x<－2.

解：x>－6. 解：x>.

02 中档题

10．若点P(x－2，y－2)在第二象限，则x与y的关系正确的是(D)

A．x≥y B．x＞y

C．x≤y D．x＜y

11．设“▲”“●”“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲，●，■这三种物体

按质量从大到小排列应为(C)

A．■●▲ B．▲■●

C．■▲● D．●▲■

12．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是(B)

A．a－c＞b－c B．a＋c＜b＋c

C．ac＞bc D.＜

13．已知x－y＝3，若y＜1，则x的取值范围是x＜4．

14．下列变形是怎样得到的？

(1)由x＞y，得x－3＞y－3；

解：两边都除以2，得x＞y.

两边都减去3，得x－3＞y－3.

(2)由x＞y，得(x－3)＞(y－3)；

解：两边都减去3，得x－3＞y－3.

两边都除以2，得(x－3)＞(y－3)．

(3)由x＞y，得2(3－x)＜2(3－y)．

解：两边都除以－1，得－x＜－y.

两边都加上3，得3－x＜3－y.

两边都乘2，得2(3－x)＜2(3－y)．

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15．阅读下面的解题过程，再解题．

已知a＞b，试比较－2 018a＋1与－2 018b＋1的大小．

解：因为a＞b，①

所以－2 018a＞－2 018b.②

故－2 018a＋1＞－2 018b＋1.③

问：(1)上述解题过程中，从第②步开始出现错误；

(2)错误的原因是什么？

(3)请写出正确的解题过程．

解：(2)错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向没有改变．

(3)因为a＞b，

所以－2 018a＜－2 018b.

故－2 018a＋1＜－2 018b＋1.

03 综合题

16．比较大小：

(1)如果a－1>b＋2，那么a>b；

(2)试比较2a与3a的大小：

①当a>0时，2a<3a；

②当a＝0时，2a＝3a；

③当a<0时，2a>3a；

(3)试比较a＋b与a的大小；

(4)试判断x

－3x＋1与－3x＋1的大小．

解：(3)当b>0时，a＋b>a；

当b＝0时，a＋b＝a；

当b<0时，a＋b

(4)∵x

≥0，

∴x

－3x＋1≥－3x＋1.

2.3 不等式的解集

01 基础题

知识点1 不等式的解和解集

1．下列数值中不是不等式5x≥2x＋9的解的是(D)

A．5 B．4 C．3 D．2

2．下列说法中，错误的是(C)

A．不等式x＜2的正整数解只有一个

B．－2是不等式2x－1＜0的一个解

C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3

D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2016·安徽)不等式x－2≥1的解集是x≥3．

知识点2 用数轴表示不等式的解集

4．用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是(C)

A．x＞－2 B．x＜－2

C．x≥－2 D．x≤－2

5．在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是(B)

第 47 页共 175 页

6．将下列不等式的解集分别表示在数轴上：

(1)x≤2；

解：如图所示：

(2)x>－2.

解：如图所示：

02 中档题

7．(2017·太原期末)若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是(D)

8．如果关于x的不等式ax＋4＜0的解集在数轴上表示如图，那么(C)

A．a＞0 B．a＜0

C．a＝－2 D．a＝2

9．(2017·西安期中)若关于x的不等式(a＋1)x＞a＋1的解集为x＞1，则a的取值范围是a＞－1．

10．不等式2x≥－9有多少个负整数解？请全部写出来．

解：由题意，得x≥－

，

所以不等式有4个负整数解：－1，－2，－3，－4.

03 综合题

11．小华在解不等式x＞2x－1时，发现所有的负数都满足不等式，于是他有理有据地说：“如果x<0，那么x>2x，

而2x>2x－1，所以x>2x－1成立．”小华得到了这样的结论：x>2x－1的解集是x<0.小华说得对吗？说说你的观点．

解：小华前面说明负数是不等式x＞2x－1的解是对的，但结论不对．因为解集包含所有的解，如x＝是不等式x

＞2x－1的解，但＞0，所以x<0不是x>2x－1的解集．

第 48 页共 175 页

2.4 一元一次不等式

第1课时一元一次不等式的解法

01 基础题

知识点1 一元一次不等式的概念

1．(2017·西安月考)下列不等式中是一元一次不等式的是(D)

A.x－y＜1 B．x

＋5x－1≥0

C．x＋y

＞3 D．2x＜4－3x

－

2．若x

2m1

－8＞5是关于x的一元一次不等式，则m的值为(B)

A．0 B．1 C．2 D．3

3．写出一个解集为x＞1的一元一次不等式：答案不唯一，如x＋2＞3．

知识点2 一元一次不等式的解法

4．不等式2x－6＞0的解集是(C)

A．x＞1 B．x＜－3

C．x＞3 D．x＜3

5．(2017·眉山)不等式－2x＞的解集是(A)

A．x＜－ B．x＜－1

C．x＞－ D．x＞－1

6．不等式3x≤2(x－1)的解集为(C)

A．x≤－1 B．x≥－1

C．x≤－2 D．x≥－2

2＋x2x－1

7．下列不等式>的变形过程：①去分母，得5(2＋x)>3(2x－1)；②去括号，得10＋5x>6x－3；③移项，

得5x－6x>－3－10；④系数化为1，得x>13.其中错误的步骤是(D)

A．① B．② C．③ D．④

8．(2017·成都月考)不等式3x＋2＜2x＋3的解集在数轴上表示正确的是(D)

x－2

9．不等式＞1的解集是x＞5．

10．(2017·西安期末)不等式3x－1≤2(x＋2)的最大整数解是5．

11．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．

(1)2(x＋3)－4>0；

解：去括号，得2x＋6－4＞0.

合并同类项，得2x＋2＞0.

移项，得2x＞－2.

系数化为1，得x＞－1.

这个不等式的解集在数轴上表示为：

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(2)

1＋x

＜x－1.

解：去分母，得1＋x＜3x－3.

移项，得x－3x＜－3－1.

合并同类项，得－2x＜－4.

系数化为1，得x＞2.

将解集在数轴上表示为：

02 中档题

12．(2017·遵义)不等式6－4x≥3x－8的非负整数解为(B)

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

13．阅读理解：我们把



a b





a b



c d



称作二阶行列式，规定它的运算法则为



c d



＝ad－bc，例如



＝－2.若



2 3－x



1 x



＞0，则(A)

A．x＞1 B．x＜－1

C．x＞3 D．x＜－3

14．当k≥

112

5k－1

时，代数式

(k－1)的值不小于代数式1－

的值．

15．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：

(1)2x－1＞

3x－1

；

解：去分母，得4x－2＞3x－1.

移项，得4x－3x＞2－1.

合并同类项，得x＞1.

将不等式的解集在数轴上表示为：

(2)

121

x－1≤

x－

；

解：去分母，得3x－6≤4x－3.

移项，得3x－4x≤6－3.

合并同类项，得－x≤3.

系数化为1，得x≥－3.

这个不等式的解集在数轴上表示为：

(3)

2x－13x＋2

≤

－1.

解：去分母，得4(2x－1)≤3(3x＋2)－12.

去括号，得8x－4≤9x＋6－12.

移项，得8x－9x≤4＋6－12.

合并同类项，得－x≤－2.

系数化为1，得x≥2.

解集在数轴上表示为：

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

＝1×4－2×3

16．(1)解不等式：5(x－2)＋8<6(x－1)＋7；

(2)若(1)中的不等式的最小整数解是方程2x－ax＝3的解，求a的值．

解：(1)去括号，得5x－10＋8<6x－6＋7.

移项、合并同类项，得－x<3.

系数化为1，得x>－3.

(2)由(1)得，最小整数解为x＝－2，

由题意，得2×(－2)－a×(－2)＝3，

解得a＝.

03 综合题

17．请你与小明、小华一起研究：小明在学习时，遇到以下两题，被难住了，于是就和小华一起研究起来．

(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a的解集是x<－1，请确定a的值；

(2)如果不等式4x－3a>－1与不等式2(x－1)＋3>5的解集相同，请确定a的值．

解：(1)不等式a(x－1)>x＋1－2a可变形为(a－1)x>1－a.

∵原不等式的解集为x<－1，

∴a－1<0，即a<1.

(2)解不等式2(x－1)＋3>5，得x>2.

3a－1

解不等式4x－3a>－1，得x>.

∵两个不等式的解集相同，

∴

3a－1

＝2.

第2课时一元一次不等式的应用

01 基础题

知识点一元一次不等式的应用

1．小明准备用节省的零花钱买一台随身音响，他已存有45元，计划从现在起以后每月节省30元，直到他至少有

300元．设x月后他至少有300元，则符合题意的不等式是(B)

A．30x－45≥300 B．30x＋45≥300

C．30x－45≤300 D．30x＋45≤300

2．电脑公司销售一批计算机，第一个月以3 500元/台的价格售出40台，从第二个月起降价，以3 000元/台的价格

将这批计算机全部售出，销售总额超过30万元，则这批计算机最少有多少台？若设这批计算机有x台，则下列不

等式表示正确的是(C)

A．3 500×40＋3 000(x－40)＞30

B．3 500×40＋3 000(x－40)≥30

C．3 500×40＋3 000(x－40)＞300 000

D．3 500×40＋3 000(x－40)≥300 000

3．小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3(2x－100)

＜1 000，则小美告诉小明的内容可能是(A)

A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1 000元

B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1 000元

第 51 页共 175 页

解得a＝3.

C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1 000元

D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1 000元

4．某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1 200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但

是要保证利润不低于5%，则最多可打几折(C)

A．5 B．6

C．7 D．8

5．(2017·西安期中)小颖准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则

她最多还可以买________支笔(D)

A．1 B．2 C．3 D．4

6．有10名菜农，每人可种茄子3亩或辣椒2亩，已知茄子每亩可收入0.5万元，辣椒每亩可收入0.8万元，要使

总收入不低于15.6万元，则最多只能安排4人种茄子．

7．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应

定为10元/千克．

8．某校八年级社会实践小组开展课外活动，调查快餐营养情况，他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如

图)．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，这份快餐最多含有多少

克的蛋白质？

解：设这份快餐含有x克的蛋白质．根据题意，得

x＋4x≤400×70%.

解得x≤56.

答：这份快餐最多含有56克的蛋白质．

02 中档题

9．某矿泉水每瓶售价1.5元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．老

师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x的取值范围

是(B)

A．x＞20 B．x＞40

C．x≥40 D．x＜40

10．(2017·齐齐哈尔)为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3 000元．若

每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买(A)

A．16个 B．17个

C．33个 D ．34个

11．(2017·沈阳)小明要代表班级参加学校举办的消防知识竞赛，共有25道题，规定答对一道题得6分，答错或不

答一道题扣2分，只有得分超过90分才能获得奖品，问小明至少答对多少道题才能获得奖品？

解：设小明答对了x题，根据题意，得

(25－x)×(－2)＋6x＞90，

解得x＞17.

∵x为非负整数，

∴x最小为18.

答：小明至少答对18道题才能获得奖品．

第 52 页共 175 页

12．(2017·贵港)某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场

得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．

(1)已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；

(2)如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？

解：(1)设甲队胜了x场，则负了(10－x)场，根据题意，得

2x＋10－x＝18，

解得x＝8.

则10－x＝2.

答：甲队胜了8场，负了2场．

(2)设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意，得

2a＋(10－a)＞15，

解得a＞5.

答：乙队在初赛阶段至少要胜6场．

13．某工程队现有大量的沙石需要运输，工程队下属车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一

次能运输110吨沙石．

(1)求该车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？

(2)随着工程的进展，车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多

少种购买方案，请你一一写出．

解：(1)设该车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，根据题意，得





x＝5，



x＋y＝12，

解得





8x＋10y＝110，

y＝7.



答：该车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆．

(2)设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意，得

8(5＋z)＋10(7＋6－z)＞165，

解得z＜.

∵z≥0且为整数，

∴z＝0，1，2.

∴车队共有3种购车方案：

①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；

②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；

③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆．

03 综合题

14．现有一批设备需由景德镇运往相距300千米的南昌，甲、乙两车分别以80千米/时和60千米/时的速度同时出

发，甲车在距南昌130千米的A处发现有部分设备丢在B处，立即以原速返回到B处取回设备，为了还能比乙车

提前到达南昌，开始加速以100千米/时的速度向南昌前进，设AB的距离为a千米．

(1)写出甲车将设备从景德镇运到南昌所经过的路程(用含a的代数式表示)；

(2)若甲车还能比乙车提前到达南昌，则a应小于多少？(不考虑其他因素)

解：(1)300－130＋a＋a＋130＝300＋2a(千米)．

(2)由题意，得

第 53 页共 175 页

300－130＋aa＋130

300

＋＜.

8010060

解得a＜70.

答：a应小于70.

周周练(2.1～2.4)

(时间：45分钟满分：100分)

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．下列不等式中，是一元一次不等式的是(C)

A．5＋4＞8 B．2x－1

C．2x≤5 D.－3x≥0

2．(2017·平顶山月考)若m＞n，下列不等式不一定成立的是(D)

A．m＋2＞n＋2 B．2m＞2n

C.＞ D．m

＞n

3．有一道这样的题：“由★x>1得到x<”，则题中★表示的是(D)

★

A．非正数 B．正数

C．非负数 D．负数

4．(2017·西安期中)不等式5x－1>2x＋5的解集在数轴上表示正确的是(A)

5．(2017·大庆)若实数3是不等式2x－a－2＜0的一个解，则a可取的正整数为(D)

A．2 B．3

C．4 D．5

6．小明身高1.5米，小明爸爸身高1.8米，小明走上一处每级高a米、共10级的平台说：“爸爸，现在两个你的

身高都比不上我了！”由此可得关于a的不等式是(C)

A．10a＞1.8×2

B．1.5＋a＋10＞1.8×2

C．10a＋1.5＞1.8×2

D．1.8×2＞10a＋15

7．(2016·遵义)三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是(B)

A．39 B．36 C．35 D．34

8．已知A地在B地的西方，且有一条以A，B两地为端点的东西向直线道路，其全长为400公里．今在此道路上

距离A地12公里处设置第一个广告牌，之后每往东27公里就设置一个广告牌，如图所示．若某车从此道路上距离

A地19公里处出发，往东直行320公里后才停止，则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地多少公里？(C)

A．309 B．316 C．336 D．339

二、填空题(每小题4分，共24分)

9．用不等号“＞，＜，≥，≤”填空：a

＋1＞0.

10．小明坐着爸爸新买的小车，在闹市区街道边发现一块标志牌(如图所示)，小明知道这表示车速不超过这个数字，

请你用式子表示在该车道上车辆行驶速度v(km/h)的数值范围：v≤10．

第 54 页共 175 页

11．(2017·海南)不等式2x＋1＞0的解集是x>－．

12．已知关于x的方程2x＋4＝m－x的解为负数，则m的取值范围是m<4．

13．某商场推出一种购物“金卡”，凭卡在该商场购物可按商品价格的八折优惠，但办理金卡时每张要收100元购

卡费．设按标价累计购物金额为x(元)，当x>500时，办理金卡购物省钱．

14．定义一种新的运算：a※b＝2a＋b，已知关于x的不等式x※k≥1的解集在数轴上表示如图，则k＝3．

三、解答题(共52分)

15．(8分)(2017·绍兴)解不等式：4x＋5≤2(x＋1)．

解：去括号，得4x＋5≤2x＋2.

移项，得4x－2x≤2－5.

合并同类项，得2x≤－3.

系数化为1，得x≤－.

x－2

16．(10分)解不等式：－1＞

，并把它的解集在数轴上表示出来．

解：去分母，得x－6＞2(x－2)．

去括号，得x－6＞2x－4.

移项，得x－2x＞－4＋6.

合并同类项，得－x＞2.

系数化为1，得x＜－2.

解集在数轴上表示如图所示．

17．(10分)阅读对话后，完成下面的要求：

教师：王芳，你怎么哭了？

王芳：老师，李明把这道题后面的擦掉了．

教师：啊！是这么回事呀！如果我告诉你这道题的答案是x≥7，且后面擦掉的是一个常数，你能把这个常数补上吗？

王芳：…，我知道了，谢谢老师(笑)．

根据以上信息，你能否完成这个任务？试试看！

2x＋1x＋5

≥＋？

解：设擦去的常数是a，则

2x＋1x＋5

≥＋a.

整理，得x≥13＋6a.

∵这个不等式的解集是x≥7，

∴13＋6a＝7.

解得a＝－1.

故擦去的是－1.

第 55 页共 175 页

18．(10分)(2017·邵阳)某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好

全部坐满．已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．

(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；

(2)由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有

参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．

解：(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y个，则





x＝18，



y－x＝17，

解得





y＝35.



6y＋5x＝300，



答：每辆大客车的乘客座位数为35个，每辆小客车的乘客座位数为18个．

(2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则

18a＋35(11－a)≥300＋30，解得a≤3.

∴符合条件的a的最大整数为3.

答：租用小客车数量的最大值为3.

19．(14分)王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球

和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下

表：

第一次

第二次

足球数量(个)

篮球数量(个)

总费用(元)

700

710

693 第三次 7 8

(1)王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；

(2)求足球和篮球的标价；

(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，王老师决定从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总

费用不能超过2 500元，那么最多可以购买多少个篮球？

解：(2)设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得





x＝50，



6x＋5y＝700，

解得





3x＋7y＝710，



y＝80.

答：足球的标价为50元，篮球的标价为80元．

(3)设购买a个篮球，依题意，得

0．6×50(60－a)＋0.6×80a≤2 500，

解得a≤38.

答：最多可以买38个篮球．

第 56 页共 175 页

2.5 一元一次不等式与一次函数

第1课时一元一次不等式与一次函数

01 基础题

知识点一元一次不等式与一次函数

1．(2017·湘潭)一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是(B)

A．x≥2 B．x≤2

C．x≥4 D．x≤4

2．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是(C)

A．x＜1 B．x＞1

C．x＜3 D．x＞3

3．如图，已知直线y

＝x＋b与y

＝kx－1相交于点P，点P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b

集是(C)

A．x>－1

B．x≥－1

C．x<－1

D．x≤－1

02 中档题

4．已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx＋b<0的解集

是(D)

x －2 －1 0 1 2 3

－2 y 3 2 1 0 －1

A.x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1

5．如图所示，函数y

＝|x|和y

＝x＋的图象相交于(－1，1)，(2，2)两点．当y

时，x的取值范围是(D)

A．x＜－1 B．－1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜－1或x＞2

6．(2017·平顶山期中)画出函数y＝－x＋3的图象，根据图象回答下列问题：

第 57 页共 175 页

(1)求方程－x＋3＝0的解；

(2)求不等式－x＋3＜0的解集；

(3)当x取何值时，y≥0.

解：如图．

(1)观察图象可知，方程－x＋3＝0的解为x＝2.

(2)观察图象可知，不等式－x＋3＜0的解集为x＞2.

(3)当x≤2时，y≥0.

7．赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲、乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在

整个行程中，龙舟离开起点的距离y(米)与时间x(分钟)的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？

(2)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；

(3)何时乙龙舟队划到甲龙舟队前面？

解：(1)由图可得，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点．

(2)设甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝kx，

把(25，3 000)代入，可得3 000＝25k，

解得k＝120.

∴甲龙舟队的y与x函数关系式为y＝120x(0≤x≤25)．

设乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝ax＋b，

把(5，0)，(20，3 000)代入，可得





a＝200，



0＝5a＋b，

解得





b＝－1 000.



3 000＝20a＋b，



∴乙龙舟队的y与x函数关系式为y＝200x－1 000(5≤x≤20)．

(3)由题意得200x－1 000＞120x，解得x＞12.5.

故12.5分后乙龙舟队划到甲龙舟队前面．

第 58 页共 175 页

第2课时一元一次不等式与一次函数的应用

01 基础题

知识点一元一次不等式与一次函数的实际应用

1．已知甲、乙两弹簧的长度y(cm)与所挂物体x(kg)之间的函数表达式分别是y

＝k

x＋b

，y

＝k

x＋b

，其图象如

图所示，当所挂物体质量均为2 kg时，甲、乙两弹簧的长度y

与y

的大小关系为(A)

A．y

＞y

B．y

＝y

C．y

＜y

D．不能确定

2．暑假期间，李老师计划带领该校若干名“三好学生”到北京旅游，他联系了报价均为240元的甲、乙两家旅行

社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师买一张全票，学生可享受半价优惠；乙旅行社的优惠条件是：老师、学

生都按六折优惠．设李老师带领x名“三好学生”去旅游，甲旅行社的收费为y

元，乙旅行社的收费为y

元．

(1)y

＝120x＋240；y

＝144x＋144；

(2)当学生人数多于4人时，选择甲旅行社更划算；

(3)当学生人数少于4人时，选择乙旅行社更划算．

02 中档题

3．(2017·衡阳)为响应绿色出行号召，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手

机支付和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系，根据

图象回答下列问题：

(1)求手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式；

(2)李老师经常骑行共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．

解：(1)当0≤x＜0.5时，y＝0；

当x≥0.5时，设手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式是y＝kx＋b，则





k＝1，



0.5k＋b＝0，

解得





b＝－0.5.



1×k＋b＝0.5，



即当x≥0.5时， y＝x－0.5.





0（0≤x<0.5），

∴手机支付金额y(元)与骑行时间x(时)的函数关系式是y＝





x－0.5（x≥0.5）.



(2)设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax，

则0.75＝a×1，得a＝0.75，

即会员卡支付对应的函数关系式为y＝0.75x.

令0.75x＝x－0.5，解得x＝2.

由图象可知，

当0＜x＜2时，李老师选择手机支付比较合算；

当x＝2时，李老师选择两种支付一样；

当x＞2时，李老师选择会员卡支付比较合算．

03 综合题

4．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，

第 59 页共 175 页

供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为

30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：

A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售；

B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．

设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y

(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y

(元)．请解答下列

问题：

(1)分别写出y

和y

与x之间的关系式；

(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？

(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．

解：(1)y

＝27x＋270，y

＝30x＋240.

(2)当y

＝y

时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10；

当y

＞y

时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10；

当y

＜y

时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.

∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；

当x＝10时，两家超市都一样；

当x＞10时，到A超市购买划算．

(3)∵x＝15＞10，

∴①选择在A超市购买，y

＝27×15＋270＝675(元)；

②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，再在A超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130(个)，

则共需费用：10×30＋130×3×0.9＝651(元)．

∵651＜675，

∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，再在A超市购买130个羽毛球．

小专题(二) 一元一次不等式的应用

类型1 一元一次不等式与方程(组)的应用

1．某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元.

(1)若公司可投入的购车款不超过55万元，求最多购买轿车多少辆？

(2)若购买的面包车多于购买轿车的2倍，求至少购买面包车多少辆？

解：(1)设购买轿车x辆，则购买面包车(10－x)辆，根据题意，得

7x＋4(10－x)≤55，

解得x≤5.

答：最多购买轿车5辆．

(2)设购买面包车y辆，则购买轿车(10－y)辆，根据题意，得

y＞2(10－y)，

解得y＞

∵y为整数，

∴y≥7.

答：至少购买面包车7辆．

2．光伏发电惠民生，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均

每天可发电5度，已知某月(按30天计)共发电550度．

(1)求这个月晴天的天数；

(2)已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本．(不计其他费用，

结果取整数)

信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公司，

同时可获得政府补贴0.52元/度．

解：(1)设这个月有x个晴天，由题意，得

第 60 页共 175 页

30x＋5(30－x)＝550，

解得x＝16.

答：这个月有16个晴天．

(2)设需要y年才可以收回成本，由题意，得

(550－150)·(0.52＋0.45)·12y≥40 000，

解得y≥8.6.

∵y是整数，

∴至少需要9年才能收回成本．

3．(2017·铁岭)某大型快递公司使用机器人进行包裹分拣，若甲机器人工作2 h，乙机器人工作4 h，一共可以分拣

700件包裹；若甲机器人工作3 h，乙机器人工作2 h，一共可以分拣650件包裹．

(1)求甲、乙两机器人每小时各分拣多少件包裹；

(2)“双十一”期间，快递公司的业务量猛增，要让甲、乙两机器人每天分拣包裹的总数量不低于2 250件，它们每

天至少要一起工作多少小时？

解：(1)设甲、乙两机器人每小时各分拣x件、y件包裹，根据题意，得





x＝150，



2x＋4y＝700，

解得





3x＋2y＝650，

y＝100.



答：甲、乙两机器人每小时各分拣150件、100件包裹．

(2)设它们每天要一起工作t小时，根据题意，得

(150＋100)t≥2 250，

解得t≥9.

答：它们每天至少要一起工作9小时．

4．(2017·怀化)为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购

买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球

拍共需204元．

(1)求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；

(2)若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过1 480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？

解：(1)设1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格分别为x元和y元，根据题意，得





x＝28，



2x＋y＝116，

解得





y＝60.



3x＋2y＝204，



答：购买1副乒乓球拍需28元，1副羽毛球拍需60元．

(2)设购买羽毛球拍的数量为z副，则购买乒乓球拍的数量为(30－z)副．根据题意，得

28(30－z)＋60z≤1 480.

解得z≤20.

答：最多能购买20副羽毛球拍．

类型2 一元一次不等式与一次函数的应用

5．(2017·大庆)某快递公司的每位“快递小哥”日收入与每日的派送量成一次函数关系，如图所示．

(1)求每位“快递小哥”的日收入y(元)与日派送量x(件)之间的函数关系式；

(2)已知某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送多少件？

第 61 页共 175 页

解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，

将(0，70)，(30，100)代入，得





k＝1，



b＝70，



解得







30k＋b＝100，



b＝70.

∴所求函数表达式为y＝x＋70.

(2)根据题意，得x＋70≥110，

解得x≥40.

答：某“快递小哥”的日收入不少于110元，则他至少要派送40件．

6．(2017·连云港)某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，

直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤(不计损耗)．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中

的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．

(1)若基地一天的总销售收入为y元，求y与x之间的函数表达式；

(2)试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．

解：(1)根据题意，得y＝[70x－(20－x)×35]×40＋(20－x)×35×130＝－350x＋63 000.

即y与x之间的函数表达式为y＝－350x＋63 000.

(2)由题意，得70x≥35(20－x)，

解得x≥.

∵x为正整数，且x≤20，

∴7≤x≤20.

∵－350＜0，

∴y的值随x的值增大而减小．

∴当x＝7时，y取最大值，最大值为－350×7＋63 000＝60 550.

答：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60 550元．

7．(2017·西安期中)某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20

辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据下表提供的信息，解答下列问题：

物资种类

每辆汽车运载量(吨)

食品

药品

生活用品

每吨所需运费(元/吨) 120 160 100

(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x的函数关系式；

(2)如果装运食品的车辆数不少于7辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？采用哪种安排

方案使总运费最少，最少总运费为多少？

解：(1)由题意知装运生活用品的车辆数为(20－x－y)，

则有6x＋5y＋4(20－x－y)＝100，

整理得y＝－2x＋20.

(2)由题意得－2x＋20≥4，

解得x≤8，

又∵x≥7，且x为整数，

∴x的值为7，8.

第 62 页共 175 页

∴安排方案有2种：

①装运食品7辆，药品6辆，生活用品7辆；

②装运食品8辆，药品4辆，生活用品8辆．

当x＝7时，总运费为7×6×120＋6×5×160＋7×4×100＝12 640(元)；

当x＝8时，总运费为8×6×120＋4×5×160＋8×4×100＝12 160(元)．

故选②，最少总运费为12 160元．

2.6 一元一次不等式组

第1课时解较简单的一元一次不等式组

01 基础题

知识点1 一元一次不等式组及相关概念

1．下列各式中不是一元一次不等式组的是(B)

y>－1





3x－5y>2





4x＋2<0

y≤－







x－5>0









a＋2<0



x＋3<0





a－1>0







2x＋3>9





x<2，

2．(2017·湘潭)不等式组



的解集在数轴上表示为(B)



x>－1



3．(2017·西安期中)如图，数轴上表示的是两个不等式的解集，由它们组成的不等式组的解集为(A)

A．－1

C．x>－1 D．x≤1

知识点2 解较简单的一元一次不等式组





x－1≤0，

4．(2017·长春)不等式组



的解集为(C)



2x－5<1



A．x<－2 B．x≤－1

C．x≤1 D．x<3





2x－6≤0，

5．(2017·山西)将不等式组



的解集表示在数轴上，下面表示正确的是(A)



x＋4>0



x－2≤0，





6．(2017·河南)不等式组



x－1

的解集是－1＜x≤2．

＜x





第 63 页共 175 页

02 中档题





2x＋1>－3，

7．不等式组



的整数解的个数为(B)





－x＋3≥0

A．3个 B．5个 C．7个 D．无数个

x＋1＞0，





8．(2017·黑龙江)不等式组



的解集是x＞－1，则a的取值范围是a≤－．





a－

x＜0





x＋1≥2，①

9．(2017·天津)解不等式组





5x≤4x＋3.②



请结合题意填空，完成本题的解答．

(1)解不等式①，得x≥1；

(2)解不等式②，得x≤3；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

(4)原不等式组的解集为1≤x≤3．





2x－1>0，①

10．(2017·河池)解不等式组：





x＋1<3.②



解：解不等式①，得x＞0.5.

解不等式②，得x＜2.

∴不等式组的解集为0.5＜x＜2.

03 综合题



2x＋y＝1＋2m，





x－y＜8，



11．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组



则m的取值范围是什么？





x＋y＞1，



x＋2y＝2－m





2x＋y＝1＋2m，①

解：在方程组



中，



x＋2y＝2－m②



①＋②，得3x＋3y＝3＋m，∴x＋y＝

①－②，得x－y＝－1＋3m，

3＋m



x－y＜8，

∵



x＋y＞1，



3m－1＜8，





∴



3＋m

＞1.





解得0＜m＜3.

第 64 页共 175 页

第2课时解较复杂的一元一次不等式组

01 基础题

知识点解较复杂的一元一次不等式组



2x＋9≥3，



1．(2017·德州)不等式组



1＋2x

的解集是(B)





＞x－1

A．x≥－3 B．－3≤x＜4

C．－3≤x＜2 D．x＞4

3x－1





＞2－x，

2．不等式组



的解集在数轴上可表示为(A)





8－4x≤0





x＋3（x－2）≤－2，

3．不等式组



的整数解是－1，0，1．





1＋2x＞x－1

4．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来．





2x≥－9－x，①

(1)(2017·长沙)





5x－1>3（x＋1）；②



解：解不等式①，得x≥－3.

解不等式②，得x＞2.

则不等式组的解集为x＞2.

解集表示在数轴上如图：

x－3（x－2）≥4，①





(2)(2017·黔东南)



2x－1x＋1

＜.②





解：解不等式①，得x≤1.

解不等式②，得x＞－7.

∴不等式组的解集为－7＜x≤1.

解集表示在数轴上如图：

02 中档题





x－1≤7－

x，

5．(2016·滨州)对于不等式组



下列说法正确的是(B)





5x＋2＞3（x－1），

A．此不等式组无解

B．此不等式组有7个整数解

C．此不等式组的负整数解是－3，－2，－1

D．此不等式组的解集是－＜x≤2

第 65 页共 175 页





（x＋2）－3>0，

6．(2017·西安期中)不等式组



的解集是x>4，那么m的取值范围是(A)



x>m



A．m≤4 B．m＜4

C．m≥4 D．m＞4



4（x＋1）≤7x＋10，①

并写出它的所有非负整数解．



7．解不等式组



x－8

x－5<

，②





解：解不等式①，得x≥－2.

解不等式②，得x<.

所以原不等式组的解集为－2≤x<.

所以它的非负整数解为0，1，2，3.

2x＋3<1，





8．若不等式组



的整数解是关于x的方程2x－4＝ax的根，求a的值．





（x－3）

解：解不等式组得－3

则整数解为x＝－2，代入方程，得

2×(－2)－4＝a·(－2)．

解得a＝4.

小专题(三) 一元一次不等式(组)的解法

类型1 解一元一次不等式

1．解不等式：5＋x≥3(x－1)．

解：去括号，得5＋x≥3x－3.

移项，得x－3x≥－3－5.

合并同类项，得－2x≥－8.

系数化为1，得x≤4.

x－2

2．(2017·镇江)解不等式：>1－.

解：去分母，得2x＞6－3(x－2)．

去括号，得2x＞6－3x＋6.

移项，得2x＋3x＞6＋6.

合并同类项，得5x＞12.

系数化为1，得x＞.

3．求不等式2x－7＜5－2x的正整数解．

解：移项，得2x＋2x＜5＋7.

合并同类项，得4x<12.

系数化为1，得x＜3.

∴不等式的正整数解为1，2.

第 66 页共 175 页

4．解不等式2(x＋1)＜3x，并把解集在数轴上表示出来．

解：去括号，得2x＋2＜3x.

移项、合并同类项，得－x＜－2.

系数化为1，得x＞2.

其解集在数轴上表示为：

x－1

5．解不等式≤5－x，并把解集在数轴上表示出来．

解：去分母，得x－1≤15－3x.

移项，得x＋3x≤15＋1.

合并同类项，得4x≤16.

系数化为1，得x≤4.

其解集在数轴上表示为：

3x＋1

2x－5

6．解不等式－≥

，并把它的解集在数轴上表示出来．

436

解：去分母，得3(3x＋1)－8≥2(2x－5)．

去括号，得9x＋3－8≥4x－10.

移项，得9x－4x≥－10＋8－3.

合并同类项，得5x≥－5.

系数化为1，得x≥－1.

将解集表示在数轴上如下：

7．已知不等式x＋8＞4x＋m(m是常数)的解集是x＜3，求m.

解：移项，得x－4x＞m－8.

合并同类项，得－3x＞m－8.

系数化为1，得x＜－(m－8)．

∵不等式的解集为x＜3，

∴－(m－8)＝3.

解得m＝－1.

类型2 解一元一次不等式组





x＋1≥4，

8．(2017·苏州)解不等式组：





2（x－1）＞3x－6.



解：由x＋1≥4，解得x≥3.

由2(x－1)＞3x－6，解得x＜4.

∴不等式组的解集是3≤x＜4.

第 67 页共 175 页

2x－7＜3（x－1），①





9．(2017·成都)解不等式组：







x＋3≤1－

x.②

解：解不等式①，得x＞－4.

解不等式②，得x≤－1.

则不等式组的解集是－4＜x≤－1.



x－4>0，①

10．解不等式组



并把它的解集表示在数轴上．

3x>2（x－1），②



解：解不等式①，得x＞4.

解不等式②，得x＞－2.

∴原不等式组的解集为x＞4.

不等式组的解集在数轴上表示为：

x－1＞2x，①





11．解不等式组



x－1x＋1

并将它的解集在数轴上表示出来．

≤

，②





解：解不等式①，得x＜－1.

解不等式②，得x≤2.

故此不等式组的解集为x＜－1.

其解集在数轴上表示为：

5x－2>3（x＋1），①





12．解不等式组



并在数轴上表示出该不等式组的解集．

x－2≤7－x，②





解：解不等式①，得x＞.

解不等式②，得x≤3.

∴不等式组的解集是＜x≤3.

其解集在数轴上表示为：

2－x≤2（x＋4），①





13．(2016·扬州)解不等式组



x－1

并写出该不等式组的最大整数解．





x＜

＋1，②

解：解不等式①，得x≥－2.

解不等式②，得x＜1.

∴不等式组的解集为－2≤x＜1.

∴不等式组的最大整数解为0.

第 68 页共 175 页

x－3（x－2）<2，①





14．若关于x的不等式组



a＋2x

有解，求实数a的取值范围．





>x②

解：解不等式①，得x＞2.

解不等式②，得x＜.

x－3（x－2）<2，①





∵不等式组



a＋2x

有解，





>x②

∴2＜x＜.

∴＞2.∴a＞4.

15．已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．

解：由2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，得

3x－12x＋16

a＝

，b＝

∵a≤4＜b，

≤4，①



3x－

∴



2x＋16



>4.②

解不等式①，得x≤3.

解不等式②，得x＞－2.

∴x的取值范围是－2＜x≤3.

小专题(四) 解含参不等式(组)

——教材P62T10的变式与应用





x＋8<4x－1，

教材母题：(教材P62T10)如果不等式组



的解集是x>3，那么m的取值范围是(B)



x>m



A．m≥3 B．m≤3

C．m＝3 D．m<3

【思路点拨】由不等式组中两个不等式的形式，结合不等式组解集的同大取大法则，可得a的取值范围，但应注

意范围中是否包含取等号的情况，这里容易出错．

解决含有参数的不等式需要按以下几个步骤：

(1)解不等式或不等式组，含有参数的也要解，把参数当已知数来解，这是必不可少的步骤；

(2)借助于数轴，形象准确地把握不等式组有解、无解以及有几个整数解的问题；

(3)注意端点值，这类问题一般都与端点有关，一是用数轴来说明是哪个端点，二是进行检验，有无端点是不是满足

题意．

第 69 页共 175 页



x＞1，



1．如果不等式组



的解集是x＞1，那么n的取值范围是(C)



x＞n



A．n≥1 B．n＝1

C．n≤1 D．n＜1





x≤m，

2．若不等式组



无解，则m的取值范围是(C)



x＞11



A．m＜11 B．m＞11

C．m≤11 D．m≥1





2x＋9>6x＋1，

3．(2017·泰安)不等式组



的解集为x<2，则k的取值范围为(C)



x－k<1



A．k>1 B．k<1

C．k≥1 D．k≤1

3x－a≥0，①





4．已知关于x的不等式组



有解，求实数a的取值范围．





（x－2）＞3x＋4②

解：解不等式①，得x≥.

解不等式②，得x＜－2.

由题意，得＜－2，

解得a＜－6.

5x＋1>3（x－1），①





5．(2017·黄石)已知关于x的不等式组



恰有两个整数解，求实数a的取值范围．

x≤8－x＋2a②





解：解不等式①，得x＞－2.

解不等式②，得x≤4＋a.

∵原不等式组有解，

∴不等式组的解集为－2＜x≤4＋a.

∵原不等式组恰有两个整数解，

∴0≤4＋a＜1.

∴－4≤a＜－3.





2x－a≥3（x－2），①

6．关于x的不等式组





－2x<4.②



(1)若a＝2，求这个不等式组的解集；

(2)若这个不等式组无解，求a的取值范围；

(3)若这个不等式组的整数解有3个，求a的取值范围．

解：(1)解不等式①，得x≤6－a.

解不等式②，得x＞－2.

当a＝2时，不等式组的解集是－2＜x≤4.

(2)∵不等式组无解，

∴6－a≤－2.∴a≥8.

∴a的取值范围是a≥8.

(3)∵不等式组的整数解有3个，

第 70 页共 175 页

∴1≤6－a＜2.

∴a的取值范围是4＜a≤5.

章末复习(二) 一元一次不等式与一元一次不等式组

01 基础题

知识点1 不等式的基本性质

1．(2017·西安期中)若a>b，则下列各等式中一定成立的是(B)

A．a－1

C.> D．ac

2．若2x－5<2y－5，则x”“<”或“＝”)

知识点2 解一元一次不等式(组)

3．在数轴上表示不等式3x＋1≥4的解集，正确的是(D)





x－1≤3，

4．(2017·绥化)不等式组



的解集是(B)



x＋1>3



A．x≤4 B．2＜x≤4

C．2≤x≤4 D．x＞2

5．不等式3(x－1)≤5－x的非负整数解有(C)

A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

x－27－x

6．(2017·淄博)解不等式：≤.

解：去分母，得3(x－2)≤2(7－x)．

去括号，得3x－6≤14－2x.

移项、合并同类项，得5x≤20.

解得x≤4.



5x－3＜4x，①

7．解不等式组：



并把解集在数轴上表示出来．



4（x＋1）＋2≥x，②

解：解不等式①，得x＜3.

解不等式②，得x≥－2.

则不等式组的解集是－2≤x＜3.

解集在数轴上表示如下：

知识点3 一元一次不等式与一次函数

8．一次函数y＝3x＋b和y＝ax－3的图象如图所示，其交点为P(－2，－5)，则不等式3x＋b＞ax－3的解集在数

轴上表示正确的是(C)

第 71 页共 175 页

9．如图，直线y

＝k

x＋b和直线y

＝k

x＋b交于y轴上一点，则不等式k

x＋b＞k

x＋b的解集为x＞0．

知识点4 一元一次不等式的应用

10．(2016·西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/

块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有(C)

A．103块 B．104块

C．105块 D．106块

11．甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛

了10场，甲队保持不败，得分不低于24分，则甲队至少胜了多少场？

解：设甲队胜了x场，则平了(10－x)场．由题意，得

3x＋(10－x)≥24.解得x≥7.

答：甲队至少胜了7场．

02 中档题

12．(2016·泰安)当1≤x≤4时，mx－4＜0，则m的取值范围是(B)

A．m＞1 B．m＜1

C．m＞4 D．m＜4

13．如图，函数y＝－2x和y＝kx＋b的图象相交于点A(m，3)，则关于x的不等式－kx－b－2x＞0的解集为x<－

．

14．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15 cm，9只饭碗摞起来的高

度为20 cm，李老师家的碗橱每格的高度为28 cm，则里面一摞碗最多只能放13只．

15．当a，b满足条件a＞b＞0时，

＋

＝1表示焦点在x轴上的椭圆．若＋＝1表示焦点在x轴上的

m＋22m－6

椭圆，则m的取值范围是3＜m＜8．





3x＋2（x＋1）＞0，①

16．已知关于x的不等式组



恰有两个整数解，求实数a的取值范围.



3x＋5a＋4＞4（x＋1）＋3a②



解：解不等式①，得x＞－.

解不等式②，得x＜2a.

则原不等式组的解集为－

∵不等式组恰有两个整数解，

∴这两个整数解是0和1.

根据题意，得1＜2a≤2，

第 72 页共 175 页

解得＜a≤1.

3x＋a

17．关于x的两个不等式＜1①与1－3x＞0②.

(1)若两个不等式的解集相同，求a的值；

(2)若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．

2－a

解：(1)由①，得x＜.

由②，得x＜.

∵两个不等式的解集相同，

∴

2－a

＝.解得a＝1.

2－a

≤.解得a≥1.

(2)∵不等式①的解都是②的解，

∴

18．某大型企业为了保护环境，准备购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，

若购买A型2台、B型3台需54万，购买A型4台、B型2台需68万元．

(1)求出A型、B型污水处理设备的单价；

(2)经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的

污水处理不低于1 565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．

解：(1)设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元．根据题意，得





2x＋3y＝54，



x＝12，



解得





4x＋2y＝68.



y＝10.



答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元．

(2)设购进a台A型污水处理设备，根据题意，得

220a＋190(8－a)≥1 565.

解得a≥1.5.

∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，

∴A型污水处理设备买越少，越省钱．

∴购进2台A型污水处理设备，6台B型污水处理设备最省钱．

03 综合题

2（a－x）≥－x－4，





19．如果关于x的方程a－3(x＋1)＝1－x有负分数解，且关于x的不等式组



3x＋4

的解集为x<－2，





＜x＋1

那么符合条件的所有整数a的积是(D)

A．－3 B．0 C．3 D．9

第 73 页共 175 页

北师大版八年级下册数学第三章图形的平移与旋转同步课时练习题

3．1 图形的平移

第1课时平移的认识

01 基础题

知识点1 平移的认识

1．下列现象中属于平移的是(A)

A．升降电梯从一楼升到五楼

B．闹钟的钟摆运动

C．树叶从树上随风飘落

D．汽车方向盘的转动

2．下列选项中能由左图平移得到的是(C)

3．如图，由△ABC平移得到的三角形有(B)

A．15个 B．5个 C．10个 D．8个

知识点2 平移的性质

4．如图，将直线l

沿着AB的方向平移得到直线l

，若∠1＝50°，则∠2的度数是(B)

A．40° B．50° C．90° D．130°

5．下列说法：①图形平移，对应点所连的线段互相平分；②确定一个图形平移后的位置需要知道平移的方向和距

离；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；④一个图形和它经过平移所得的图形的对应线段平行(或

在一条直线上)且相等．其中正确的有(C)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．如图，△ABC沿着点B到点E的方向，平移到△DEF，已知BC＝5，EC＝3，那么平移的距离为(A)

A．2 B．3 C．5 D．7

7．如图，已知线段DE是由线段AB平移而得，AB＝DC＝4 cm，EC＝5 cm，则△DCE的周长是13cm.

8．如图，△ABC经过一次平移到△DFE的位置，请回答下列问题：

(1)点C的对应点是点E，∠D＝∠A，BC＝FE；

(2)连接CE，那么平移的方向就是点C到点E的方向，平移的距离就是线段CE的长度；

(3)连接AD，BF，BE，与线段CE相等的线段有AD，BF．

第 74 页共 175 页

知识点3 平移作图

9．下列平移作图错误的是(C)

10．如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到了点A′.

(1)指出平移的方向和平移的距离；

(2)画出平移后的四边形A′B′C′D′.

解：(1)如图，连接AA′，平移的方向是点A到点A′的方向，平移的距离是线段AA′的长度．

(2)如图，四边形A′B′C′D′即为所求．

02 中档题

11．如图，已知△ABC平移后得到△DEF，则下列说法中，不正确的是(C)

A．AB＝DE

B．BC∥EF

C．平移的距离是线段BD的长

D．平移的距离是线段AD的长

12．(2017·西安期中)如图，在两个重叠的直角三角形中，将其中的一个直角三角形沿着BC方向平移BE距离得到

此图形，其中AB＝6，BE＝5，DH＝3，则四边形DHCF的面积为(C)

6545

A．35 B. C. D．31

13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到

△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．

14．(2016·安徽)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB

与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC.

(1)试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；

(2)将四边形ABCD向下平移5个单位长度，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′.

第 75 页共 175 页

解：(1)点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．

(2)得到的四边形A′B′C′D′如图所示．

15．如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草．

(1)请利用平移的知识求出种花草的面积；

(2)若空白的部分种植花草共花费了4 620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？

解：(1)(8－2)×(8－1)＝6×7＝42(平方米)．

答：种花草的面积为42平方米．

(2)4 620÷42＝110(元)．

答：每平方米种植花草的费用是110元．

03 综合题

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．

(1)若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积；

(2)若平移距离为x(0≤x≤4)，用含x的代数式表示△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．

解：(1)由题意，得CC′＝3，BB′＝3，

∴BC′＝1.

又由题意易得，重叠部分是一个等腰直角三角形，

∴重叠部分的面积为×1×1＝.

(2)当平移的距离是x时，CC′＝BB′＝x，

则BC′＝4－x.

∴重叠部分面积为(4－x)

第2课时沿x轴或y轴方向平移的坐标变化

01 基础题

知识点沿x轴或y轴方向平移的坐标变化

1．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，在平面直角坐标系中，将点A(－2，3)向右平移3个单位长度后对应的点A′

的坐标是(C)

第 76 页共 175 页

A．(－2，－3) B．(－2，6) C．(1，3) D．(－2，1)

2．在平面直角坐标系中，将点(2，3)向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是(C)

A．(1，3) B．(2，2)

C．(2，4) D．(3，3)

3．在平面直角坐标系中，将线段OA向下平移2个单位长度，平移后，点O，A的对应点分别为点O

，A

.若点

O(0，0)，A(1，4)，则点O

，A

的坐标分别是(B)

A．(0，－2)，(－1，4) B．(0，－2)，(1，2)

C．(－2，0)，(1，4) D．(－2，0)，(－1，4)

4．(2017·郴州)在平面直角坐标系中，把点A(2，3)向左平移1个单位长度得到点A′，则点A′的坐标为(1，3)．

5．如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(3，－2)，C(5，1)，D(4，

4)，画出将四边形ABCD向左平移3个单位长度后得到的四边形A

，并写出平移后四边形各个顶点的坐标．

解：如图所示．

由图可知，A

(－2，2)，B

(0，－2)，C

(2，1)，D

(1，4)．

02 中档题

6．将△ABC各顶点的纵坐标加“－3”，连接这三点所成的三角形是由△ABC(B)

A．向上平移3个单位长度得到的

B．向下平移3个单位长度得到的

C．向左平移3个单位长度得到的

D．向右平移3个单位长度得到的

7．若将点P(m＋2，2m＋1)向右平移1个单位长度后，点P的对应点正好落在y轴上，则m＝－3．

8．如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(－2，3)，嘴唇C的坐标为(－1，1)，则将此

“QQ”笑脸向右平移3个单位长度后，右眼B的坐标是(3，3)．

9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，－1)，点B(－2，1)，平移线段AB，使点A落在A

(0，－1)，点

B落在点B

，则点B

的坐标为(1，1)．

10．观察下图，与图1中的鱼相比，图2中的鱼发生了一些变化，若图1中鱼上点P的坐标为(4，3.2)，则这个点

在图2中的对应点P

的坐标应为(4，2.2)．

第 77 页共 175 页

11．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐

标系．

(1)点A的坐标为(2，7)，点C的坐标为(6，5)；

(2)将△ABC向下平移7个单位长度，请画出平移后的△A

；

(3)如果M为△ABC内的一点，其坐标为(a，b)，那么平移后点M的对应点M

的坐标为(a，b－7)．

解：平移后的△A

如图所示．

第3课时沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化

01 基础题

知识点沿x轴，y轴方向两次平移的坐标变化

1．将点(1，2)先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的点的坐标是(A)

A．(－2，3) B．(4，3)

C．(－2，1) D．(4，1)

2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，如果将△ABC先向右平移4个单位长度，再

向下平移1个单位长度，得到△A

，那么点A的对应点A

的坐标为(D)

A．(4，3) B．(2，4)

C．(3，1) D．(2，5)

3．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的四边形ABCD，点A的坐标是(0，2)．现将这张胶片平移，

使点A落在点A′(5，－1)处，则此平移可以是(B)

A．先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度

B．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度

C．先向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度

4．将点P(－4，y)先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点Q(x，－1)，则x＝－6，y＝2．

5．(2017·西安高新区期中)在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，1)，(－1，－2)，将线段AB沿某一

第 78 页共 175 页

方向平移后，得到点A的对应点A′的坐标为(－1，0)，则点B的对应点B′的坐标为(1，－3)．

6．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图中鱼的各个顶点A，B，C，D都在格点上．

(1)把鱼先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，请你画出平移后得到的图形；

(2)写出A，B，C，D四点平移后的对应点A′，B′，C′，D′的坐标．

解：(1)如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求．

(2)A′(4，2)，B′(0，6)，C′(2，2)，D′(1，1)．

02 中档题

7．如图，线段AB经过平移得到线段A

，其中A，B的对应点分别为A

，B

，这四个点都在格点上，若线段

AB上有一个点P(a，b)，则点P在A

上的对应点P

的坐标为(A)

A．(a－4，b＋2) B．(a－4，b－2)

C．(a＋4，b＋2) D．(a＋4，b－2)

8．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A(－2，6)，B(－3，2)，C(0，3)，将△ABC先向右平移4个单位长度，再

向上平移3个单位长度，得到△DEF.

(1)画出△DEF，并分别写出△DEF各顶点的坐标；

(2)如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离．

解：(1)△DEF如图所示，其各顶点的坐标分别为D(2，9)，E(1，5)，F(4，6)．

(2)连接AD.

由图可知，AD＝3

＋4

＝5.

∴如果将△DEF看成是由△ABC经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由A到D的方向，平移的距离

是5个单位长度．

03 综合题

9．在平面直角坐标系中，把点向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度记为一次“跳跃”．点A(－6，－

2)经过第一次“跳跃”后的位置记为A

，点A

再经过一次“跳跃”后的位置记为A

，…，以此类推．

(1)写出点A

的坐标：A

(0，1)；

(2)写出点A

的坐标：A

(－6＋2n，－2＋n)(用含n的代数式表示)．

第 79 页共 175 页

3.2 图形的旋转

第1课时旋转的认识

01 基础题

知识点1 旋转的有关概念

1．下面生活中的实例，不是旋转的是(A)

A．传送带传送货物 B．螺旋桨的运动

C．风车风轮的运动 D．自行车车轮的运动

2．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，若

点C的对应点C′落在AB边上，则旋转角为(B)

A．40° B．70° C．80° D．140°

3．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么：

(1)旋转中心是点A；

(2)点B，D的对应点分别是点C，E；

(3)线段AB，BD，DA的对应线段分别是线段AC，CE，EA；

(4)∠B的对应角是∠ACE；

(5)旋转角度为60°．

知识点2 旋转的性质

4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是(C)

A．15 ° B．60° C．45° D．75°

5．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－2，0)和(2，0)．月牙①

绕点B顺时针旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标为(B)

A．(2，2) B．(2，4)

C．(4，2) D．(1，2)

6．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE，AB＝5 cm，BC＝8 cm，∠BAC＝130°，则AD＝AB＝5cm，

DE＝BC＝8cm，∠EAC＝∠BAD＝30°，∠DAC＝100°．

第 80 页共 175 页

02 中档题

7．(2016·大连)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，

则BD＝2．

8．(2017·西安期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在

线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为210．

9．(2017·朝阳市建平县期末)如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°

得到△ADE，连接BD，CE交于点F.

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)求∠ACE的度数．

解：(1)证明：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，

∴∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，AC＝AE.

又∵AB＝AC，

∴AB＝AC＝AD＝AE.

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

(2)∵∠CAE＝100°，AC＝AE，

∴∠ACE＝∠AEC.

∴∠ACE＝×(180°－∠CAE)＝×(180°－100°)＝40°.

03 综合题

10．(2017·陕西蓝田县期末)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，

得到△DEC，连接AE，则AE的长为2＋6．

第2课时旋转作图

01 基础题

知识点旋转作图

1．将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE，则下列作图正确的是(C)

第 81 页共 175 页

2．(2017·广州)如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为(A)

3．(2017·枣庄)将数字“6”旋转180°，得到数字“9”，将数字“9”旋转180°，得到数字“6”，现将数字“69”旋转180°，

得到的数字是(B)

A．96 B．69 C．66 D．99

4．如图，在正方形网格中，以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△AB

解：如图.

5．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形．

解：如图所示．

02 中档题

6．同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图看到的是万花筒的一个图案，图中所有小三

角形均是全等的等边三角形，其中的平行四边形AEFG可以看成是把平行四边形ABCD以A为中心(D)

A．顺时针旋转60°得到

B．顺时针旋转120°得到

C．逆时针旋转60°得到

D．逆时针旋转120°得到

7．如图，已知Rt△ABC和三角形外一点P，按要求完成图形．

(1)将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转90°，得△A′B′C′；

(2)将△ABC绕点P沿逆时针方向旋转60°，得△A″B″C″.

第 82 页共 175 页

解：(1)△A′B′C′如图所示．

(2)△A″B″C″如图所示．

8．(2017·平顶山市宝丰县期末)如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，

点A(－4，2)，点D(0，5)．

(1)画出△ABC绕点D逆时针方向旋转90°后的△EFG；

(2)写出点E，F，G的坐标．

解：(1)如图所示，△EFG即为所求．

(2)如图所示，E(3，1)，F(1，2)，G(3，4)．

小专题(五) 教材P89T12的变式与应用

教材母题：(教材P89T12)如图，△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，图中的哪

两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？

解：∵△ABC，△ADE均是顶角为42°的等腰三角形，

∴∠BAC＝∠DAE＝42°，AB＝AC，AD＝AE.

∵∠BAD＝∠BAC－∠DAC，∠CAE＝∠DAE－∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE.



AB＝AC，

在△ABD和△ACE中，



∠BAD＝∠CAE，



AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴△ABD与△ACE可通过旋转相互得到，

△ABD以点A为旋转中心，逆时针旋转42°，使△ABD与△ACE重合．

1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形．

第 83 页共 175 页

(1)求证：BD＝CE；

(2)△ABD可以看作是由△ACE逆时针旋转90°得到的．

证明：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°.

∴∠BAD＝∠CAE.



AB＝AC，

在△BAD和△CAE中，



∠BAD＝∠CAE，



AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE(SAS)．

∴BD＝CE.

2．如图，点P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5.线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ.

(1)求PQ的长．

(2)求∠APB的度数．

解：(1)∵AP＝AQ，∠PAQ＝60°

∴△APQ是等边三角形．

∴PQ＝AP＝4.

(2)连接QC.

∵△ABC，△APQ都是等边三角形，

∴∠BAC＝∠PAQ＝60°.

∴∠BAP＝∠CAQ＝60°－∠PAC.



AB＝AC，

在△ABP和△ACQ中，



∠BAP＝∠CAQ，



AP＝AQ，

∴△ABP≌△ACQ(SAS)．

∴BP＝CQ＝3，∠APB＝∠AQC.

∵在△PQC中，PQ

＋CQ

＝PC

，

∴△PQC是直角三角形，且∠PQC＝90°.

∵△APQ是等边三角形，

∴∠AQP＝60°.

∴∠APB＝∠AQC＝60°＋90°＝150°.

3．如图1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝AC，AD＝AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转

一定角度，连接BD，CE，得到图2，将BD，CE分别延长至M，N，使DM＝BD，EN＝CE，得到图3，请解答

下列问题：

第 84 页共 175 页

(1)在图2中，BD与CE的数量关系是BD＝CE；

(2)在图3中，判断△AMN的形状，及∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．

解：△AMN为等腰三角形，∠MAN＝∠BAC.

证明：易证△BAD≌△CAE，

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.

又∵DM＝BD，EN＝CE，

∴BM＝CN.



在△ABM和△ACN中，



∠ABM＝∠ACN，



BA＝CA，

∴△ABM≌△ACN(SAS)．

∴AM＝AN，∠BAM＝∠CAN，即∠BAC＋∠CAM＝∠CAM＋∠MAN.

∴△AMN为等腰三角形，∠MAN＝∠BAC.

3.3 中心对称

01 基础题

知识点1 中心对称的有关概念及性质

1．下列说法正确的是(B)

A．全等的两个图形一定成中心对称

B．关于某个点中心对称的两个图形一定全等

C．关于某个点中心对称的两个图形不一定全等

D．不全等的两个图形有可能关于某点中心对称

2．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列说法不正确的是(B)

BM＝CN，

A．∠ABC＝∠A′B′C′

B．∠BOC＝∠B′A′C′

C．AB＝A′B′

D．OA＝OA′

3．如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有(C)

A．1组 B．2组

第 85 页共 175 页

C．3组 D．4组

4．如图，线段AB和CD关于点O中心对称，若∠B＝40°，则∠D的度数为40°．

5．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转180°后得到的，那么△ABC与△ADE关于A点中心对称，A点叫做对

称中心．

6．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称．如果小明家距学校2公里，那么他们两家相距4公里．

知识点2 画中心对称的图形

7．如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A′B′C′D′.

解：四边形A′B′C′D′如图所示．

知识点3 中心对称图形

8．(2017·陕西师范大学附属中学期中)下列四个图形中是中心对称图形的是(D)

9．(2017·成都)下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(D)

10．(2017·玉林)五星红旗上的每一个五角星(A)

A．是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．是中心对称图形，但不是轴对称图形

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形

D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

11．请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称：正方形(答案不唯一)．

02 中档题

12．(2017·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原

来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是(C)

第 86 页共 175 页

A．① B．② C．③ D．④

13．如图是一个以点O为对称中心的中心对称图形，若∠A＝30°，∠C＝90°，OC＝1，则AB的长为(A)

A．4 B.

2343

C. D.

14．如图，△ABC与△DEF关于O点中心对称，则线段BC与EF的关系是平行且相等．

15．(2017·平顶山市宝丰县期中)如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.

求证：DF＝BE.

证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，

∴OB＝OD，OA＝OC.

∵AF＝CE，

∴OF＝OE.

在△DOF和△BOE中，



OD＝OB，



∠DOF＝∠BOE，



OF＝OE，

∴△DOF≌△BOE(SAS)．

∴DF＝BE.

16．如图，正方形ABCD与正方形A

关于某点中心对称，已知A，D

，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，

(0，2)．

(1)求对称中心的坐标；

(2)写出顶点B，C，B

，C

的坐标．

第 87 页共 175 页

解：(1)根据中心对称的性质，可得：对称中心是D

D的中点．

∵点D

，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，

∴对称中心的坐标是(0，2.5)．

(2)∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，

∴正方形ABCD与正方形A

的边长都是4－2＝2.

∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．

∵A

＝2，点D

的坐标是(0，3)，

∴点A

的坐标是(0，1)．

∴点B

，C

的坐标分别是(2，1)，(2，3)．

综上可得：顶点B，C，B

，C

的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)，(2，1)，(2，3)．

03 综合题

17．如图，已知四边形ABCD.

(1)画出四边形A

，使四边形A

与四边形ABCD关于直线MN对称；

(2)画出四边形A

，使四边形A

与四边形ABCD关于点O中心对称；

(3)四边形A

与四边形A

成轴对称或中心对称吗？若是，请在图上画出对称轴或对称中心．

解：(1)(2)如图所示．

(3)四边形A

与四边形A

成轴对称，对称轴是直线EF，如图．

第 88 页共 175 页

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