2024年3月27日发(作者：衢州中考2017数学试卷)

2023-2024学年广东省深圳市高三上学期数学质量检测模拟试题

（一模）

一、选择题：本题共

8

小题，每小题

5

分，共

40

分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

2

1．已知集合

Mxxx20

，

Nxyx21x

，则

MN

（





）

2

A．

2,

B．

1,1

C．

2,1

）

C

．

1i

D．

1,2

2．已知复数z满足

1i

z1i

，则

z

（

A

．

i

B

．

i

D

．

1i



3．在平行四边形

ABCD

中，

G

为

ABC

的重心，满足

AGxAByAD

x,yR

，则

x2y

（）

A．

4

3

B．

5

3

C．0D．

1

）4．“

a3

”是“函数

f(x)(a2)x

2

2x

在

(1,+

)

上单调递增”的（

A

．充分不必要条件

C

．充要条件

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

5

2



5．二项式

x

2

展开式的常数项为

x



A

．

80

B

．

16

C

．

80D

．

16

6．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是

1

℃

，空气的温度是

0

℃

，则

tmin

后物体

kt

的温度

℃

满足公式

0

(

1

0

)e

（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.

某天小明同学将温度是

80℃

的牛奶放在

20℃

空气中，冷却

2min

后牛奶的温度是

50℃

，则下列说法

正确的是（

A

．

kln2

B

．

k2ln2

C

．牛奶的温度降至

35℃

还需

4min

D

．牛奶的温度降至

35℃

还需

2min

x

2

y

2

7．已知

F

1

，

F

2

分别是椭圆

C

:

2

2

1

（

a

b

0

）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，

ab





且

MF

1

2F

1

N

，

MF

2

MN0

，则椭圆

C

的离心率为（）

）

A．

3

4

B．

2

3

C．

5

3

D．

7

4

8

．已知三棱锥

PABC

的四个顶点在球

O

的球面上，点

D,E

分别是

PB,BC

的中点，

PA3,PDDE2

，

PE22,AD13,AE17

，则（）

A．三棱锥

PABC

的体积为16

C．球

O

的表面积为

164π

B．三棱锥

PABC

的表面积为

2034

D．球

O

的体积为

4141

π

6

二、选择题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得

5

分，部分选对的得

2

分，有选错的得

0

分．

9

．某校为了解学生体能素质，随机抽取了

100

名学生进行体能测试，并将这

100

名学生成绩整理

得如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（）

A

．图中

a=0.012

B

．这

100

名学生中成绩在

[50

，

70

）内的人数为

50

C

．这

100

名学生成绩的中位数为

70

D

．这

100

名学生的平均成绩为

68.2

（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）

π

π

10．已知函数

f

x

sin

x

0,

的最小正周期是

π

，把它图象向右平移个单位后

2

3

得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（

A．函数

f

x

的图象关于直线

x

5π

对称

12

）

π

B．函数

f

x

的图象关于点

,0

对称

12

π



π

π3π

C．函数

f

x

在区间

,

上单调递减D．函数

f

x

在

,

上有3个零点

212



42

11．设抛物线C：

y

2

8x

的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，

E(3,1)

为定点，则下列结

论正确的是（）

B

．

|ME||MF|

的最大值为

2

D

．以线段

MF

为直径的圆与

y

轴相切

）

A

．准线

l

的方程是

x2

C

．

|ME||MF|

的最小值为

7

12

．已知正四面体

PABC

的棱长为

2

，下列说法正确的是（

A

．正四面体

PABC

的外接球表面积为

6π

B

．正四面体

PABC

内任意一点到四个面的距离之和为定值

C．正四面体

PABC

的相邻两个面所成二面角的正弦值为

1

3

D

．正四面体

QMNG

在正四面体

PABC

的内部，且可以任意转动，则正四面体

QMNG

的体

积最大值为

22

81

三、填空题：本题共

4

小题，每小题

5

分，共

20

分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．记

S

n

为等差数列

a

n

的前n项和，若

a

4

a

5

24

，

S

6

48

，则

a

n

的公差为．

π

π



14．已知

sin

cos

3cos

sin

，则

tan

6

6



.

．

3

15．函数

f

x

ax6x

的一个极值点为1，则

f

x

的极大值是

222

16．已知

eO

1

:x

2

y2

1

，

eO

2

:

x3

y6

9

，过x轴上一点P分别作两圆的切线，

切点分别是M，N，当

PMPN

取到最小值时，点P坐标为.

四、解答题：本题共

6

小题，共

70

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在

ABC

中，

AC2,AB6

，D为

BC

中点.

(1)

若

AD2

，求

BC

；

(2)若

BAD

π

，求

sinDAC

的值.

4

18

．西梅以

“

梅

”

为名，实际上不是梅子，而是李子，中文正规名叫

“

欧洲李

”

，素有

“

奇迹水果

”

的

美誉

.

因此，每批西梅进入市场之前，会对其进行检测，现随机抽取了

10

箱西梅，其中有

4

箱测

定为一等品

.

(1)

现从这

10

箱中任取

3

箱，求恰好有

1

箱是一等品的概率；

(2)

以这

10

箱的检测结果来估计这一批西梅的情况，若从这一批西梅中随机抽取

3

箱，记

表示抽

到一等品的箱数，求

的分布列和期望

.

19．如图，在四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，底面

ABCD

和侧面

ABB

1

A

1

均为矩形，

AB2

，

BC6

，

BB

1

23

，

A

1

C4

.

(1)求证：

A

1

DDC

；

(2)求

AC

1

与平面

BAA

1

B

1

所成角的正弦值.

log

2

a

n

,

n

为奇数

a0

a

a

20．已知数列

n

满足

1

，

n

1

a

n

2

2,

n

为偶数

(1)判断数列

a

2n

1

是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

(2)若数列

a

n

的前10项和为361，记

b

n

1

(log

2

a

2

n

1

)

a

2

n

2

，数列

b

n

的前n项和为

T

n

，求证.

T

n

7

16

3

x

2

y

2

21．已知双曲线



1

与直线

l

:

ykxm

(

k

)

有唯一的公共点M.

2

49

(1)若点

N

2,9

在直线l上，求直线l的方程；

(2)过点M且与直线l垂直的直线分别交x轴于

A(x

1

,0)

，y轴于

B(0,y

1

)

两点.是否存在定点G，H，

使得M在双曲线上运动时，动点

P(x

1

,y

1

)

使得

PGPH

为定值.

22．已知函数

f

x

xlnx

.

(1)讨论

f

x

的单调性；

(2)若两个不相等的正实数a，b满足

f

a

f

b

，求证：

ab1

；

(3)若

ππ

，求证.

f(cos

)f

sin

42

1

．

A

【分析】求出集合

M

、

N

，利用并集的定义可求得集合

MN

.

x

2

0

2

Mxxx201,2

N

xy

x

2

1

x



，

，【详解】由

x



2,1

1

x

0









故

MN

2,2

.

故选：

A.

2

．

B

【分析】利用复数的除法化简计算即可

.

【详解】由

1i

z1i

，

1

i(1

i)

2

1

2i+i

2

则

z



i

.

1

i22

故选：

B.

3

．

A

【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得

答案

.

【详解】如图，设

AC

与

BD

相交于点

O

，

G

为

ABC

的重心，

可得

O

为

BD

的中点，

BG2GO

，



1



1



1



1



AGAOOGAOOBAODBABADABAD

所以

3626

1



2



ABAD

，

33



因为

AGxAByAD

x,yR

，



所以

x

214

21

,

y

，则

x

2

y

2



.

33

333

故选：

A.

4

．

A

【分析】判断命题“

a3

”和“函数

f(x)(a2)x

2

2x

在

(1,+

)

上单调递增”之间的逻辑推理关

系，即可判断出答案

.

【详解】当

a3

时，

a21

，对于函数

f(x)(a2)x

2

2x

，其图象对称轴为

x

则函数

f(x)(a2)x

2

2x

在

(1,+

)

上单调递增，

当

a=3

时，

f(x)x

2

2x

图象对称轴为

x=1

，故函数在

(1,+

)

上单调递增，

即“函数

f(x)(a2)x

2

2x

在

(1,+

)

上单调递增”推不出“

a3

”成立，

故“

a3

”是“函数

f(x)(a2)x

2

2x

在

(1,+

)

上单调递增”的充分不必要条件，

故选：

A.

5

．

C

【详解】

T

r

1

C

(

x

)(

6

．

D

【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可

.

2

t

kt

【详解】由

0

(

1

0

)e

，得

50

20

80

20

e

，

r

5

2

r

1

1

，

a

2

2

x

)

5

r

C

(

2)

r

5

5

r

x

5

r

5

2

23

,当

r1

时，

T

2

C

5

(2)80

．选C.

1

故

k

ln2

，AB错误；

2

1

又由

3520(8020)e

kt

，

k

ln2

，得

t4

，

2

故牛奶的温度从

80℃

降至

35℃

需

4min

，

从

50℃

降至

35℃

还需

422min

.

故选：

D

7

．

C

【分析】设

NF

1

n

，结合椭圆的定义，在

Rt△MNF

2

中利用勾股定理求得

n

利用勾股定理求得

36c

2

20a

2

，可求椭圆

C

的离心率

.

【详解】连接

NF

2

，设

NF

1

n

，则

MF

1

2n

，

MF

2

2a2n

，

NF

2

2an

，

a

，

Rt△MF

1

F

2

中

3

在

Rt△MNF

2

中

MNMF

2

NF

2

，即

3n

2a2n

2an

，

222

222

9n

2

4a

2

8an4n

2

4a

2

4ann

2

，

12n

2

4an

，

n

MF

1

2

a

4

a

，

MF

2

，

33

22

a

，

3

在

Rt△MF

1

F

2

中，

MF

1

MF

2

2

36c

2

20a

2

，

e

4

a

2

16

a

2

F

1

F

2

，即

4

c

，

99

2

2

205

5

，又

e

0,1

，

e

.

369

3

故选：

C.

8

．

D

【分析】先根据题中给出的

PA,PD,PE,AD,AE

的长度，可知

PAPB

，

PAPE

，继而

PA

平

面

PBC

；再根据数量关系证明

PBPC

，进而可构造出包含三棱锥的长方体，从而可求出三棱锥

的体积和表面积，根据三棱锥的外接球也是长方体的外接球，从而求得外接球表面积和体积

.

【详解】由

PA3,PD2

，

PE22,AD13,AE17

，

得

PA

2

PD

2

AD

2

，

PA

2

PE

2

AE

2

，可得

PAPB

，

PAPE

，

又

PBPEP

，

PB

平面

PBC

，

PE

平面

PBC

，所以

PA

平面

PBC

，

又

PC

平面

PBC

，所以

PAPC

，

因为

D

，

E

分别是

PB

，

BC

的中点，且

PDDE2

，所以

PC4

，

PB4

，

又

PE22

，所以

BC2BE42

，有

PB

2

PC

2

BC

2

，得

PBPC

，

故

PA,PB,PC

两两互相垂直，故可将三棱锥

PABC

放在长方体中，如图：

则三棱锥外接球的直径等于该长方体的对角线，设其外接球

O

的半径为

R

，

则

2R

3

2

4

2

4

2

41

，所以

R

球

O

的体积为

2

41

，所以球

O

的表面积为

4πR

2

41π

，

2

4π

3

4141

R

π

，故选项C错误，D正确.

36

111

三棱锥

PABC

的体积为

S

PBC

PA

4

4

3

8

，

332

在

ABC

中，

ABAC3

2

4

2

5

，点

E

分别是

BC

的中点，

则

ABC

的高

AE17

，所以

S

ABC

三棱锥

PABC

的表面积为

S

PBC

S

PAC

S

PAB

S

ABC

11

BCAE

42

17

234

，

22

111

4

4



4

3



4

3

234

20

234

，

222

故选项

AB

错误

.

故选：

D.

9

．

AD

【分析】根据频率直方图所有小矩形面积之和为

1

，结合平均数、中位数的性质用逐一判断即可

.

【详解】由频率分布直方图，

0.0082a0.0220.032

101

，得

a0.012

，A正确；

这100名学生中成绩在

50,70

内的频率为

(0.020.032)100.52

，

所以人数为

52

，

B

错误；

根据此频率分布直方图，可得这100名学生成绩的中位数在

60,70

之间，C错误；

根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：

x450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2

，

D

正确．

故选：

AD

．

10

．

AC

π



【分析】根据周期及奇函数的性质求出

f

x

sin

2

x

，再利用正弦函数性质逐项判断即可.

3



π

2π

2

，【详解】因为函数

f

x

sin

x

0,

的最小正周期是

π

，所以

2

π

则

f

x

sin

2x

，

把它图象向右平移

2π

π

个单位后得到的图象所对应的函数为

y

sin

2

x

，

3

3

2π

2π

2π

k

π

，

kZ

，即

k

π

，

kZ

，

因为

y

sin

2

x

为奇函数，所以

3

3

3

π

π

π

因为

，所以

k1

，



，所以

f

x

sin

2

x

，

3

3

2

5π

5π



5ππ

1

，所以函数

f

x

的图象关于直线

x

对于A，

f



sin

2

对称，故A正确；

12

12



123

ππ

1

π



π

对于B，

f



sin

2



sin



0

，

2

12



123



6

π

所以函数

f

x

的图象不关于点

,0

对称，故B错误；

12

π

π

4ππ



3ππ



π

对于C，当

x

,

时，

2

x



,

,

，

3

32



22



212

3ππ

函数

ysinx

在

,

上单调递减，

2



2

π



π

所以函数

f

x

在区间

,

上单调递减，故C正确；

212

π

k

ππ

π

,

k

Z

，对于D，由

f

x

sin

2

x

0

，得

2

xk

π

，即

x

3

3

26



π

k

ππ3π18



令

，解得

k

，又

k

Z

，所以

k1

或

k2

，

426263

2π7π

π3π

所以函数

f

x

在

,

上有2个零点，分别为，，故D错误.

36

42

故选：

AC.

11

．

AD

【分析】根据抛物线方程求得直线方程，结合三角形的知识求得

|ME||MF|

的最大值，结合抛

物线的定义求得

|ME||MF|

的最小值以及判断出以线段

MF

为直径的圆与

y

轴相切

.

【详解】由题意得

p4

，则焦点

F(2,0)

，准线l的方程是

x

p



2

，故A正确；

2

|ME||MF||EF|(32)

2

(10)

2

2

，

当点

M

在线段

EF

的延长线上时等号成立，∴

|ME||MF|

的最大值为

2

，故

B

错误；

如图所示，过点

M

，

E

分别作准线

l

的垂线，垂足分别为

A

，

B

，

则

|ME||MF||ME||MA||EB|5

，当点

M

在线段

EB

上时等号成立，

∴

|ME||MF|

的最小值为

5

，故

C

不正确；

设点

M

x

0

,

y

0

，线段

MF

的中点为D，则

x

D

∴以线段

MF

为直径的圆与

y

轴相切，

D

正确

.

故选：

AD

x

0

2

|

MF

|

，

22

12

．

ABD

【分析】根据正四面体的外接球、内切球、体积以及二面角等知识对选项进行分析，从而确定正

确答案

.

【详解】

A.

棱长为

2

的正四面体

PABC

的外接球与棱长为

2

的正方体的外接球半径相同，

设为R，则：

2R6

，所以

S4πR

2

6π

，所以A对.

B.设正四面体

PABC

内任意一点到四个面的距离分别为

d

1

，

d

2

，

d

3

，

d

4

，

11

设正四面体

PABC

的高为d，由等体积法可得：

S

(

d

1

d

2

d

3

d

4

)

Sd

，

33

所以

d

1

d

2

d

3

d

4

d

为定值，所以B对.

C.

设

BC

中点为

D

，连接

PD

，

AD

，则

ADBC,PDBC

，

则

PDA

为所求二面角的平面角，

AP2,PDAD3

，

2

3

3

41

1

22

，所以正弦值为

1



=

所以

cos

PDA

，所以C错.

63

3

3

D.

要使正四面体

QMNG

在四面体

PABC

的内部，且可以任意转动，

则正四面体

QMNG

的外接球在四面体

PABC

内切球内部，

当正四面体

QMNG

的外接球恰好为四面体

PABC

内切球时，

正四面体

QMNG

的体积最大值，

1

由于正四面体的外接球与内切球半径之比为，

3

所以正四面体

QMNG

的外接球半径为

616

，

=

236

2

6

2

a

2

a

设正四面体

QMNG

的边长为a，则

3

，所以

，

2

6

3



故体积

V

2

3

22

，所以D对.

a

1281

故选：

ABD

13

．

4

【分析】由

S

6

48

得到

a

1

a

6

16

①，再利用等差数列的性质可得

a

1

a

8

a

4

a

5

24

②，②—①

即可得到答案

.

【详解】设等差数列

a

n

的公差为

d

，由等差数列前n项和公式得，

S

6

即

a

1

a

6

16

，又

a

1

a

8

a

4

a

5

24

，所以

(a

1

a

8

)(a

1

a

6

)2d8

，

解得

d4

.

故

4

本题主要考查等差数列前

n

项和公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题

.

14

．

3

【分析】利用弦切互化和两角和的正切公式求解即可

.

6(

a

1

a

6

)

48

，

2

π

π

π



【详解】因为

sin

cos

3cos

sin

，所以

tan

3tan

，所以

6

6

6



tan

3tan

3

，

3

1

tan

3

所以

tan

2

23tan

30

，即

tan

3

故答案为

.

3

15

．

4



2

0

，所以

tan

3

.

【分析】由极值点定义得到

f

1

0

，求出

a2

，进而得到

x1

或

x1

时，

f

¢

(

x

)

>

0

，

1x1

时，

f

x

0

，得到函数单调性和极大值.

3

【详解】

f

x

ax6x

定义域为R，

f

x

3ax

2

6

，由题意得，

f

1

3a60

，解得

a2

，

2

故

f

x

6x6

，

令

f

x

0

，解得

x1

，


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