高中数学平面向量知识点总结及常见题型

2024年3月6日发(作者：高中一诊数学试卷答案)

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量

一、向量的基本概念与基本运算

1.向量的概念：

向量是既有大小又有方向的量。向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

② 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③ 单位向量：模为1个单位长度的向量。向量a为单位向量｜a｜＝1.

④ 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为ab。大小相等，方向相同(x1,y1)

2.向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB则a+b=AB

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

BC=AC。

a，BCb，(x2,y2)x1x2，y1y2.

1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB

3.向量的减法

① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.

a。零向量的相反向量仍是零向量。

BCCD…+PQQRAR，但这时必须“首尾相连”。

iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.

向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

作图法：a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。

实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）|λa|=|λ|·|a|；（Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线当且仅当有且只有一个实数λ，使得b=λa。

平面向量的基本定理：如果e1、e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

特别注意：（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=x·i+y·j，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。

向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。

平面向量的坐标运算：（1）若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a±b=(x1±x2,y1±y2)；（2）若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1)。

1.向量的基本运算

向量的基本运算包括向量的加减法、数与向量的乘积，以及向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质。

1.1 向量的加减法

向量的加减法有平行四边形法则和三角形法则两种方法。平行四边形法则表示向量a和向量b的和为a+b，而三角形法

则表示向量a和向量b的和为以它们为邻边的平行四边形的对角线。

1.2 向量的乘法

向量的乘法包括数与向量的乘积和向量的数量积。数与向量的乘积指的是将一个实数与一个向量相乘，结果是一个方向不变，长度为原向量长度的实数倍的向量。向量的数量积是两个向量的乘积，其结果是一个实数。向量的数量积满足交换律、分配律和结合律。

2.平面向量的数量积

平面向量的数量积是两个向量的乘积，其结果是一个实数。已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则a·b=|a|·|b|cosθ。向量b在a方向上的投影为|b|cosθ，射影的绝对值称为向量b在a方向上的投影。向量的模与平方的关系为a·a=a^2=|a|^2.乘法公式成立：(a+b)·(a-b)=a^2-b^2.

3.改写后的文章

向量是在空间中有大小和方向的物理量，它们可以进行基本的加减法、数与向量的乘积，以及向量的数量积等运算。向

量的加减法有平行四边形法则和三角形法则两种方法，分别表示向量a和向量b的和为a+b，以及以它们为邻边的平行四边形的对角线。向量的乘法包括数与向量的乘积和向量的数量积，其中数与向量的乘积结果为一个方向不变、长度为原向量长度的实数倍的向量，而向量的数量积则是两个向量的乘积，其结果为一个实数，满足交换律、分配律和结合律。

平面向量的数量积是两个向量的乘积，其结果为一个实数。已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则a·b=|a|·|b|cosθ。向量b在a方向上的投影为|b|cosθ，射影的绝对值称为向量b在a方向上的投影。向量的模与平方的关系为a·a=a^2=|a|^2.乘法公式成立：(a+b)·(a-b)=a^2-b^2.

apm 2ab+b=a^2pm b$

平面向量的数量积有以下运算律：

①交换律成立：$acdot b=bcdot a$

②对实数的结合律成立：$(lambda a)cdot

b=lambda(acdot b)=acdot(lambda b)$

③分配律成立：$(apm b)cdot c=acdot cpm bcdot c$

特别注意：

1）结合律不成立：$acdot (bcdot c)neq (acdot b)cdot c$

2）消去律不成立：$acdot b=acdot c$不能得到$b=c$

3）$acdot b=0$不能得到$a=0$或$b=0$

两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$，则$acdot

b=x_1x_2+y_1y_2$

向量的夹角：已知两个非零向量$a$与$b$，作$overrightarrow{OA}=a,overrightarrow{OB}=b$，则$angle

AOB=theta$（$0leq theta leq 180$）叫做向量$a$与$b$的夹角。

cos theta=cos angle(a,b)=dfrac{acdot b}{|a|cdot

|b|}=dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{sqrt{x_1^2+y_1^2}sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

当且仅当两个非零向量$a$与$b$同方向时，$theta=0$，当且仅当$a$与$b$反方向时$theta=180$，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

垂直：如果$a$与$b$的夹角为$90$，则称$a$与$b$垂直，记作$aperp b$

两个非零向量垂直的充要条件：$aperp biff acdot b=0iff

x_1x_2+y_1y_2=0$

题型1.基本概念判断正误：

1）共线向量就是在同一条直线上的向量。正确。

2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。错误，相等的向量终点可以重合。

3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。错误，与已知向量共线的单位向量有两个。

4）四边形ABCD是平行四边形的条件是$AB=CD$。错误，四边形$ABCD$是平行四边形的条件是$ABparallel

CD$且$ADparallel BC$。

5）若$AB=CD$，则$A$、$B$、$C$、$D$四点构成平行四边形。错误，还需要满足$ABparallel CD$且$ADparallel

BC$。

6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。错误，数轴是一个有向直线，不是向量。

7）若$a$与$b$共线，$b$与$c$共线，则$a$与$c$共线。正确。

8）若$ma=mb$，则$a=b$。错误，只能得到$a$与$b$共线。

9）若$ma=na$，则$m=n$。正确。

10）若$a$与$b$不共线，则$a$与$b$都不是零向量。正确。

11）若$acdot b=|a|cdot |b|$，则$aparallel b$。正确。

12）若$|a+b|=|a-b|$，则$aperp b$。错误，应该是$aparallel b$。

题型2.向量的加减运算

1.设$a$表示“向东走$8$km”，$b$表示“向北走$6$km”，则$|a+b|=sqrt{(8+0)^2+(0+6)^2}=10$km。

2.化简$(AB+MB)+(BO+BC)+OM=AB+BC+2OM$。

1.已知向量OA的模长为5，向量OB的模长为3，则向量AB的最大值为8，最小值为2.

2.已知AC为向量AB和向量AD的和，且AC=a，BD=b，则AB=AC-BD=a-b，AD=AC-AB=a-(a-b)=b。

3.(1) 3(a+b)-2(a+b)=a+b；(2) 2(2a+5b-3c)-3(-2a+3b-2c)=8a+19b-4c。

4.已知向量a和b，如图所示，请作出向量3a+5b，则AC=BC，AB=BC=b。

5.(1) 已知在三角形ABC中，D是BC的中点，则AD=1/2(AB+AC)；(2) 已知AC=a，BD=b，则AB=AC-BD=a-b，AD=AC+BD=a+b。

6.(1) 已知向量AB=(4,5)，A=(2,3)，则点B的坐标为(6,8)；(2) 已知向量PQ=(-3,-5)，P=(3,7)，则点Q的坐标为(0,2)；(3)

合力的坐标为F=F1+F2+F3=(-6,-1)；(4) a+b=(2,6)，a-b=(-8,2)，

3a-2b=(-21,2)；(5) 联立方程得x=1，y=1；(6)

DA=DC+CA+AB=(-1,4)；(7) 已知AB=(2,3)，BC=(m,n)，CD=(-1,4)，则DA=AC+CD+DA=(m-3,n+1)。

7.(1) 可以构成一组基底；(2) 不能构成一组基底；(3) 可以构成一组基底；(4) 不能构成一组基底。

8.(1) 已知向量OA的模长为2，与x轴的夹角为30度，则OA的坐标为(√3,1)；(2) 已知向量OA的模长为43，与x轴的夹角为60度，则OA的坐标为(21.5,37.2)。

9.(1) a·b=6；(2) a·(a+b)=27；(3) (a-b)·(a+b)=9，所以a·b=6，a·(a+b)=27，b·(a+b)=18.

1.已知四边形ABCD，其中ABADBC，求证：ABCD是菱形.

2.已知四边形ABCD，其中ABBC，ABCDBC，求证：ABCD是矩形.

3.已知四边形ABCD，其中ABCD，ABACBD，求证：ABCD是正方形.

4.已知四边形ABCD，其中ABCD，ADACBD，求证：ABCD是平行四边形.

5.已知三角形ABC，其中ABBC2，求证：ABC是等腰三角形.

AC，角BAC100°，BC，CD，BC，CD，ACBD，

1.若AB = 3e，CD = -5e，且|AD| = |BC|，则四边形的形状是什么。

2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形。

证明：首先，我们可以根据AB和DC的斜率相等来证明AB || DC。AB的斜率为(3-0)/(4-1) = 1，DC的斜率为(4-2)/(2-0)

= 1，因此AB || DC。

其次，我们可以根据AD和BC的斜率相等来证明AD ||

BC。AD的斜率为(2-0)/(0-1) = -2，BC的斜率为(4-3)/(2-1) = 1，因此AD || BC。

由于AB || DC且AD || BC，因此四边形ABCD是梯形。

3.已知A(-2,1)，B(6,-3)，C(0,5)，求证：ΔABC是直角三角形。

证明：首先，我们可以计算出AB、AC和BC的长度分别为√52、√41和√98.

其次，我们可以计算出AB的斜率为(-3-1)/(6-(-2)) = -1/2，AC的斜率为(5-1)/(0-(-2)) = 2，BC的斜率为(-3-5)/(6-0) = -4/3.

由于AB和AC的斜率的乘积为(-1/2)×2 = -1，因此AB和AC垂直，即∠BAC为直角。

因此，ΔABC是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内，OA = (-1,8)，OB = (-4,1)，OC =

(1,3)，求证：ΔABC是等腰直角三角形。

证明：首先，我们可以计算出AB、AC和BC的长度分别为√82、√65和√170.

其次，我们可以计算出AB的斜率为(1-8)/(-4-(-1)) = 7/3，AC的斜率为(3-8)/(1-(-1)) = -5/2，BC的斜率为(3-1)/(1-(-4)) =

2/5.

由于AB和BC的斜率相等，因此AB和BC平行，且ABBC为矩形。又因为∠ABC为直角，因此ΔABC是等腰直角三角形。

5.已知a = (1,0)，b = (2,1)，当k为何值时，向量ka-b与a+3b平行？

向量ka-b = (k-2,-1)，a+3b = (7,3)。

由于向量ka-b与a+3b平行，因此它们的方向相同，即它们的比值相等。即：

k-2)/7 = -1/3

解得k = 5/3.

因此，当k = 5/3时，向量ka-b与a+3b平行。

6.已知a = (3,5)，且a⊥b，|b| = 2，求b的坐标。

由于a⊥b，因此a·b = 0，即：

3x + 5y = 0

又因为|b| = 2，因此b的长度为2.设b = (x,y)，则有：

x^2 + y^2 = 4

解得y = ±√(4-x^2)。

将y代入3x+5y=0中，解得x = ±6/√34.

因此，b的坐标为(6/√34,-10/√34)或(-6/√34,10/√34)。

7.已知a与b同向，b = (1,2)，则a·b = 10，求a的坐标。

设a = (x,y)，则有：

a·b = x + 2y = 10

又因为a与b同向，因此存在k>0，使得a = kb。代入上式，解得k = 5，即a = (5,10)。

因此，a的坐标为(5,10)。

8.已知a = (1,2)，b = (3,1)，c = (5,4)，则c = a+b。

9.已知a = (5,10)，b = (-3,-4)，c = (5,0)，请将用向量a,b表示向量c。

c = (c1,c2) = ma + nb，其中m和n为待定系数。

联立方程组：

5m - 3n = c1

10m - 4n = c2

解得m = (4c1-2c2)/26，n = (5c2-5c1)/26.

因此，用向量a,b表示向量c的表达式为：

c = ((4c1-2c2)/26) a + ((5c2-5c1)/26) b

10.已知a = (m,3)，b = (2,-1)。

1) 若a与b的夹角为钝角，求m的范围。

由于a·b = m×2 + 3×(-1) = 2m-3，因此a与b的夹角为钝角时，有：

2m-3 ≤ 0

解得m ≤ 3/2.

因此，m的范围为(-∞,3/2]。

2) 若a与b的夹角为锐角，求m的范围。

由于a·b = m×2 + 3×(-1) = 2m-3，因此a与b的夹角为锐角时，有：

2m-3.0

解得m。3/2.

因此，m的范围为(3/2,∞)。

11.已知a = (6,2)，b = (-3,m)。

1) 当m为何值时，a与b的夹角为钝角？

由于a·b = 6×(-3) + 2×m = -16+2m，因此a与b的夹角为钝角时，有：

16+2m ≤ 0

解得m ≤ 8.

因此，当m ≤ 8时，a与b的夹角为钝角。

2) 当m为何值时，a与b的夹角为锐角？

由于a·b = 6×(-3) + 2×m = -16+2m，因此a与b的夹角为锐角时，有：

16+2m。0

解得m。8.

因此，当m。8时，a与b的夹角为锐角。

12.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(-1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，AB = 2CD，求点C的坐标。

设C的坐标为(x,y)。由于AB//DC，因此AB和DC的斜率相等，即：

4-2)/(3-(-1)) = (y-1)/(x-2)

解得y = 2x-3.

又因为AB = 2CD，因此AB和CD的长度之比为2，即：

3-(-1))^2 + (4-2)^2) / √((x-2)^2 + (y-1)^2) = 2

代入y = 2x-3，解得x = 7/5，y = 4/5.

因此，点C的坐标为(7/5,4/5)。

13.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(-1,3)，C(3,4)，求第四个顶点D的坐标。

由于ABCD是平行四边形，因此AD和BC平行，且AD

= BC。

设D的坐标为(x,y)。由于AD和BC平行，因此它们的斜率相等，即：

y-1)/(x-2) = (4-3)/(3-(-1))

解得y = x+3.

又因为AD = BC，因此它们的长度相等，即：

x-2)^2 + (y-1)^2) = √((-1-x)^2 + (3-y)^2)

解得x = 4/3，y = 7/3.

因此，点D的坐标为(4/3,7/3)。

14.一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度。

设水流速度为v，船的实际速度为u。由于船实际航行方向与水流方向成30°角，因此有：

u|sin30° = |v|

u|cos30° = 5

解得|u| = 10，|v| = 5√3.

因此，水流速度与船的实际速度分别为5√3 km/h和10

km/h。

15.已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)。

1) 若AB·AC = 0，求c的值。

AB的坐标为(-3,-4)，AC的坐标为(c-3,-4)。由于AB·AC =

0，因此有：

3,-4)·(c-3,-4) = 0

解得c = 9/2.

因此，c的值为9/2.

2) 若c = 5，求sinA的值。

由于AB = √(3^2+4^2) = 5，AC = √((5-3)^2+4^2) = 2√5，因此有：

AB·AC = 5×2√5×sinA

解得sinA = 2/√5.

因此，sinA的值为2/√5.

备用】

1.已知|a| = 3，|b| = 4，|a-b| = 5，求|a+b|和向量a,b的夹角。

设向量a和向量b的夹角为θ，则有：

a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|cosθ

代入已知条件，解得cosθ = -3/5.因此，sinθ = 4/5.

又因为：

a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ

代入已知条件，解得|a+b| = 2√29.

因此，|a+b|和向量a,b的夹角为arcsin(4/5)。

2.已知x = a+b，y = 2a+b，且|a| = |b| = 1，a⊥b，求x,y的夹角的余弦。

由于a⊥b，因此a·b = 0.又因为|a| = |b| = 1，因此有：

a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|cosθ

2a+b|^2 = 4|a|^2 + |b|^2 + 4|a||b|cosθ

解得cosθ = -3/5.

因此，x,y的夹角的余弦为cos(arccos(-3/5)) = -3/5.

3.

若向量a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a与b夹角为钝角，则λ的取值范围为多少？

解析：由向量的点乘公式可得，a·b=|a||b|cosθ，其中θ为a与b的夹角。因为a与b夹角为钝角，所以cosθ<0.又因为|a|=√(λ²+4)，|b|=√(9+25)=√34，所以有：

λ,2)·(-3,5)=-(λ×3+2×5)<0

解得λ>10/3或λ<-5/3，即λ的取值范围为(负无穷,-5/3)∪(10/3,正无穷)。

例：已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，c=(-1,-2)，则c=( )。

A。-a+b。B。-a-b。C。a-b。D。-2a

解析：直接相加减即可得c=-a-b，故选B。

例：已知M是△ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（ ）。

A。AM+MB+BC。B。AM+BM+CM

解析：重心M满足

3AM+AC。C。AB+BC+AC。D。