群在von Neumann代数上作用的自由和遍历性注记

2024年1月2日发(作者：五年级试卷数学试卷)

群在von Neumann代数上作用的自由和遍历性注记

赵勇;吴文明

【摘 要】In this article, we study the free and ergodic action of groups on

von Neumann algebras. By using the projections and the Iwasawa

decomposition of the group SL2((R)), we characterize the free action of a

countable discrete group on an abelian von Neumann algebra and show

that the action of SL2((R)) on the abelian von Neumann algebra A = {Mf :

f∈ L2((H), dXdy/y2)}induced by the rational action of the group on the

upper-half plane (H) is ergodic but not free.%本文研究了群在von Neumann代数上作用的自由性和遍历性问题.利用投影和群SL2(R)的Iwasawa分解,得到了可数离散群在交换von Neumann代数上作用的自由性的等价刻画,证明了SL2(R)在上半平面H上有理作用导出的SL2(R)在极大交换Yon Neumann代数A={Mf:f∈L2(H,dxdy/y2)}上的作用α是遍历的,但不是自由的.

【期刊名称】《数学杂志》

【年(卷),期】2011(031)004

【总页数】6页(P699-704)

【关键词】群SL2(R);自由性;遍历性;von Neumann代数

【作 者】赵勇;吴文明

【作者单位】西华师范大学数学与信息学院,四川南充637002;重庆师范大学数学与计算机科学学院,重庆400047

【正文语种】中 文

【中图分类】O152.6

所谓von Neumann代数是由作用在希尔伯特空间上的部分有界线性算子所形成的在弱算子拓扑下封闭的包含恒等算子的自伴代数.构造von Neumann代数有两种最基本的方法:群von Neumann代数方法和群测度构造方法（即交叉积）.

设G是一个局部紧群,µ是群G上的左Haar测度（如果G是可数离散群,则µ就是计数测度）.设L2(G,µ)是群G上关于µ平方可积的复值函数全体形成的集合,则L2(G,µ)在内积

下形成一个希尔伯特空间.对于任意g∈G,我们可以定义作用在L2(G,µ)上的线性算子Lg为(Lgf)(h)=f(g-1h),f∈L2(G,µ).称上述定义的群G在希尔伯特空间L2(G,µ)上的连续酉表示g→Lg为群G的左正则表示,称由算子族{Lg:g∈G}所生成的von

Neumann代数为群G的群von Neumann代数,并记为LG.

所谓群测度构造方法是指：给定局部紧群G以及群G在von Neumann代数A（作用在希尔伯特空间H上）的作用α,即α是从群G到A上自同构群的连续同态映射.在希尔伯特空间L2(G,µ)⊗H(=L2(G,H))上定义von Neumann代数A的忠实正规表示：

和群G 的连续酉表示λ(g)=I⊗Lg,g∈G.称由算子族Π(A)、λ(G)所生成的von

Neumann代数为von Neumann代数A在群G的α作用下的交叉积,记为A

oαG.由于任意A ∈ A 和g∈ G 有λ(g)Π(A)λ(g)∗= Π(αg(A))成立,因此 A oαG 等于算子族{Π(A)λ(g):A∈A,g∈G}的线性扩张在弱算子拓扑下的闭包.

设α是局部紧群G在交换von Neumann代数A上的作用,我们称作用α是自由的,如果对G的任意不含单位元的紧子集K和A中任意非零投影E,存在E的非零子投影F∈A使得Fαk(F)=0,k∈K.称作用α是遍历的,如果A在α下的不动点代数

AG={T∈A:αg(T)=T,g∈G}是平凡的,即AG=CI.如果群G在A上的作用α是自由和遍历的,则交叉积A oαG是个因子.从而,交叉积von Neumann代数的性质可以反映群G在A上作用的性质.

本文中,我们将首先给出可数离散群在交换von Neumann代数的作用自由性的一个等价刻画.随后,研究了由特殊线性群SL2(R)在上半复平面H={z=x+iy:y＞0}上的有理作用导出的群SL2(R)在交换von Neumann代数A={Mf:f∈L∞(H,dxdy/y2)}上的作用α的自由和遍历性质.我们证明了该作用α是遍历的,但不是自由的.

当群G是可数离散群时,G的紧子集都是有限集.此时,群作用的自由性有许多等价的描述.这里,我们有如下结果：

定理1 设G是可数离散群,A是交换von Neumann代数,α是G在A上的作用,则以下条件等价：

(1)群作用α是自由的;

首先证明αg(E)=E,如果不等,则有αg(E)E≤E.此时有两种可能,当αg(E)E＜E时,令F=E−αg(E)E,则0＜F＜E是个非零的子投影,而

根据反设,我们知道E的任意子投影F也满足反设中的条件,因此类似地可以证明αg(F)=F.故断言得证.

由于von Neumann代数是由其投影格生成,因此α限制在EA上是恒等映射.因此对任意的B∈A有,

但E 6=0,这与条件(3)矛盾.因此条件(2)成立.

在相差正常数的意义下,dµ=dxdy/y2是H上在群SL2(R)的有理作用下保持不变的唯一测度,称之为双曲测度.从而可以定义群SL2(R)在希尔伯特空间L2(H,dxdy/y2)上的酉表示.对任意g∈SL2(R),定义作用在希尔伯特空间L2(H,dxdy/y2)上的酉算子U(g)为

【相关文献】

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