不等式的解集求解方法

2024年3月13日发(作者：2018鼓楼中考数学试卷)

不等式的解集求解方法

不等式是数学中常见的一个概念，它描述了数与数之间的大小关系。

在数学中，我们常常需要求解不等式的解集，以确定变量的取值范围。

本文将介绍几种常见的不等式的解集求解方法。

一、一元一次不等式

一元一次不等式是一元变量的一次方程与不等式的结合体，通常形

式为ax + b > 0（或< 0）。

求解一元一次不等式的步骤如下：

1. 将不等式化为等式：ax + b = 0。

2. 求解方程ax + b = 0的解集，得到解x0。

3. 根据x0的位置及a的正负情况，确定不等式的解集。若a > 0，

则解集为x > x0；若a < 0，则解集为x < x0。

举例说明：

对于不等式2x + 3 > 0，我们可以按照以上步骤进行求解。

1. 将不等式化为等式：2x + 3 = 0，得到x = -3/2。

2. 方程2x + 3 = 0的解集为{-3/2}，即x0 = -3/2。

3. 由于a = 2 > 0，根据a的正负情况，不等式的解集为x > -3/2。

二、一元二次不等式

一元二次不等式是一元变量的二次方程与不等式的结合体，通常形

式为ax² + bx + c > 0（或< 0）。

求解一元二次不等式的步骤如下：

1. 求出二次函数f(x) = ax² + bx + c的顶点坐标(-p,q)。

2. 根据a的正负情况，确定不等式的解集。若a > 0，则解集为x < -

p或x > -p；若a < 0，则解集为-p < x < +∞或x < -∞或x > +∞。

举例说明：

对于不等式x² - 4x + 3 < 0，我们可以按照以上步骤进行求解。

1. 求出二次函数f(x) = x² - 4x + 3的顶点坐标。首先求出顶点的横坐

标x = -b/2a = -(-4)/(2*1) = 2。将x = 2代入函数中，得到纵坐标y = f(2)

= 2² - 4*2 + 3 = -1。所以顶点坐标为(-2,-1)。

2. 由于a = 1 > 0，根据a的正负情况，不等式的解集为-∞ < x < 2或

x > 2。

三、绝对值不等式

绝对值不等式是包含绝对值的不等式，通常形式为|ax + b| > c（或<

c）。

求解绝对值不等式的步骤如下：

1. 将绝对值不等式分解为两个不等式，并去掉绝对值符号。若|ax +

b| > c，则转化为ax + b > c或ax + b < -c。

2. 将这两个简化后的不等式分别求解，得到解集。

3. 将两个解集合并，并根据原始不等式的类型进行修正。若原始不

等式为大于号，则取并集中大于c的部分；若原始不等式为小于号，

则取并集中小于-c的部分。

举例说明：

对于不等式|2x + 1| < 5，我们可以按照以上步骤进行求解。

1. 将绝对值不等式分解为两个不等式：2x + 1 > 5和2x + 1 < -5。

2. 求解这两个简化后的不等式：对于2x + 1 > 5，得到x > 2；对于

2x + 1 < -5，得到x < -3。

3. 将两个解集合并，并根据原始不等式的类型进行修正。由于原始

不等式为小于号，所以取并集中小于-5的部分，即解集为x < -3。

综上所述，我们介绍了几种常见的不等式的解集求解方法，包括一

元一次不等式、一元二次不等式和绝对值不等式。通过这些方法，我

们可以有效地求解不等式的解集，确定变量的取值范围。