2024年4月13日发(作者：高三数学试卷文科4003c)
立体几何
【
2010
年上海文
6
】已知四棱椎
P−ABCD
的底面是边长为
6
的正方形，侧棱
PA⊥
底面
ABCD
，且
PA=8
，则该四棱椎的体积是
.
【
2010
年上海理
12
】如图所示，在边长为
4
的正方形
ABCD
纸片中，
AC
与
BD
相交于
O
,
剪去
AOB
,
将剩余部分沿
OC
、
OD
折叠，使
OA
、
OB
重合，则以
A
、
(
B
)
、
C
、
D
、
O
为
顶点的四面体的体积为
。
【2011年上海理7】 若圆锥的侧面积为
2
，底面面积为
，则该圆锥的体积为 .
【2011年上海文7】若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3，3，2的三角形，则该圆
锥的侧面积为
2
3
3
【2011年上海文20】已知
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
是底面边长为1的正四棱柱，高
AA
1
=2
，求
（1）异面直线
BD
与
AB
1
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四面体
AB
1
D
1
C
的体积.
B
1
A
1
D
1
C
1
B
A
D
C
【2011年上海理21】已知
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
是底面边长为1的正四棱柱，
O
1
为
A
1
C
1
与
B
1
D
1
的
交点.
（1）设
AB
1
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成角的大小为
，二面角
A−B
1
D
1
−A
1
的大小为
.求证：
tan
=2tan
；
（2）若点
C
到平面
A
1
B
1
D
1
的距离为
4
，求正四棱柱
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
的高.
3
A
B
D
C
A
1
B
1
O
1
D
1
C
1
【2012年上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为
2
的半圆面，则该圆锥的体积
为 ．
【2012年上海理14】如图，若
AD=2c
，
BC=2
，
AD
与
BC
是四面体
ABCD
中互相垂直的棱，
且
AB+BD=AC+CD=2a
，其中
a,c
为常数，则四面体
ABCD
的体积的最大值
是 ．
【2012年上海理19】如图，在四棱锥
P−ABCD
中，底面
ABCD
是矩形，
PA
⊥底面
ABCD
，
E
是
PC
的中点，已知
AB=2
，
AD=22
，
PA=2
，求：
（1）三角形
PCD
的面积；
（2）异面直线
BC
与
AE
所成的角的大小 ．
【2012年上海文19】如图，在三棱锥
P−ABC
中，
PA
⊥底面
ABC
，
D
是
PC
的中点，已
知∠
BAC
＝
，
AB=2
，
AC=23
，
PA=2
，求：
2
P
（1）三棱锥
P−ABC
的体积；
（2）异面直线
BC
与
AD
所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.
B
A
D
C
【2013年上海文10】已知圆柱
的母线长为
l
，底面半径为
r
,
O
是上底面圆心，
A、B
是
下底面圆周上的两个不同的点，
BC
是母线，如图.若直线
OA
与
BC
所成角的大小为
6
，则
l
= .
r
【2013年上海理13】在
xOy
平面上，将两个半圆弧
(x−1)
2
+y
2
=1(x1)
和
(x−3)
2
+y
2
=1(x3)
、两条直线
y=1
和
y=−1
围成的封闭图形记为
D
，如图中阴影部分．记
D
绕
y
轴旋转一周而成的几何体为
，过
(0,y)(|y|1)
作
的水平截面，所得截面面积为
4
1−y
2
+8
，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长
方体，得出
的体积值为__________
【2013年上海理19】（本题满分12分）如图，在长方体
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB=2
,
AD=1
,
AA
1
=1
，证明直线
BC
1
平行于平面
DA
1
C
，并求直
线
BC
1
到平面
DA
1
C
的距离.
D
A
D
1
B
C
C
1
B
1
A
1
【2013年上海文19】（本题满分12分）
如图，正三棱锥
O−ABC
的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积。
【2014上海理6文7】若圆锥的侧面积是底面积的
3
倍，则其母线与底面角的大小为
（结果用反三角函数值表示）.
【
2014
上海文
8
】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，
则切割掉的两个小长方体的体积之和等于
.
【2014上海理19文19】底面边长为
2
的正三棱锥
P−ABC
，其表面展开
图是三角形
P
1
P
2
P
3
，如图，求△
P
1
P
2
P
3
的各边长及此三棱锥的体积
V
.
【2015年上海理4文6】若正三棱柱的所有棱长均为
a
，且其体积为
163
，则
a=
.
【2015年上海理6】若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为
2
，则其母线与轴的夹角
的大小为 .
.
【2015年上海理19】如图，在长方体中
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
，
AA
1
=1
，
AB=AD=2
，
E
、
F
分别是棱
AB
、
BC
的中点，证明
A
1
、
C
1
、
F
、
E
四点共面，并求直线
CD
1
与平面
AC
11
FE
所
成角的大小.
D
1
A
1
B
1
C
1
D
A
C
F
B
E
【2015年上海文19】如图，圆锥的顶点为
P
，底面圆心为
O
，底面的一条直径为
AB
，
C
为半圆弧
AB
的中点，
E
为劣弧
CB
的中点.已知
PO=2,OA=1
.求三棱锥
P−AOC
的体
积，并求异面直线
PA
和
OE
所成的角的大小.
【2016年上海理6】如图，在正四棱柱
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
的边长为
3
，
BD
1
与
底面所成角的大小为
arctan
【2016年上海理9文10】已知△
ABC
的三边长分别为
3
,
5
,
7
，则该三角形的外接圆半径
等于_________
2
，则该正四棱柱的高等于____________.
3
c[0,2
)
，【2016年上海理13】设
a,bR
，若对任意实数
x
都有
2sin(3
x−
)
=a
sin
(
bx+c
)
，
3
则满足条件的有序实数组
(a,b,c)
的组数为 .
【2016年上海文16】如图，在正方体
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
分别为
BC
、
BB
1
的中点，
则下列直线中与直线
EF
相交的是（ ）
A
.直线
AA
1
B
.直线
A
1
B
1
C
.直线
A
1
D
1
D
.直线
B
1
C
1
【2016年上海文17】设
aR
，
b[0,2π]
.若对任意实数
x
都有
sin(3x
π
)=sin(ax
3
b)
，则
满足条件的有序实数对
(a,b)
的对数为（ ）
A
.1
B
.2
C
.3
D
.4
【2016年上海理19】将边长为
1
的正方形
AA
1
O
1
O
（及其内部）绕的
OO
1
旋转一周形成圆柱，
2
如图，
AC
长为
，
A
1
B
1
长为
，其中
B
1
与
C
在平面
AA
1
O
1
O
的
33
同侧。
A
1
B
1
A
C
（1）求三棱锥
C−O
1
A
1
B
1
的体积；
（2）求异面直线
B
1
C
与
AA
1
所成的角的大小。
【2016年上海文19】将边长为1的正方形
AA
1
O
1
O
（及其内部）绕
OO
1
旋转一周形成圆柱，
如图，
AC
长为
5
，
A
1
B
1
长为
，其中
B
1
与
C
在平面
AA
1
O
1
O
的同侧.
63
[来源:]
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O
1
B
1
与OC所成的角的大小.
【2017年上海4】已知球的体积为
36
，则该球主视图的面积等于______
.
【2017年上海7】如图，以长方体
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
D
为坐标原点，过
D
的三条棱所
在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若
DB
1
的坐标为
(4,3,2)
，则
AC
1
的坐标为_____
【2017年上海17】如图，直三棱柱
ABC−A
1
B
1
C
1
中，
ABC=90,BB
1
=5,AB=4,BC=2
；
（1）求三棱柱
V
ABC−A
1
B
1
C
1
的体积；
（2）若
M
是棱
BC
中点，求
A
1
M
与平面
ABC
所成角的大小；
.
【2018年上海15】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设
AA
1
是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以
AA
1
为底面矩形
的一边，则这样的阳马的个数是（ ）．
A
1
A.4 B.8 C.12 D.16
【2018年上海17】已知圆锥的顶点为
P
，底面圆心为
O
，半径为2，
（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
（2）设
PO=4
，
OA、OB
是底面半径，且
AOB=90
，
M
为线段
AB
的中点，
如图，求异面直线
PM
与
OB
所成的角的大小．
【2019年上海14】一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两
个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）
A
P
O
A
M
B
A
.1
B
. 2
C
. 4
D
.8
【2020年上海15】在如图所示的棱长为
10
的正方体
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
中，一条
平行于
A
1
C
的直线与正方体的表面交于
P
、
Q
两点，其中
P
在侧面
ADD
1
A
1
上，且到
A
1
D
1
的距离为
3
，到
AA
1
的距离为
2
，则点
Q
所在的面是（ ）
B.
ABB
1
A
1
C.
BCC
1
B
1
D.
CDD
1
C
1
【2020年上海17】如图系示，边长为
1
的正方形
ABCD
绕
BC
边旋转后形成一个圆柱．
（1）求该圆柱的表面积
S
；
（2）正方形
ABCD
绕
BC
逆时针旋转
（结果用反三角函数值表示）．
到
A
1
BCD
1
，求
AD
1
与平面
ABCD
所成角的大小
2
立体几何
【
2010
年上海文
6
】已知四棱椎
PABCD
的底面是边长为
6
的正方形，侧棱
PA
底面
ABCD
，且
PA8
，则该四棱椎的体积是
.
【答案】
96
1
2
【解析】四棱椎的体积
V
6
8
96
，故答案为：
96
3
【
2010
年上海理
12
】如图所示，在边长为
4
的正方形
ABCD
纸片中，
AC
与
BD
相交于
O
,
剪去
AOB
,
将剩余部分沿
OC
、
OD
折叠，使
OA
、
OB
重合，则以
A
、
B
、
C
、
D
、
O
为
顶点的四面体的体积为
【答案】
82
3
。
【解析】翻折后的几何体为底面边长为
4
，侧棱长为
22
的正三棱锥，
高为
26112682
所以该四面体的体积为
16
33233
【
2011
年上海理
7
】若圆锥的侧面积为
2
，底面面积为
，则该圆锥的体积为
【答案】
3
3
.
【解析】因为底面面积为
，所以底面半径为
1
，
1
由
S
侧
=
rl
2
l
2
h
3
V
Sh
3
3
3
【
2011
年上海文
7
】若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为
3
，
3
，
2
的三角形，则该圆
锥的侧面积为
【答案】
3
【解析】由题意，母线长
l3
，底面半径
r1S
侧
=
rl3
【
2011
年上海文
20
】已知
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是底面边长为
1
的正四棱柱，高
AA
1
2
，求
（
1
）异面直线
BD
与
AB
1
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（
2
）四面体
AB
1
D
1
C
的体积
.
【答案】（1）异面直线
BD
与
AB
1
所成角为
arccos
【解析】
⑴
连
BD,AB
1
,B
1
D
1
,AD
1
，
∵
10
10
B
A
D
C
（2）
V
2
3
A
1
B
1
C
1
D
1
BD//B
1
D
1
,AB
1
AD
1
∴
异面直线
BD
与
AB
1
所成角为
AB
1
D
1
，记
AB
1
D
1
，
AB
1
2
B
1
D
1
2
AD
1
2
10
cos
2
AB
1
B
1
D
1
10
∴异面直线
BD
与
AB
1
所成角为
arccos
⑵
连
AC,CB
1
,CD
1
，则所求四面体的体积
10
10
12
V
V
ABCD
A
1
B
1
C
1
D
1
4
V
C
B
1
C
1
D
1
2
4
33
O
1
为
A
1
C
1
与
B
1
D
1
的
【
2011
年上海理
21
】已知
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
是底面边长为
1
的正四棱柱，
交点
.
（1）设
AB
1
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成角的大小为
，二面角
AB
1
D
1
A
1
的大小为
.求证：
tan
2tan
；
（
2
）若点
C
到平面
A
1
B
1
D
1
的距离为
高.
【答案】
(1)
证明见解析（
2
）
h2
【解析】设正四棱柱的高为
h
。
4
，求正四棱柱
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的
3
A
B
D
C
A
1
B
1
O
1
C
1
D
1
⑴
连
AO
1
，
AA
1
底面
A
1
B
1
C
1
D
1
于
A
1
，
∴
AB
1
与底面
A
1
B
1
C
1
D
1
所成的角
为
AB
1
A
1
，即
AB
1
A
1
∵
AB
1
AD
1
，
O
1
为
B
1
D
1
中点，∴
AO
1
B
1
D
1
，又
A
1
O
1
B
1
D
1
，
∴
AO
1
A
1
是二面角
AB
1
D
1
A
1
的平面角，即
AO
1
A
1
∴
tan
AA
1
AA
1
h
，
tan
2
h
2tan
。
A
1
B
1
A
1
O
1
∴
tan
2tan
⑵
建立如图空间直角坐标系，有
A(0,0,h),B
1
(1,0,0),D
1
(0,1,0),C(1,1,h)
AB
1
(1,0,h),AD
1
(0,1,h),AC(1,1,0)
设平面
AB
1
D
1
的一个法向量为
n(x,y,z)
，
n
ABn
AB
11
0
∵
，取得
z1n(h,h,1)
n
AD
1
n
AD
1
0
∴
|
n
AC
|
点
C
到平面
AB
1
D
1
的距离为
d
|
n
|
h
h
0
h
2
h
2
1
4
，则
h2
。
3
【2012年上海理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为
2
的半圆面，则该圆锥的体积
为
【答案】
3
3
．
【解析】设该圆锥的底面圆的半径为
r
，母线长为
l
，根据条件得到
1
2
113
l
2
,
l
2,2
r
l
2
,
r
1,
该
圆锥为
VSH
2
2
1
2
2
333
【2012年上海理14】如图，若
AD2c
，
AD
与
BC
是四面体
ABCD
中互相垂直的棱，
BC2
，
且
ABBDACCD2a
，其中
a,c
为常数，则四面体
ABCD
的体积的最大值
是．
2
【答案】
ca
2
c
2
1
3
【解析】
1
如图作截面
EBC
⊥
AD
，
VS
EBC
AD
，
AD2c
，即求截面
EBC
面积的最大值，
3
ABBD
ACCD2a
，
B
、
C
在一个以
A
、
D
为焦点的椭球上，易知当
E
为
AD
中
点时，
EB
和
EC
同时取到最大值
a
2
c
2
，即截面面积最大为
a
2
c
2
1
，体积最大为
2
ca
2
c
2
1
3
【2012年上海理19】如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是矩形，
PA
⊥底面
ABCD
，
E
是
PC
的中点，已知
AB2
，
AD22
，
PA2
，求：
（1）三角形
PCD
的面积；
（2）异面直线
BC
与
AE
所成的角的大小．
【答案】（1）
23
（
2
）
4
【解析】（1）因为
PA
底面
ABCD
，所以
PACD
，又
ADCD
，所以
CD
平面
PAD
，从而
CDPD
.
因为
PD
2
2
22
2
23
，
CD2
，
z
P
E
A
B
x
C
所以三角形
PCD
的面积为
1
2
23
23
.
2
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，
则
B
2,0,0
，
C2,22,0
，
E1,2,1
，
AE1,2,1
，
BC0,22,0
.
D
y
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