2024年3月25日发(作者：2013安徽卷数学试卷)

2023-2024

学年四川省成都市高三三诊模拟数学（理）试题

一、单选题（每小题仅有一个正确选项，选对得5分，共60分）

1

A

yy

x

BxN

x

，

1.已知集合

x2

，则

ðA

B

（

R

）

D.A.

x0x2

B.

0,1

C.

x2x4

2,3

【正确答案】

B

【分析】根据函数

y

x

1

的

值域可得

ð

R

A

y2y2

，易知

B

0,1

，即可求得

x

ðA

B

0,1

.

R

【详解】由函数

y

x

1

的值域为

2,

,2

可知，

A

yy2

或

y2

x

所以

ð

R

Ay2y2

；

由

BxN



x2

可得

B

0,1,2,3

；

所以可得

ð

R

AB

0,1

.

故选：

B

2.若复数

z

满足

z

z

2,



12

，则

z

（

z

2

B.

3

）

A.

2

2

C.

2

D.1

【正确答案】

C

【分析】根据题意设出复数，结合复数运算的性质，即可求解

.

【详解】设

zabi

，

a,bR

，因为

zz2

，所以

2a2

，

a1

，

所以

111

b

i

12

12



，又，所以，

2

z

1

b

i1

b

2

2

z2

1

b

解得

b

2

1

，所以

z

故选：

C.

a

2

b

2

2

3.如图，一组数据

x

1

,x

2

,x

3

,,x

9

,x

10

，的平均数为5，方差为

s

1

，去除

x

9

，

x

10

这两个数据后，

2

平均数为

x

，方差为

s

2

，则（

2

）

A.

x5

，

s

1

s

2

2

s

1

2

s

2

22

B.

x5

，

s

1

s

2

22

C.

x5

，

s

1

s

2

22

D.

x5

，

【正确答案】D

【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.

10

1

10

x

i

5,

x

9

1,

x

10

9

，则

x

i

50

，【详解】由题意可得：

10

i

1

i

1

1

8

1

10

1

故

x

x

i

x

i

x

9

x

10

50

1

9

5

，

8

i

1

8

i

1

8

∵

x

9

,x

10

是波幅最大的两个点的值，则去除

x

9

，

x

10

这两个数据后，整体波动性减小，故

s

1

s

2

.

22

故选：D.









4.

已知单位向量

a

，

b

满足

ab0

，若向量

ca3b

，则

cosa,c

（

A.

）

3

2

B.

1

2

C.

3

4

D.

1

4

【正确答案】B

【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.



2





由单位向量

a,b

，则

a1,b1

，即

ca3b

【

详解】



2

2



2

a23ab3b4

，

c2

，



2



acaa3ba3ab1





a

c

1

cos

a

,

c



.

a

c

2



故选：B.

5.世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”

已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”．281年过去了，哥德巴赫猜想仍

未解决，目前最好的成果“1＋2”由我国数学家陈景润在1966年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何

不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其

和为奇数的概率为（

A.

）

B.

2

7

1

4

C.

1

3

D.

2

5

【正确答案】

B

【分析】求出基本事件总数，再求出和为奇数事件所包含的基本事件个数，根据古典概型求解

.

【详解】不超过

17

的质数有：

2

，

3

，

5

，

7

，

11

，

13

，

17

，共

7

个，

2

21

，

随机选取两个不同的数，基本事件总数

nC

7

其和为奇数包含的基本事件有：

(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17)

，共6个，

所以

P

故选：

B

6.函数

f

x

x

62

.

217

sinx

在

π,π

上的图像大致为（

x

3

）

A.B.

C.D.

【正确答案】

B

【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答

.

【详解】函数

f

(

x

)

x

而

f

(

x

)



x

sin

x

定义域为

(,0)(0,)

，

3

x

sin(

x

)sin

x



x



f

(

x

)

，且

f(x)f(x)

，

33

(

x

)

x

即函数

f(x)

既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项

CD

；

而当

xπ

时，

f(x)f(π)π

，排除选项A，选项B符合要求.

故选：

B

7.

如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为

1

，则该几何体的体积

为（）

A.

2

3

B.1C.

4

3

D.4

【正确答案】

C

【分析】首先在正方体中还原几何体，然后利用锥体的体积公式计算其体积即可

.

【详解】如图所示，

题中三视图对应的几何体为图中棱长为

2

的正方体中的三棱锥

CABD

，

其体积

V

故选：

C.

8.将函数

y

sin

2

x

114



2

2

2

.

323

π

π

1

图像上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得

2

2

6

）

到曲线

C

．若曲线

C

的图像关于

y

轴对称，则

的值为（

A.

π

3

B.

π

6

C.

π

12

D.

π

3

【正确答案】

B

2π



y

sin4

x



，由图像关于

y

轴对称得【分析】先根据图像变化得到曲线C为：

3



2

k

1

π

2π

,

k

Z

，进而可求得答案.

32

2π



y

sin4

x



【详解】由题意得变化后的曲线

C

为：



，

3



曲线

C

的图像关于

y

轴对称，故

即当

k

0,



故选：B.

9.两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的

轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三

角形，平面

∥PQ

，平面

截圆锥侧面所得曲线记为

C

，则曲线

C

所在双曲线的离心率为（）

π

，

6

2πππ

k

π,

k

Z

，又

，

322

A.

23

3

B.

13

3

C.

3

D.2

【正确答案】A

【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点

E

的坐标，从而得到双曲线方程，然后结合离

心率公式，即可得到结果.

【详解】如图，设平面

∥PQ

，平面

与圆锥侧面的交线为

C

，过

P

垂直于

EF

的母线与曲线

C

交于

M

，不妨延长

PM

至

A

，使

PMMA

.

过

A

垂直于

PQ

的截面交曲线

C

为

E,F

，

设

P

在平面

内的投影为点

O

，以

O

为原点，

PQ

投影为

x

轴建立平面直角坐标系，易知点

M

为

b

2

1

x

2

y

2

双曲线顶点

.

设

OMa

，则可求

E

点坐标为

2a,a

，代入方程：

2

2

1

，知

2

，故

a

3

ab

双曲线离心率为

e

故选:

A

.

10.

函数

f

x

cos

x

23

，

3

1

2

π

ax

，定义域为

0,

，

f

x

有唯一极值点，则实数

a

的取值范围为

2

2

（）

A.

1,

2

π

B.

1,

1

2π

C.

1



1

,

22π

D.

11

,

2π



【正确答案】

A

【分析】由已知，根据题意，分别从

a0

，

a1

和

-1＜a＜0

三种情况借助导数研究函数

f

x

的单调性，并判断是否满足题意，然后对应列式求解即可

.

【详解】由已知，

f

x

cos

x

1

2

ax

，所以

f\'

x

sinxax

，

2

π

π

当

a0

时，因为

x

0,

，所以

sinx＜0

，所以

f\'

x

0

，因此

f

x

在区间

0,

上单调

2

2

递减，不符合题意；

h

x

sinxax

，所以

h

x

cosxa

，

π

当

a1

时，

h

x

0

，所以

h

x

在区间

0,

上单调递增，而

h

0

sin000

，所以

2

π

h

x

h(0)0

，所以

f

x

在区间

0,

上单调递增，不符合题意；

2

当

-1＜a＜0

时，要使得

f

x

有唯一极值点，即满足

f

\'

π

π

π



1

a

＞0

a＜

，解得

，所

22

2



以实数a的取值范围为

1,

故选：

A.

2

.

π

11.已知三棱锥

PABC

的四个顶点都在球

O

的球面上，

PBPC25,ABAC4

，

PABC2

，则球

O

的表面积为（

A.

）

C.

316

π

15

B.

79

π

15

158

π

5

D.

79

π

5

【正确答案】

A

【分析】根据给定条件，证明

PA

平面

ABC

，再确定球心

O

的位置，求出球半径作答

.

【详解】在三棱锥

PABC

中，如图，

AB

2

PA

2

20PB

2

，则

PAAB

，同理

PAAC

，

而

ABACA,AB,AC

平面

ABC

，因此

PA

平面

ABC

，

1

BC

1

，在等腰

ABC

中，

ABAC4,BC2

，则

cos

ABC

2

AB

4

sin

ABC

1

cos

2

ABC

15

，

4

1

AC

8



，

2sin

ABC

15

令

ABC

的外接圆圆心为

O

1

，则

OO

1

平面

ABC

，

O

1

A

有

OO

1

//PA

，取

PA

中点

D

，连接

OD

，则有

ODPA

，又

O

1

A

平面

ABC

，即

O

1

APA

，

从而

O

1

A//OD

，四边形

ODAO

1

为平行四边形，

OO

1

AD1

，又

OO

1

O

1

A

，

因此球

O

的半径

ROAO

1

AO

1

O

(

所以球

O

的表面积

S

4π

R

故选：A

12.

已知数列

a

n

，

b

n

，

a

1

2

，

a

2

1

，

a

n

2

是数列

a

n

b

n

的前

n

项和，则

S

1000

（

A.656

【正确答案】D

【分析】由题意，利用穷举法，一一列举寻找规律，利用周期思想可得答案.

【详解】由题意知数列

b

n

是一个周期为

2

的数列

.

穷举法找规律，

B.660

）

C.672D.674

2

2222

8

22

79

)

1

，

15

15

316

π

.

15

a

a

a

a

n

n

n

1

nn

1

，

b

n

1

1

，

S

n

a

n

a

n

1

a

n

1

a

n

n

1

2

3

4

5

6

7

a

n

b

n

a

n

b

n

2

0

1

3

0

4

2

1

0

3

2

6

2

0

2

2

00

8

00

n

a

n

b

n

a

n

b

n

8

1

2

2

9

1

0

10

0

11

1

0

12

1

2

2

13

0

L

2

0

0

000

易发现

a

n

b

n

从第

8

项开始，每

6

项重复出现，故只需要分段计算即可.

a

8

b

8

,a

9

b

9

,,a

997

b

997

，共

165

个分段，每段的和为

4

，

a

998

a

999

1

，

a

1000

0

，

b

998

b

1000

2

，

b

999

0

，所以

a

998

b

998

a

999

b

999

a

1000

b

1000

2

，

故

S

1000

2

8616542674

.

故选：

D.

二、填空题（每小题

5

分，共

20

分）

x

y

1

0

13.若

x

，

y

满足

x

y

0

，则

2yx

的最小值是________．

x

1

0

【正确答案】

1

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答

.

x

y

1

0

【详解】作出不等式组

x

y

0

表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点

A(1,1)

，

B(1,2)

，

x

1

0

令

2yxz

，即

y

画直线

l

0

：

y

1

x

，平移直线

l

0

到直线

l

1

，当直线

l

1

过点

A

时，直线

l

1

的纵截距最小，

z

最小，

2

1

z

z

1

x

表示斜率为

2

，纵截距为的平行直线系，

2

22

z

min

2111

，

所以

2yx

的最小值是1.

故1

14.

已知

a

1

1

xdx

，则

(2xa1)

5

的展开式中

x

3

项的系数为

_________.

【正确答案】80

【分析】根据微积分基本定理求出

a0

，再利用二项展开式通项即可得到答案.

1

【详解】

a

xdx

x

2

0

，

2

1

1

故

(2xa1)

5

(2x1)

5

,

根据二项展开式通项为

T

r

1

C

5

(2

x

)

r

5

rr

(

1)

r

C

5

2

5

r

x

5

r

(

1)

r

,0

r

5,

r

N

，

23

1

1

令

5r3

，求得

r2

，可得展开式中

x

3

的系数为

C

5

280

，

故80.

2

15.

过抛物线

y8x

焦点的直线与抛物线交于

M,N

两点，设抛物线的准线与

x

轴的交点为

A

，

当

MANA

时，

|MN|

___________.

【正确答案】8

【分析】令过焦点直线为

xky2

并联立抛物线，应用韦达定理得

y

M

y

N



16

且

x

M

x

N

4

，

根据

y

y

M

N



1

求得

x

M

x

N

4

，根据抛物线定义求

|MN|

.

x

M

2

x

N

2

【详解】令过焦点直线为

xky2

，代入

y

2

8x

得：

y

2

8ky160

，

(

16)

2

所以

y

M

y

N



16

，则

x

M

x

N



4

，

64

y

N

y

M

y

N

y

M



1

，由

MANA

，则

x

M

2

x

N

2

x

M

x

N

2(

x

M

x

N

)

4

所以

8

2(

x

M

x

N

)

16

，即

x

M

x

N

4

，

由抛物线定义知

.

|

MN

|

x

M

x

N

4

8

故8

16.

已知函数

f

x

，

g

x

定义域均为

R

，且

f

x

1



13

f

x

g

x

，

22

2023

13

g

x

1

g

x

f

x

，

f

x

f

5x

，

g

365

3

，则

f

k

_______.

22

k

1

【正确答案】

2

【分析】根据已知条件及函数值的定义，结合函数的周期性即可求解.

【详解】由

f

x

1



13

233

f

x

1

f

x

①

，

f

x

g

x

，得

g

x

33

22

所以

g

x

1

233

f

x

2

f

x

1

②

.

33

13

g

x

f

x

，并整理得

f

x2

f

x1

f

x

，

22

将

①②

代入

g

x

1



所以

f

x3

f

x2

f

x1

f

x

，

所以

f

x

是以

3

为周期的周期函数

.

由

①

可知，

g

x

也是以

3

为周期的周期函数，

所以

g

2

g

365

3

.

由

①

得

233

f

3

f

2

g

2



3

，

33

又因为

f

x

f

5x

，

所以

f

3

f

53

f

2

，解得

f

3

f

2

1

，

所以

f

1

f

4

f

3

f

2

2

.

2023

所以

f

k

674

f

1

f

2

f

3

f

1

674

2

1

1

2

2

.

k

1

故答案为.

2

关键点睛：解决此题

的

关键是根据已知条件求出函数

f

x

，

g

x

的周期，利用函数的周期性即

可.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

（一）必考题，第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答，共60分.





角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c

，

CD

为

CA

在

CB

方向上的投影向量，

17.

在锐角三角形

ABC

中，



且满足

2csinB5CD

.

（1）求

cosC

的值；

（

2

）若

b3,a3ccosB

，求

ABC

的周长

.

2

3

【正确答案】（

1

）

（

2

）

232



【分析】（

1

）依题意可得

CDbcosC

，即可得到

2csinB5bcosC

，利用正弦定理将边化角，

即可得到

2sinC5cosC

，再由平方关系计算可得；

（

2

）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及（

1

）的结论得到

sinB

求出

sinB

、

cosB

，再由正弦定理求出

c

，即可求出

a

，从而得解.

【小问1详解】

5cosB

，从而







由

CD

为

CA

在

CB

方向上的投影向量，则

CDbcosC

，



又

2csinB5CD

，即

2csinB5bcosC

，

根据正弦定理，

2sinCsinB5sinBcosC

，

在锐角

ABC

中，

B

0,

π

，则

sinB0

，即

2sinC5cosC

，

2


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