人教版高中数学必备重要知识点大全整理

2024年4月4日发(作者：中考数学试卷丽水)

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人教版高中数学必备重要知识点大全整理

高中数学始终是一个难点。假如你想学好数学,你必需回到课本,学好学问。

下面是我为大家整理的关于人教版高中数学必备重要学问点大全，希望对您有所

关怀!

高考数学导数学问点

(一)导数第确定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量

△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;假如

△y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称

这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即导数第确定义

(二)导数第二定义

设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有转变

△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数转变 △y = f(x) - f(x0) ;假如 △y 与 △x

之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值

为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即 导数第二定义

(三)导函数与导数

假如函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可

导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定

的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记

作 y, f(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

(四)单调性及其应用

1.利用导数商量多项式函数单调性的一般步骤

(1)求f¢(x)

(2)确定f¢(x)在(a，b)内符号 (3)若f¢(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)

上是增函数;若f¢(x)0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数

2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤

(1)求f¢(x)

(2)f¢(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f¢(x)0的解集与定义域

的交集的对应区间为减区间

高中数学重难点学问点

高中数学包含5本必修、2本选修，(理)包含5本必修、3本选修，每学期学

习两本书。

必修一：1、集合与函数的概念 (这部分学问抽象，较难理解)2、基本的初等

函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)

必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：

主要是夹角问题，包括线面角和面面角

这部分学问是高一学生的难点，比方：一个角事实上是一个锐角，但是在图

中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。这部分学问高考占

22---27分

2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题

3、圆方程：

必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：

高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分

必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，

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并且经常和其他函数混合起来考查

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。09年

理科占到5分，文科占到13分

必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22

分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线

但第二个集合中的元素不愿定有原像( 中元素的像有且仅有下一个，但中元素的

原像可能没有，也可任意个);函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像

集的子集”.

(2)函数图像与轴垂线至多一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可

任意个.

性规划，听课时易理解，但做题较冗杂，应把握技巧。高考必考5分)不等式不

单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

高中数学学问点大全

一、集合与简易规律

1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性.

2.对集合，时，必需留意到“极端”状况：或;求集合的子集时是否留意到 是

任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.

3.推断命题的真假关键是“抓住关联字词”;留意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

4.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”;“且命题”的真假特点是“一假

即假，要真全真”;“非命题”的真假特点是“一真一假”.

5.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否认’也”.

原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三

步：假设、推矛、得果.

8.充要条件

二、函数

1.指数式、对数式，

2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”;映射中第一个集合 中的元素必有像，

(3)函数图像确定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不愿定能成为函数图

像.

3.单调性和奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

(2)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性;异性得减，减必异性”.

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.复合函数要考虑定义域的

转变。(即复合有意义)

4.对称性与周期性(以下结论要消化吸收，不行强记)

(1)函数与函数的图像关于直线(轴)对称.

推广一：假如函数对于一切，都有成立，那么的图像关于直线 (由“ 和的一

半确定”)对称.

推广二：函数，的图像关于直线对称.

(2)函数与函数的图像关于直线(轴)对称.

(3)函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.

三、数列

1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的

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前项和公式的关系

2.等差数列中

(1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

(2)也成等差数列.

(3)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

(4) 仍成等差数列.

(5)“首正”的递等差数列中，前 项和的最大值是全部非负项之和;“首负”的递

增等差数列中，前 项和的最小值是全部非正项之和;

(6)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总项数

是偶数还是奇数确定.若总项数为偶数，则“偶数项和“奇数项和=总项数的一半与

其公差的积;若总项数为奇数，则“奇数项和-偶数项和”=此数列的中项.

(7)两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用

“中项关系”转化求解.

(8)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式

法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).

3.等比数列中：

(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与

等比数列的单调性.

(2)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.

(3)“首大于1”的正值递减等比数列中，前 项积的最大值是全部大于或等于1

的项的积;“首小于1”的正值递增等比数列中，前 项积的最小值是全部小于或等

于1的项的积;

(4)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必定联系，由数列的总项数

是偶数还是奇数确定.若总项数为偶数，则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积;

若总项数为奇数，则“奇数项和“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.

(5)并非任何两数总有等比中项.仅当实数 同号时，实数 存在等比中项.对同

号两实数 的等比中项不仅存在，而且有一对.也就是说，两实数要么没有等比中

项(非同号时)，假如有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常

优先考虑选用“中项关系”转化求解.

(6)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式

法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).

4.等差数列与等比数列的联系

(1)假如数列成等差数列，那么数列( 总有意义)必成等比数列.

(2)假如数列成等比数列，那么数列必成等差数列.

(3)假如数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列;但数列

是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.

(4)假如两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等

差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

假如一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用

“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那

些项是他们的公共项，并构成新的数列.

5.数列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差数列求和公式(三种形式)，

②等比数列求和公式(三种形式)，

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(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先

合并在一起，再运用公式法求和.

(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性

或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用

4.三角函数线的特征是：正弦线“站在轴上(起点在 轴上)”、余弦线“躺在轴上

(起点是原点)”、正切线“站在点 处(起点是 )”.务必重视“三角函数值的大小与单位

圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’‘纵坐标除

以横坐标之商’”;务必记住：单位圆中角终边的转变与值的大小转变的关系为锐角

求和(这也是等差数列前和公式的推导方法).

(4)错位相减法：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的

通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的

和”求解(留意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的

差”!)(这也是等比数列前 和公式的推导方法之一).

(5)裂项相消法：假如数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后

相关联，那么常选用裂项相消法求和

(6)通项转换法。

四、三角函数

1.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上).

终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).

终边与终边关于轴对称

终边与终边关于轴对称

终边与终边关于原点对称

一般地：终边与终边关于角的终边对称.

与 的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.

2.弧长公式：，扇形面积公式：1弧度(1rad).

3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和

三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”;

6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.

7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角

的变换”!

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其

倍角的变换、两角与其和差角的变换.

8.三角函数性质、图像及其变换：

(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

留意：正切函数、余切函数的定义域;确定值对三角函数周期性的影响：一般

说来，某一周期函数解析式加确定值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为

周期函数又是偶函数的函数自变量加确定值，其周期性不变;其他不定.如 的周期

都是,但的周期为，y=|tanx|的周期不变，问函数y=cos|x|,，y=cos|x|是周期函数

吗?

(2)三角函数图像及其几何性质：

(3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.

(4)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和

变换法.

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9.三角形中的三角函数：

(1)内角和定理：三角形三角和为，任意两角和与第三个角总互补，任意两半

角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正

值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).

(3)余弦定理：常选用余弦定理鉴定三角形的类型.

五、向量

1.向量运算的几何形式和坐标形式，请留意：向量运算中向量起点、终点及

其坐标的特征.

2.几个概念：零向量、单位向量(与 共线的单位向量是，平行(共线)向量(无

传递性，是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量

在另一向量方向上的投影(在上的投影是).

3.两非零向量平行(共线)的充要条件

4.平面向量的基本定理：假如e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那

么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使a= e1+ e2.

5.三点共线;

6.向量的数量积：

六、不等式

1.(1)解不等式是求不等式的解集，最终务必有集合的形式表示;不等式解集的

端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

(2)解分式不等式 的一般解题思路是什么?(移项通分，分子分母分解因式，x

的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回);

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(3)含有两个确定值的不等式如何去确定值?(一般是根据定义分类商议 、平

方转化或换元转化);

(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类商议 .留意：按参数商议 ，

最终按参数取值分别说明其解集，但若按未知数商议 ，最终应求并集.

2.利用重要不等式 以及变式 等求函数的最值时，务必留意a，b (或a ，b

非负)，且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值(一正二定三等

四同时).

3.常用不等式有： (根据目标不等式左右的运算结构选用)

a、b、c R， (当且仅当 时，取等号)

4.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数

性质法、综合法、分析法

5.含确定值不等式的性质：

6.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题

(1)恒成立问题

若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间上

若不等式 在区间 上恒成立,则等价于在区间上

(2)能成立问题

(3)恰成立问题

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为 .

若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为 ,

七、直线和圆

1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围;直线方向向量的意义(或)及其直

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线方程的向量式((为直线的方向向量)).应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方

程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否留意到直线垂直于x轴时，即斜率k

不存在的状况?

2.知直线纵截距，常设其方程为或;知直线横截距，常设其方程为(直线斜率k

假如点在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于(为圆心)的直线方

程， (为圆心 到直线的距离).

7.曲线与的交点坐标方程组的解;

过两圆交点的圆(公共弦)系为，当且仅当无平方项时，为两圆公共弦所在直

存在时，为k的倒数)或知直线过点，常设其方程为.

(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等 直线的斜

率为-1或直线过原点;直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点;直线

两截距确定值相等 直线的斜率为 或直线过原点.

(3)在解析几何中，商量两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而

在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两

直线所成的较小角，范围是。而其到角是带有方向的角，范围是

4.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解.

5.圆的方程：最简方程 ;标准方程 ;

6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，

等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成

直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”

(1)过圆 上一点 圆的切线方程

过圆 上一点 圆的切线方程

过圆 上一点 圆的切线方程

假如点在圆外，那么上述直线方程表示过点 两切线上两切点的“切点弦”方

程.

线方程.

八、圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，假

如涉及到其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第确定义;假如涉及到

其焦点、准线(确定点和不过该点的确定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲

线第二定义;涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等

几何性质的应用.

(1)留意：①圆锥曲线第确定义与配方法的综合运用;

②圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆 点点距除

以点线距商是小于1的正数，双曲线 点点距除以点线距商是大于1的正数，抛

物线 点点距除以点线距商是等于1.

2.圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的

特殊点线、圆锥曲线的转变趋势.其中 ，椭圆中 、双曲线中 .

重视“特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准

线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦

最值的特点.

3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”

两种思路，等价转化求解.特别是：

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①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现

一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必需先

九、直线、平面、简洁多面体

1.计算异面直线所成角的关键是平移(补形)转化为两直线的夹角计算

有“判别式≥0”.

②直线与抛物线(相交不愿定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种状况)

的特殊性，应谨慎处理.

③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关

键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长

度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式

④假如在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为

桥梁转化.

4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、

参数法、交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程商议 曲线的几何性质(定

义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类商议 思想和等价

转化思想等)，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.

留意：①假如问题中涉及到平面向量学问，那么应从已知向量的特点出发，

考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式

进行“摘帽子或脱靴子”转化.

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹

方程时应留意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角

平分线的双重身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类商议

思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量

与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理)，或先运用等积法求点到直

线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边

所成角相等 斜线在平面上射影为角的平分线.

3.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进

行，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.留

意：书写证明过程需规范.

4.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱

锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.

如长方体中：对角线长，棱长总和为，全(表)面积为，(结合可得关于他们的

等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，

如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外

心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面

与底面所成相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.

5.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质

转换)法等.留意：补形：三棱锥 三棱柱 平行六面体

6.多面体是由若干个多边形围成的几何体.棱柱和棱锥是特殊的多面体.

正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同

数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二

面体、正二十面体.

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7.球体积公式。球外表积公式，是两个关于球的几何度量公式.它们都是球半的就是最大值，最小就为最小。

径及的函数.

十、导数

1.导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、边际本

钱(本钱为因变量、产量为自变量的函数的导数，C为常数)

2.多项式函数的导数与函数的单调性

在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为增函数.

在一个区间上(个别点取等号)在此区间上为减函数.

3.导数与极值、导数与最值：

(1)函数处有且“左正右负”在处取极大值;

函数在处有且左负右正”在处取微小值.

留意：①在处有是函数在处取极值的必要非充分条件.

②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表

求出极值.特别是给出函数极大(小)值的条件，确定要既考虑，又要考虑验“左正右

负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点确定要切记.

③单调性与最值(极值)的商量要留意列表!

(2)函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中

的“最大值”

函数 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的微小值与其端点值中的

“最小值”;

留意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为0及导数不存在

的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大

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