2023年12月9日发(作者：评高中数学试卷)
2022年普通高等学校招生全国统一考试
（新高考全国Ⅱ卷）数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知集合
A=
{
-1,1,2,4
}
,B=xx-1£1
，则
AIB=
（ ）
A.
{-1,2}
B.
{1,2}
C.
{1,4}
D.
{-1,4}
{}
2.
(2+2i)(1-2i)=
（ ）
A.
-2+4i
B.
-2-4i
C.
6+2i
D.
6-2i
3.
中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖
面图，
DD
1
,CC
1
,BB
1
,AA
1
是举，
OD
1
,DC
1
,CB
1
,BA
1
是相等的步，相邻桁的举步之比分别
DD
1
CC
1
BB
1
AA
1
==k=k=k
3
，若
k
1
,k
2
,k
3
是公差为
0.1
的等差数列，且直线
0.5,,,
为
12
OD
1
DC
1
CB
1
BA
1
OA
的斜率为
0.725
，则
k
3
=
（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94.已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（ ）A.-6B.-5C. 5D. 6rrrrrrrrr5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6.角a,b满足sin(a+b)+cos(a+b)=22cosça+Atan(a+b)=1æèpö÷sinb，则（ ）4ø. (a+b)=-1 (a-b)=-(a-b)=17.正三棱台高为1，上下底边长分别为33和43，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）A.100πB.128πC.144πD.192π8.若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则（ ）A.-3B.-2C. 0åf(k)=k=122D. 1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数f(x)=sin(2x+j)(00)的焦点F的直线与C交于A，点A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（）A. 直线AB的斜率为26C.|AB|>4|OF| B.|OB|=|OF| D.ÐOAM+ÐOBM<180°11.如图，四边形ABCD为正方形，ED^平面ABCD，FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则（）A.V3=2V2C.V3=V1+V2B.V3=2V1D.2V3=3V112对任意x，y，x2+y2-xy=1，则（）.A.x+y£1
B.x+y³-2C.x2+y2£2D.x2+y2³1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X服从正态分布N2,s(2)，且P(22.5)=____________．14.写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程：____________，____________．15.已知点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a的对称直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为________．x2y216.已知椭圆+=1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于63M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=23，则直线l的方程为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．（1）证明：a1=b1；（2）求集合kbk=am+a1,1£m£500中元素个数．{}18.记VABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1-S2+S3=（1）求VABC的面积；（2）若sinAsinC=31,sinB=．232，求b．3 19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）20.如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB^AC，E是PB的中点．（1）求证：OE//平面PAC；（2）若ÐABO=ÐCBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值． x2y221.设双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．ab（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0,y1>0．过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22.已知函数f(x)=xeax-ex．（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；（3）设nÎN*，证明：11+12+12+22+L+1n+n2>ln(n+1)． 答案及解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-1,1,2,4},B=xx-1£1，则AIB=（）A.{-1,2}【答案】B【解析】【分析】求出集合B后可求AIB.【详解】B={x|0£x£2}，故AIB={1,2}，故选：B.2.(2+2i)(1-2i)=（）A.-2+4i【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(2+2i)(1-2i).【详解】(2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i，故选：D.3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，DD1,CC1,BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别B.-2-4iC.6+2iD.6-2iB.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}{}DD1CC1BB1AA1=0.5,=k,=k,=k3，若k1,k2,k3是公差为0.1的等差数列，且直线为12OD1DC1CB1BA1OA的斜率为0.725，则k3=（）1A. 0.75【答案】D【解析】B. 0.8C. 0.85D. 0.9【分析】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则可得关于k3的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3，依题意，有k3-0.2=k1,k3-0.1=k2，且DD1+CC1+BB1+AA1=0.725，OD1+DC1+CB1+BA12所以0.5+3k3-0.3=0.725，故k3=0.9，4rrrrrrrrr故选：D4.已知a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb，若=，则t=（）A.-6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得B.-5C. 5D. 69+3t+163+trrrr=r,解得t=5,r【详解】解：c=(3+t,4),cosa,c=cosb,c,即5cc故选：C5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A. 12种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!´2´2=24种不同的排列方式，故选：B6.角a,b满足sin(a+b)+cos(a+b)=22cosça+B. 24种C. 36种D. 48种æèpö÷sinb，则（）4ø(a+b)=1 (a+b)=-(a-b)=1 (a-b)=-1【答案】D【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.3【详解】由已知得：sinacosb+cosasinb+cosacosb-sinasinb=2(cosa-sina)sinb,即：sinacosb-cosasinb+cosacosb+sinasinb=0，即：sin(a-b)+cos(a-b)=0,所以tan(a-b)=-1,故选：D7.正三棱台高为1，上下底边长分别为33和43，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）A.100π B.128π C.144π D.192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1=3343，即,2r=2oosin60sin60r1=3,r2=4，设球心到上下底面的距离分别为d1,d2，球的半径为R，所以d1=R2-9，d2=R2-16，故d1-d2=1或d1+d2=1，即R2-9-R2-16=1或22R2-9+R2-16=1，解得R=25符合题意，所以球的表面积为S=4πR=100π．故选：A．8.若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1，则（）A.-3 B.-2 C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数f(x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的åf(k)=k=1224f(1),f(2),L,f(6)的值，即可解出．【详解】因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y)，即f(y)=f(-y)，所以函数f(x)为偶函数，令y=1得，f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x)，即有f(x+2)+f(x)=f(x+1)，从而可知f(x+2)=-f(x-1)，f(x-1)=-f(x-4)，故f(x+2)=f(x-4)，即f(x)=f(x+6)，所以函数f(x)的一个周期为6．因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1，f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2，f(4)=f(-2)=f(2)=-1，f(5)=f(-1)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，所以一个周期内的f(1)+f(2)+L+f(6)=0．由于22除以6余4，所以åf(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3．k=122故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数f(x)=sin(2x+j)(00)的焦点F的直线与C交于A，点A在第一象限，点M(p,0)，若|AF|=|AM|，则（）6A. 直线AB的斜率为26C.|AB|>4|OF|【答案】ACD【解析】【分析】由AF=AM及抛物线方程求得A( B.|OB|=|OF| D.ÐOAM+ÐOBM<180°3p6p,)，再由斜率公式即可判断A选项；42表示出直线AB的方程，联立抛物线求得B(p6p,-)，即可求出OB判断B选项；由抛33uuuruuuruuuruuur25p物线的定义求出AB=即可判断C选项；由OA×OB<0，MA×MB<0求得ÐAOB，12ÐAMB为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得F(p,0)，由AF=AM可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横坐标2p+p3p，为2=24代入抛物线可得y=2p×23p323p6p=p，则A(,)，则直线AB的斜率为42426p2=26，A正确；3pp-421px=y+，联立抛物线方程得对于B，由斜率为26可得直线AB的方程为2267y2-1py-p2=0，62æ6pö666p设B(x1,y1)，则，代入抛物线得-=2p×x1，，则p+y1=py1=-ç÷ç÷3ø326è解得x1=pp6p，则B(,-)，333226pö7ppæpöæ则OB=ç÷+ç-，B错误；=¹OF=÷ç÷3ø32è3øè3pp25p++p=>2p=4OF，C正确；对于C，由抛物线定义知：AB=4312uuuruuur3p6pp6p3pp6pæ6pö3p2,)×(,-)=×+×ç-=-<0，则对于D，OA×OB=(÷ç÷4233432è3ø4ÐAOB为钝角，又uuuruuurp6p2p6ppæ2pö6pæ6pö5p2MA×MB=(-,)×(-,-)=-×ç-×ç-<0，÷=-÷+ç÷42334è3ø2è3ø6则ÐAMB为钝角，又ÐAOB+ÐAMB+ÐOAM+ÐOBM=360o，则ÐOAM+ÐOBM<180o，D正确.故选：ACD.11.如图，四边形ABCD为正方形，ED^平面ABCD，FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则（）A.V3=2V28B.V3=2V1C.V3=V1+V2【答案】CD【解析】D.2V3=3V1【分析】直接由体积公式计算V1,V2，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，由V3=VA-EFM+VC-EFM计算出V3，依次判断选项即可.【详解】设AB=ED=2FB=2a，因为ED^平面ABCD，FBPED，则11142V1=×ED×SVACD=×2a××(2a)=a3，332311122V2=×FB×SVABC=×a××(2a)=a3，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，易3323得BD^AC，又ED^平面ABCD，ACÌ平面ABCD，则ED^AC，又EDIBD=D，ED,BDÌ平面BDEF，则AC^平面BDEF，又BM=DM=1BD=2a，过F作FG^DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则2FG=BD=22a,EG=a，则EM=EF=a2()+(22a)=3a，(2a)+22a2=6a,FM=a2+(2a)2=3a，2EM2+FM2=EF2，则EM^FM，SVEFM=则V3=VA-EFM+VC-EFM=A、B错误；C、D正确.故选：CD.12.对任意x，y，x2+y2-xy=1，则（）91322EM×FM=a，AC=22a，221AC×SVEFM=2a3，则2V3=3V1，V3=3V2，V3=V1+V2，故3A.x+y£1C.x2+y2£2【答案】BC【解析】B.x+y³-2D.x2+y2³1【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．a2+b2æa+bö22a,bÎ【详解】因为ab£çR），由x+y-xy=1可变形为，（£÷2è2ø2(x+y)2æx+-1=3xy£3çè2yö÷，解得-2£x+y£2，当且仅当x=y=-1时，ø2x+y=-2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；x2+y2，解得x2+y2£2，当且仅当由x+y-xy=1可变形为(x+y)-1=xy£22222x=y=±1时取等号，所以C正确；yö3y3æ因为x2+y2-xy=1变形可得çx-÷+y2=1，设x-=cosq,y=sinq，所以2ø422è2x=cosq+12sinq,y=sinq，因此3352111x2+y2=cos2q+sin2q+sinqcosq=1+sin2q-cos2q+33333=42æπöé2ù+sinç2q-÷Îê,2ú，所以当x=3,y=-3时满足等式，但是x2+y2³1不33è6øë3û33成立，所以D错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X服从正态分布N2,s(2)，且P(22.5)=____________．【答案】0.14##7．5010【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为X:N2,s(2)，所以P(X<2)=P(X>2)=0.5，因此P(X>2.5)=P(X>2)-P(20和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x0,lnx0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x0，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；【详解】解：因为y=lnx，当x>0时y=lnx，设切点为(x0,lnx0)，由y¢=①.y=1xe②.y=-1xe11¢y|=，所以x=x0，所以切线方程为x0xy-lnx0=1(x-x0)，x0又切线过坐标原点，所以-lnx0=1(-x0)，解得x0=e，所以切线方程为x0y-1=11(x-e)，即y=x；ee11¢y|=当x<0时y=ln(-x)，设切点为(x1,ln(-x1))，由y¢=，所以，所以切线x=x1x1x方程为y-ln(-x1)=1(x-x1)，x11(-x1)，解得x1=-e，所以切线方程为x1又切线过坐标原点，所以-ln(-x1)=y-1=11(x+e)，即y=-x；-ee11故答案为：y=11x；y=-xee15.已知点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a的对称直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1存在公共点，则实数a的取值范围为________．【答案】ê,ú32【解析】【分析】首先求出点A关于y=a对称点A¢的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：A(-2,3)关于y=a对称的点的坐标为A¢(-2,2a-3)，B(0,a)在直线y=a上，所以A¢B所在直线即为直线l，所以直线l为y=22é13ùëûa-3x+a，即(a-3)x+2y-2a=0；-2圆C:(x+3)+(y+2)=1，圆心C(-3,-2)，半径r=1，依题意圆心到直线l的距离d=-3(a-3)-4-2a(a-3)2+22£1，即(5-5a)£(a-3)+22，解得2213é13ù£a£，即aÎê,ú；32ë32û故答案为：ê,ú32é13ùëûx2y216.已知椭圆+=1，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于63M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=23，则直线l的方程为___________．【答案】x+2y-22=0【解析】【分析】令AB的中点为E，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，利用点差法得到kOE×kAB=-1，2设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，求出M、N的坐标，再根据MN求出k、m，即可得解；【详解】解：令AB的中点为E，因为MA=NB，所以ME=NE，12x12y12x22y22设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则+=1，+=1，6363(x-x)(x+x)(y+y2)(y1-y2)=0x12x22y12y22所以-+-=0，即1212+1663363(y1+y2)(y1-y2)=-11所以设直线AB:y=kx+m，k<0，m>0，，即kOE×kAB=-，2(x1-x2)(x1+x2)2令x=0得y=m，令y=0得x=-mæmmöæmö,÷，，即Mç-,0÷，N(0,m)，所以Eç-kèkøè2k2øm122（舍去），即k´2=-，解得k=-或k=m222-2k又MN=23，即MN=所以直线AB:y=-m+2(2m)2，=23，解得m=2或m=-2（舍去）2x+2，即x+2y-22=0；2故答案为：x+2y-22=0四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知{an}为等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2-b2=a3-b3=b4-a4．13（1）证明：a1=b1；（2）求集合kbk=am+a1,1£m£500中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】【分析】（1）设数列{an}的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得m=2k-2，即可解出．【小问1详解】{}ìa1+d-2b1=a1+2d-4b1da设数列{n}的公差为d，所以，í，即可解得，b1=a1=，2îa1+d-2b1=8b1-(a1+3d)所以原命题得证．【小问2详解】由（1）知，b1=a1=亦即m=2k-2dk-1，所以bk=am+a1Ûb1´2=a1+(m-1)d+a1，即2k-1=2m，2Î[1,500]，解得2£k£10，所以满足等式的解k=2,3,4,L,10，故集合{k|bk=am+a1,1£m£500}中的元素个数为10-2+1=9．18.记VABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3，已知S1-S2+S3=（1）求VABC的面积；（2）若sinAsinC=【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）先表示出S1,S2,S3，再由S1-S2+S3=131,sinB=．232，求b．3283求得a2+c2-b2=2，结合余弦214定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；b2ac（2）由正弦定理得，即可求解.=2sinBsinAsinC【小问1详解】由题意得S1=123323232×a×=a,S2=b,S3=c，则224443232323，a-b+c=4442S1-S2+S3=a2+c2-b2即a+c-b=2，由余弦定理得cosB=则cosB>0，，整理得accosB=1，2ac222又sinB=1，322213212æ1ö则cosB=1-ç÷=，ac=；，则SVABC=acsinB==28cosB43è3ø【小问2详解】由正弦定理得：bac==，则sinBsinAsinC32bacac4=9，则b=3，b=3sinB=1.=×==sin2BsinAsinCsinAsinC4sinB22223219.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区15总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）44.65岁；（2）0.89；（3）0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】平均年龄x=(5´0.001+15´0.002+25´0.012+35´0.017+45´0.023+55´0.020+65´0.012+75´0.006+85´0.002)´10=44.65（岁）．【小问2详解】设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)´10=1-0.11=0.89．【小问3详解】设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得P(C|B)=P(BC)0.1%´0.023´100.001´0.23===0.0014375»0.0014．P(B)16%0.1620.如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB，AB^AC，E是PB的中点．16（1）求证：OE//平面PAC；（2）若ÐABO=ÐCBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、根据三角形全等得到OA=OB，PD，即可得到O为BD的中点从而得到OE//PD，即再根据直角三角形的性质得到AO=DO，可得证；（2）过点A作Az//OP，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【小问1详解】证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以PO^平面ABC，AO,BOÌ平面ABC，所以PO^AO、PO^BO，又PA=PB，所以△POA@△POB，即OA=OB，所以ÐOAB=ÐOBA，又AB^AC，即ÐBAC=90°，所以ÐOAB+ÐOAD=90°，ÐOBA+ÐODA=90°，所以ÐODA=ÐOAD所以AO=DO，即AO=DO=OB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以OE//PD，又OEË平面PAC，PDÌ平面PAC，所以OE//平面PAC17【小问2详解】解：过点A作Az//OP，如图建立平面直角坐标系，因为PO=3，AP=5，所以OA=AP2-PO2=4，又ÐOBA=ÐOBC=30°，所以BD=2OA=8，则AD=4，AB=43，所以AC=12，所以O23,2,0，B43,0,0，P23,2,3，C(0,12,0)，所以()()()3öæEç33,1,÷，2øèuuuræruuur3öuuu则AE=ç33,1,÷，AB=43,0,0，AC=(0,12,0)，2øè()v3ìvuuurnAExyz=0×=33++ï2设平面AEB的法向量为n=(x,y,z)，则í，令z=2，则uuuvvïnî×AB=43x=0ry=-3，x=0，所以n=(0,-3,2)；18v3ìvuuuurm×AE=33a+b+c=0ïAEC，令a=3，则设平面的法向量为m=(a,b,c)，则íuuu2vvïîm×AC=12b=0urc=-6，b=0，所以m=3,0,-6；()rurrur-12n×m43===-nmcos,rur所以1313´39nm设二面角C-AE-B为q，由图可知二面角C-AE-B为钝二面角，所以cosq=-11432，所以sinq=1-cosq=131311；13故二面角C-AE-B的正弦值为x2y221.设双曲线C:2-2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．ab（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上，且x1>x2>0,y1>0．过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.y2【答案】（1）x-=132（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c的值，利用渐近线方程求得a,b的关系，进而利用a,b,c的平方关系求得a,b的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由8k2③|AM|=|BM|等价分析得到x0+ky0=2；由直线PM和QM的斜率得到直线方程，k-319结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率m=化为ky0=3x0，由①M在直线AB上等价于ky0=k件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为F(2,0)，∴c=2,∵渐近线方程为y=±3x，∴∴c2=a2+b2=4a2=4，∴a=1，∴b=3．23x0，由②PQ//AB等价转y0(x0-2)，然后选择两个作为已知条b=3，∴b=3a，ay2∴C的方程为：x-=1；32【小问2详解】由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而x1=x2，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为y=k(x-2),则条件①M在AB上，等价于y0=k(x0-2)Ûky0=k两渐近线的方程合并为3x2-y2=0,2222联立消去y并化简整理得：k-3x-4kx+4k=02(x0-2)；()设A(x3,y3),B(x3,y4),线段中点为N(xN,yN),则x3+x42k26k,xN==2,yN=k(xN-2)=22k-3k-3设M(x0,y0),则条件③AM=BM等价于(x0-x3)+(y0-y3)=(x0-x4)+(y0-y4),移项并利用平方差公式整理得：202222é2x0-(x3+x4)ûù+(y3-y4)ëé2y0-(y3+y4)ù(x3-x4)ëû=0，y3-y4éùé2y0-(y3+y4)ùxxx2-++()34ûë0û=0,即x0-xN+k(y0-yN)=0,x3-x4ë8k2即x0+ky0=2；k-3由题意知直线PM的斜率为-3, 直线QM的斜率为3,∴由y1-y0=-3(x1-x0),y2-y0=3(x2-x0),∴y1-y2=-3(x1+x2-2x0),所以直线PQ的斜率m=3(x1+x2-2x0)y1-y2=-,x1-x2x1-x2直线PM:y=-3(x-x0)+y0,即y=y0+3x0-3x,代入双曲线的方程3x-y-3=0,即22(3x+y)(3x-y=3中，)得：y0+3x0é23x-y0+3x0ù=3,()ë()ûö1æ3+y0+3x0÷,解得P的横坐标：x1=çç÷23èy0+3x0ø同理：x2=-ö1æ3+y-x30÷，ç0÷y-x23ç30è0ø∴x1-x2=ö1æ3y03x0y,xx2x++-=--x0,ç20÷120222y0-3x03èy0-3x0ø∴m=3x0,y0∴条件②PQ//AB等价于m=kÛky0=3x0，综上所述：条件①M在AB上，等价于ky0=k2(x0-2)；条件②PQ//AB等价于ky0=3x0；218k2条件③AM=BM等价于x0+ky0=2；k-3选①②推③:2k28k2由①②解得：x0=2,∴③成立；,x0+ky0=4x0=2k-3k-3选①③推②：6k22k2由①③解得：x0=2，ky0=2，k-3k-3∴ky0=3x0，∴②成立；选②③推①：62k26k2由②③解得：x0=2，ky0=2，∴x0-2=2，k-3k-3k-3∴ky0=k2(x0-2)，∴①成立.22.已知函数f(x)=xeax-ex．（1）当a=1时，讨论f(x)的单调性；（2）当x>0时，f(x)<-1，求a的取值范围；（3）设nÎN，证明：*11+12+12+22+L+1n+n2>ln(n+1)．【答案】（1）f(x)的减区间为(-¥,0)，增区间为(0,+¥).（2）a£12（3）见解析【解析】【分析】（1）求出f¢x，讨论其符号后可得f(x)的单调性.()x（2）设h(x)=xe-e+1，求出h¢¢(x)，先讨论a>ax1时题设中的不等式不成立，再就201恒成立，从而可得ln(n+1)-lnn0时，f¢x>0，()()故f(x)的减区间为(-¥,0)，增区间为(0,+¥).【小问2详解】设h(x)=xe-e+1，则h(0)=0，axx又h¢(x)=(1+ax)e-e，设g(x)=(1+ax)e-e，axxaxx则g¢(x)=2a+axe-e，2axx()若a>1，则g¢(0)=2a-1>0，2因为g¢(x)为连续不间断函数，故存在x0Î(0,+¥)，使得\"xÎ(0,x0)，总有g¢x>0，()故g(x)在(0,x0)为增函数，故g(x)>g(0)=0，故h(x)在(0,x0)为增函数，故h(x)>h(0)=-1，与题设矛盾.若00，总有ln(1+x)0，总有x2xe-ex+1<0成立，21x2t=e，则t>1,t=ex,x=2lnt，21故2tlnt1恒成立.t所以对任意的nÎN*，有2lnn+1n+1n，<-nnn+11n+n12整理得到：ln(n+1)-lnn<，故11+12+12+22+L+n+n2>ln2-ln1+ln3-ln2+L+ln(n+1)-lnn=ln(n+1)，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.24
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