2024年3月18日发(作者：2021宝安中学三模数学试卷)
2023北京高三一模数学汇编
第二道解答题（第17题）
1
．（
2023·
北京海淀
·
统考一模）在
ABC
中，
bsin2A=3asinB
．
(1)
求
A
；
(2)
若
ABC
的面积为
33
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
ABC
存在
且唯一确定，求
a
的值．
条件①：
sinC=
b33
27
；条件②：
=
；条件③：
cosC=
7
c4
21
．
7
注：如果选择的条件不符合要求，第
(2)
问得
0
分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
2
．（
2023·
北京西城
·
统考一模）根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下
（单位：
cm
）：
立定跳远单项等级
优秀
良好
及格
不及格
从某校高三男生和女生中各随机抽取
12
名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到
1cm
）：
男生
180
高三男生 高三女生
194
及以上
260
及以上
245
~
259
180
~
193
150
~
179
205
~
244
204
及以下
149
及以下
205
213
220
235
245
250
195
258
196
261
196
270
197
275
208
280
220
女生
148
160
162
169
172
184
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
(1)
分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
(2)
从该校全体高三男生中随机抽取
2
人，全体高三女生中随机抽取
1
人，设
X
为这
3
人中立定跳远单项等
级为优秀的人数，估计
X
的数学期望
E
(
X
)
；
(3)
从该校全体高三女生中随机抽取
3
人，设
“
这
3
人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级
”
为事件
A
，
“
这
3
人的立定跳远单项至多有
1
个是优秀
”
为事件
B
．判断
A
与
B
是否相互独立．（结论不要求证明）
3
．（
2023·
北京东城
·
统考一模）甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进
行了
6
次测试，乙进行了
7
次测试
.
每次测试满分均为
100
分，达到
85
分及以上为优秀
.
两位同学的测试成
绩如下表：
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次数
同学
甲
乙
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次
80
76
78
81
82
80
86
85
95
89
93
96
—
94
(1)
从甲、乙两名同学共进行的
13
次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过
90
分的概率；
(2)
从甲同学进行的
6
次测试中随机选取
4
次，设
X
表示这
4
次测试成绩达到优秀的次数，求
X
的分布列及
数学期望
EX
；
(3)
从乙同学进行的
7
次测试中随机选取
3
次，设
Y
表示这
3
次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望
EY
与（
2
）中
EX
的大小
.
（结论不要求证明）
2
4
．（
2023·
北京朝阳
·
统考一模）设函数
f
(
x
)
=Asin
xcos
x+cos
x
(
A0,
0
)
，从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得
f
(
x
)
存在．
(1)
求函数
f
(
x
)
的解析式；
(2)
求
f
(
x
)
在区间
0,
上的最大值和最小值．
2
条件①：
f
(
x
)
=f
(
−x
)
；
条件②：
f
(
x
)
的最大值为
π
3
；
2
条件③：
f
(
x
)
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
π
．
2
注：如果选择的条件不符合要求，得
0
分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
5
．（
2023·
北京丰台
·
统考一模）如图，在四棱锥
P
−
ABCD
中，底面是边长为
2
的菱形，
AC
交
BD
于点
O
，
BAD=60
，
PB=PD
．点
E
是棱
PA
的中点，连接
OE
，
OP
．
(1)
求证：
OE//
平面
PCD
；
(2)
若平面
PAC
与平面
PCD
的夹角的余弦值为
知，求线段
OP
的长．
条件①：平面
PBD⊥
平面
ABCD
；
条件②：
PB⊥AC
．
15
，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已
5
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