高一数学必修一专题讲解:函数单调性

2024年3月25日发(作者：江西省中考数学试卷解)

高一数学必修一专题讲解：函数单调性

设计师：宁永辉

第一部分：函数单调性的定义

一、函数单调性的定义，如下表所示：

标准

定义

单调递增 单调递减

设函数

f(x)

的定义域为

A

，区间

IA

。 设函数

f(x)

的定义域为

A

，区间

IA

。

x

1

，x

2



区间

I

，当

x

1

x

2

时：满足

f(x

1

)f(x

2

)

，那么就称函数

f(x)

在

x

1

，x

2



区间

I

，当

x

1

x

2

时：满足

f(x

1

)f(x

2

)

，那么就称函数

f(x)

在

区间

I

上单调递增。

通俗

定义

区间

I

上单调递减。

在区间

I

上，函数

f(x)

的函数值随自变在区间

I

上，函数

f(x)

的函数值随自变

量的增大而增大，或者函数

f(x)

的函数量的增大而减小，或者函数

f(x)

的函数

值随自变量减小而减小，那么就称函数值随自变量减小而增大，那么就称函数

f(x)

在区间

I

上单调递增。

f(x)

在区间

I

上单调递减。

图象

定义

在区间

I

上，函数

f(x)

的图象从左向右在区间

I

上，函数

f(x)

的图象从左向右

运动时，同时从下到上运动，或者函数运动时，同时从上到下运动，或者函数

同时从左

f(x)

的图象从下到上运动时，

到右运动，那么就称函数

f(x)

在区间

I

上单调递增。

同时从右

f(x)

的图象从下到上运动时，

到左运动，那么就称函数

f(x)

在区间

I

上单调递减。

yf(x)

图象

表示

y

y

yf(x)

O

x

1

f(x

1

)

f(x

2

)

x

2

x

f(x

1

)

O

x

1

x

2

f(x

2

)

x

二、用函数单调性的定义推理一次函数，反比函数的单调性，如下表所示：

函数单调性

一次函数

f(x)kxb

的单调性：

函数单调性推理

推理：假设：

x

1

，

x

2



定义域

R

。规定：

x

1

x

2

。

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①当

k0

时：

f(x)kxb

在定义域

xR

上单调递增；

②当

k0

时：

f(x)kxb

在定义域

xR

上单调递减。

f(x)kxb

f(x

1

)kx

1

b

，

f(x

2

)kx

2

b

。

利用作差法比较

f

(

x

1

)

和

f(x

2

)

的大小：

f(x

1

)f(x

2

)(kx

1

b)(kx

2

b)kx

1

bkx

2

b

kx

1

kx

2

k(x

1

x

2

)

。

x

1

x

2

x

1

x

2

0

。

①当

k0

时：

k(x

1

x

2

)0f(x

1

)f(x

2

)0

f(x

1

)f(x

2

)

。

所以：

f(x)kxb

在定义域

xR

上单调递增。

②当

k0

时：

k(x

1

x

2

)0f(x

1

)f(x

2

)0

f(x

1

)f(x

2

)

。

所以：

f(x)kxb

在定义域

xR

上单调递减。

反比例函数

f(x)

（1）当

k0

时：

①

f(x)

k

的单调性：

x

推理：（1）假设：

x

1

，

x

2



(,0)

。规定：

x

1

x

2

。

f(x)

kkk

f(x

1

)

，

f(x

2

)

。

xx

1

x

2

k

在

x(,0)

上单调递减；

利用作差法比较

f

(

x

1

)

和f(x

2

)的大小：

x

kkkx

2

kx

1

kx

2

kx

1

f(x)f(x)

12

k

x

1

x

2

x

1

x

2

x

1

x

2

x

1

x

2

②

f(x)

在

x(0,)

上单调递减。

x

k(x

2

x

1

)



。

x

1

x

2

x

2

x

1

0

。

（2）当

k0

时：

x

1

x

2

k

①

f(x)

在

x(,0)

上单调递增；

x

1

，

x

2



(,0)

x

1

x

2

0

。

x

k(x

2

x

1

)

k

0f(x

1

)f(x

2

)0

①当时：

k0

②

f(x)

在

x(0,)

上单调递增。

x

1

x

2

x

f(x

1

)f(x

2

)f(x)

在

x(,0)

上单调递减。

②当

k0

时：

k(x

2

x

1

)

0f(x

1

)f(x

2

)0

x

1

x

2

f(x

1

)f(x

2

)f(x)

在

x(,0)

上单调递增。

（2）假设：

x

1

，

x

2



(0,)

。规定：

x

1

x

2

。

f(x

1

)f(x

2

)



k(x

2

x

1

)

。

x

1

x

2

x

2

x

1

0

。

x

1

x

2

x

1

，

x

2



(0,)

x

1

x

2

0

。

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