2018年湖南省中考数学试题及答案7套

2023年12月4日发(作者：2019学海导航数学试卷)

2018年湖南省中考数学试题及答案7套

（含湘潭市，湘西州，益阳市，永州市，岳阳市，张家界市，株洲市中考数学试题）

2018年湖南省湘潭市中考数学试卷

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8小题，每题3分，共24分）

1．（3分）﹣2的相反数是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．±2

2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

3．（3分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（ ）

A．15 B．150 C．200 D．2000

4．（3分）如图，点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（ ）

A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）

5．（3分）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形

6．（3分）下列计算正确的是（ ）

A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（﹣x2）3=x8 D．x6÷x2=x3

7．（3分）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

8．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）

A．m≥1

二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）

9．（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2= ．

10．（3分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B的概率是 ．

11．（3分）分式方程=1的解为 ．

B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1

12．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．

13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB= ． 14．（3分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）

15．（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．

16．（3分）阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3．根据材料填空：log39= ．

三、解答题（本题共10题，102分）

17．（6分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷．

．其中x=3．

19．（6分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：确到1海里）．

≈1.414，≈1.732，结果精 20．（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．

（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；

（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

21．（6分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．

（1）求该校的班级总数；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．

22．（6分）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于于点O．

（1）求证：△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数． 23．（8分）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

24．（8分）如图，点M在函数y=（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C．

（1）若点M的坐标为（1，3）．

①求B、C两点的坐标；

②求直线BC的解析式；

（2）求△BMC的面积．

25．（10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．

（1）若半圆的半径为10．

①当∠AOM=60°时，求DM的长；

②当AM=12时，求DM的长．

上的动点，且（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 26．（10分）如图，点P为抛物线y=x2上一动点．

2﹣1通过图象平移得到的，（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值．

2018年湖南省湘潭市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8小题，每题3分，共24分）

1．（3分）﹣2的相反数是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．±2

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2．

故选：A．

【点评】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】找出从几何体的正面看所得到的图形即可．

【解答】解：该几何体的主视图是三角形，

故选：C．

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象．

3．（3分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（ ） A．15 B．150 C．200 D．2000

【分析】用全校学生总人数乘以样本中体重超标的人数所占比例即可得．

【解答】解：估计全校体重超标学生的人数为2000×故选：B．

【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表=150人，

性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

4．（3分）如图，点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（ ）

A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质分析得出答案．

【解答】解：点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：（1，2）．

故选：A．

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

5．（3分）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（

） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形

【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；

【解答】解：连接AC、BD．AC交FG于L．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵DH=HA，DG=GC，

∴GH∥AC，HG=AC，

同法可得：EF=AC，EF∥AC，

∴GH=EF，GH∥EF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

同法可证：GF∥BD，

∴∠OLF=∠AOB=90°，

∵AC∥GH，

∴∠HGL=∠OLF=90°，

∴四边形EFGH是矩形．

故选：B．

【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

6．（3分）下列计算正确的是（ ）

A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（﹣x2）3=x8 D．x6÷x2=x3

【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则和积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误；

B、x2•x3=x5，正确；

C、（﹣x2）3=﹣x6，故此选项错误；

D、x6÷x2=x4，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

7．（3分）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．

【解答】解：∵一次函数y=x+b中k=﹣1＜0，b＞0，

∴一次函数的图象经过一、二、四象限，

故选：C．

【点评】主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．

一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；

②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．

8．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）

A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．

【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，

解得：m＜1．

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）

9．（3分）因式分解：a2﹣2ab+b2= （a﹣b）2 ．

【分析】根据完全平方公式即可求出答案．

【解答】解：原式=（a﹣b）2

故答案为：（a﹣b）2

【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．

10．（3分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B的概率是

【分析】根据概率公式解答即可．

【解答】解：∵物实验操作考试有4个考题备选，且每一个考题抽到的机会均等，

∴学生小林抽到考题B的概率是：．

故答案是：．

【点评】此题考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比．

11．（3分）分式方程=1的解为 x=2 ．

．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：两边都乘以x+4，得：3x=x+4，

解得：x=2， 检验：x=2时，x+4=6≠0，

所以分式方程的解为x=2，

故答案为：x=2．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

12．（3分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= 30° ．

【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC．

又点D是边BC的中点，

∴∠BAD=∠BAC=30°．

故答案是：30°．

【点评】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

13．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB= 60° ．

【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°，根据直角三角形的性质计算即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的切线，

∴∠OBA=90°，

∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，

故答案为：60°． 【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

14．（3分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 ∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE ．（任意添加一个符合题意的条件即可）

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断．

【解答】解：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD；

若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；

若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；

若∠C=∠CDE，则BC∥AD；

故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）

【点评】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

15．（3分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“匀股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 x2+32=（10﹣x）2 ．

【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．

【解答】解：设AC=x，

∵AC+AB=10，

∴AB=10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．

故答案为：x2+32=（10﹣x）2．

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．

16．（3分）阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3．根据材料填空：log39= 2 ．

【分析】由于32=9，利用对数的定义计算．

【解答】解：∵32=9，

∴log39=log332=2．

故答案为2．

【点评】本题考查了有理数的乘方：有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．

三、解答题（本题共10题，102分）

17．（6分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣．

【分析】原式利用绝对值的代数意义，乘方的意义，负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求出值．

【解答】解：原式=5+1﹣3﹣2=1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）先化简，再求值：（1+）÷．其中x=3．

【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分后进行乘式的乘法运算得到原式=x+2，然后把x=3代入计算即可．

【解答】解：（1+=×）÷

=x+2．

当x=3时，原式=3+2=5．

【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

19．（6分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：确到1海里）．

≈1.414，≈1.732，结果精

【分析】通过勾股定理得到线段PC的长度，然后解直角△BPC求得线段PB的长度即可．

【解答】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC．

∵AP=400海里，

∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2，

故PC=200海里．

又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，

∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．

答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6每里．

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用和解直角三角形的应用．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

20．（6分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．

（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；

（2）若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？

【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数；

（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；

（2）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，

所以他们两人恰好选修同一门课程的概率==．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

21．（6分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况道行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．

（1）求该校的班级总数；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．

【分析】（1）根据统计图中植树12颗的班级数以及所占百分比25%列出算式，即可求出答案；

（2）根据条形统计图求出植树11颗的班级数是4，画出即可；

（3）根据题意列出算式，即可求出答案．

【解答】解：（1）该校的班级总数=3÷25%=12，

答：该校的班级总数是12；

（2）植树11颗的班级数：12﹣1﹣2﹣3﹣4=2，如图所示：

（3）（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（颗），

答：该校各班在这一活动中植树的平均数约是12颗数．

【点评】本题考查了统计、条形图和扇形图，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．

22．（6分）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于于点O．

（1）求证：△DAF≌△ABE；

（2）求∠AOD的度数．

【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；

（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB， 在△DAF和△ABE中，∴△DAF≌△ABE（SAS），

，

（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，

∴∠ADF=∠BAE，

∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，

∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出△DAF≌△ABR是解本题的关键．

23．（8分）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．

（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？

（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

【分析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；

（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．

【解答】解：（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，

根据题意得，2x+3×3x=550，

∴x=50，

经检验，符合题意，

∴3x=150元，

即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；

（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，

根据题意得，意，∴≤y≤52，

， ∵y为正整数，

∴y为42，43，44，45，46，47，48，49，50，51，52，共11中方案；

即：温馨提示牌42个，垃圾箱58个，温馨提示牌43个，垃圾箱57个，温馨提示牌44个，垃圾箱56个，

温馨提示牌45个，垃圾箱55个，温馨提示牌46个，垃圾箱54个，温馨提示牌47个，垃圾箱53个，

温馨提示牌48个，垃圾箱52个，温馨提示牌49个，垃圾箱51个，温馨提示牌50个，垃圾箱50个，

温馨提示牌51个，垃圾箱49个，温馨提示牌52个，垃圾箱48个，

根据题意，费用为30y+150（100﹣y）=﹣120y+15000，

当y=52时，所需资金最少，最少是8760元．

【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．

24．（8分）如图，点M在函数y=（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C．

（1）若点M的坐标为（1，3）．

①求B、C两点的坐标；

②求直线BC的解析式；

（2）求△BMC的面积．

【分析】（1）把点M横纵坐标分别代入y=解析式得到点B、C坐标，应用待定系数法求BC解析式；

（2）设出点M坐标（a，b），利用反比例函数性质，ab=3，用a、b表示BM、MC，求△BMC的面积． 【解答】解：（1）①∵点M的坐标为（1，3）

且B、C函数y=（x＞0）的图象上

∴点C横坐标为1，纵坐标为1

点B纵坐标为3，横坐标为

∴点C坐标为（1，1），点B坐标为（，3）

②设直线BC解析式为y=kx+b

把B、C点坐标代入得

解得

∴直线BC解析式为：y=﹣3x+4

（2）设点M坐标为（a，b）

∵点M在函数y=（x＞0）的图象上

∴ab=3

由（1）点C坐标为（a，），B点坐标为（，b）

∴BM=a﹣∴S△BMC=，MC=b﹣

【点评】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、数形结合数学思想，解答过程中要注意用字母表示未知量，根据题意列出方程．

25．（10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．

（1）若半圆的半径为10．

①当∠AOM=60°时，求DM的长；

②当AM=12时，求DM的长．

（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，上的动点，且请说明理由．

【分析】（1）①当∠AOM=60°时，所以△AMO是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所以DM=OM=10；

②过点M作MF⊥OA于点F，设AF=x，OF=10﹣x，利用勾股定理即可求出x的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD的长度，进而可求出MD的长度．

（2）根据点M的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．

【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时，

∵OM=OA，

∴△AMO是等边三角形，

∴∠A=∠MOA=60°，

∴∠MOD=30°，∠D=30°，

∴DM=OM=10

②过点M作MF⊥OA于点F，

设AF=x，

∴OF=10﹣x，

∵AM=12，OA=OM=10，

由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2

∴x=∴AF=，

，

∵MF∥OD，

∴△AMF∽△ADO，

∴， ∴∴AD=

，

∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于连接BC，

∵C是的重点，

之间时，

∴∠B=45°，

∵四边形AMCB是圆内接四边形，

此时∠CMD=∠B=45°，

当点M位于连接BC，

由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°

综上所述，∠CMD=45°

之间时，

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

26．（10分）如图，点P为抛物线y=x2上一动点． 2﹣1通过图象平移得到的，（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值．

【分析】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式．

（2）①设出点P坐标，利用PM=PF计算BF，求得F坐标；

②利用PM=PF，将QP+PF转化为QP+QM，利用垂线段最短解决问题．

【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）

∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．

（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．

如图一，过点P作PB⊥y轴于点B

设点P坐标为（a，a2）

∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a

∴Rt△PBF中

BF=∴OF=1

∴点F坐标为（0，1）

②由①，PM=PF

QP+PF的最小值为QP+QM的最小值

当Q、P、M三点共线时，QP+QM有最小值为点Q纵坐标5．

∴QP+PF的最小值为5．

【点评】本题以二次函数为背景，考查了数形结合思想、转换思想和学生解答问题的符号意思．

2018年湖南省湘西州中考数学试卷

一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）

1．（4.00分）﹣2018的绝对值是 ．

2．（4.00分）分解因式：a2﹣9= ．

3．（4.00分）要使分式有意义，则x的取值范围为 ．

4．（4.00分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为 ．

5．（4.00分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为 ．

6．（4.00分）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是 ．（用科学计算器计算或笔算）

7．（4.00分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D= ． 8．（4.00分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是 ．

二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选项）

9．（4.00分）下列运算中，正确的是（ ）

A．a2•a3=a5 B．2a﹣a=2 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3b=5ab

10．（4.00分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

11．（4.00分）在某次体育测试中，九年级（1）班5位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据的众数为（ ）

A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81

12．（4.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C． D．

13．（4.00分）一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（ ）

A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）

14．（4.00分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

15．（4.00分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

16．（4.00分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）

A．1 B．﹣3 C．3 D．4

17．（4.00分）下列说法中，正确个数有（ ）

①对顶角相等；

②两直线平行，同旁内角相等；

③对角线互相垂直的四边形为菱形；

④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

18．（4.00分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）

A．10 B．8

C．4 D．4

三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）

19．（6.00分）计算：+（π﹣2018）0﹣2tan45°

20．（6.00分）解方程组：21．（8.00分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．

22．（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：

（1）求n的值；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．

23．（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．

（1）求景点B与C的距离；

（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

24．（8.00分）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．

（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

25．（12.00分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．

26．（22.00分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；

（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M\'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．

2018年湖南省湘西州中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题8小题，每小题4分，共32分）

1．（4.00分）﹣2018的绝对值是 2018 ．

【分析】根据绝对值的定义即可求得．

【解答】解：﹣2018的绝对值是2018．

故答案为：2018

【点评】本题主要考查的是绝对值的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．

2．（4.00分）分解因式：a2﹣9= （a+3）（a﹣3） ．

【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．

【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．

故答案为：（a+3）（a﹣3）．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

3．（4.00分）要使分式有意义，则x的取值范围为 x≠﹣2 ．

【分析】根据根式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：x+2≠0，

∴x≠﹣2

故答案为：x≠﹣2

【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型．

4．（4.00分）“可燃冰”作为新型能源，有着巨大的开发使用潜力，1千克“可燃冰”完全燃烧放出的热量约为420000000焦耳，数据420000000用科学记数法表示为 4.2×108 ．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：420000000=4.2×108． 故答案为：4.2×108

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

5．（4.00分）农历五月初五为端午节，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．小明妈妈买了3个红豆粽、2个碱水粽、5个腊肉粽，粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为 ．

【分析】根据题意和题目中的数据可以求得小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率．

【解答】解：由题意可得，

小明随意吃了一个，则吃到腊肉棕的概率为：故答案为：．

【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．

6．（4.00分）按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是 2 ．（用科学计算器计算或笔算）

，

【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．

【解答】解：将x=2代入得：3×（2）2﹣10=12﹣10=2．

故答案为：2．

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

7．（4.00分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D= 60° ．

【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD=60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．

【解答】解：∵DA⊥CE，

∴∠DAE=90°，

∵∠EAB=30°， ∴∠BAD=60°，

又∵AB∥CD，

∴∠D=∠BAD=60°，

故答案为：60°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

8．（4.00分）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是 1 ．

【分析】根据新定义可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结论．

【解答】解：∵3※x=3x﹣3+x﹣2＜2，

∴x＜，

∵x为正整数，

∴x=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出x＜是解题的关键．

二、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分，每个小题所给四个选项只有一个正确选项）

9．（4.00分）下列运算中，正确的是（ ）

A．a2•a3=a5 B．2a﹣a=2 C．（a+b）2=a2+b2 D．2a+3b=5ab

【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、a2•a3=a5，正确；

B、2a﹣a=a，错误；

C、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；

D、2a+3b=2a+3b，错误；

故选：A．

【点评】此题主要考查了整式的运算能力，对于相关的整式运算法则要求学生很熟练，才能正确求出结果．

10．（4.00分）如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据圆锥体的三视图即可得．

【解答】解：圆锥体的主视图是等腰三角形，

故选：C．

【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三视图．

11．（4.00分）在某次体育测试中，九年级（1）班5位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10．这组数据的众数为（ ）

A．2.30 B．2.10 C．1.98 D．1.81

【分析】根据众数的概念解答．

【解答】解：在数据1.8l，1.98，2.10，2.30，2.10中，2.10出现2次，出现的次数最多，

∴这组数据的众数是2.10，

故选：B．

【点评】本题考查的是众数的确定，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．

12．（4.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】先定界点，再定方向即可得．

【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示如下： 故选：C．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

13．（4.00分）一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（ ）

A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）

【分析】代入x=0求出y值，进而即可得出发一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标．

【解答】解：当x=0时，y=x+2=0+2=2，

∴一次函数y=x+2的图象与y轴的交点坐标为（0，2）．

故选：A．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入x=0求出y值是解题的关键．

14．（4.00分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：D选项的图形是轴对称图形，A，B，C选项的图形不是轴对称图形．

故选：D．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

15．（4.00分）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定

【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．

【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，

∴直线和圆相切． 故选：B．

【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．

16．（4.00分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）

A．1 B．﹣3 C．3 D．4

【分析】设方程的另一个解为x1，根据两根之和等于﹣，即可得出关于x1的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设方程的另一个解为x1，

根据题意得：﹣1+x1=2，

解得：x1=3．

故选：C．

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．

17．（4.00分）下列说法中，正确个数有（ ）

①对顶角相等；

②两直线平行，同旁内角相等；

③对角线互相垂直的四边形为菱形；

④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．

【解答】解：①对顶角相等，故①正确；

②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；

③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；

④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，

故选：B．

【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键．

18．（4.00分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）

A．10 B．8 C．4 D．4

【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．

【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AB，

又∵CD∥AB，

∴AO⊥CD，记垂足为E，

∵CD=8，

∴CE=DE=CD=4，

连接OC，则OC=OA=5，

在Rt△OCE中，OE=∴AE=AO+OE=8，

则AC=故选：D．

==4==3，

，

【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．

三、解答题（本大题8小题，共78分，每个题目都要求写出计算或证明的主要步骤）

19．（6.00分）计算：+（π﹣2018）0﹣2tan45°

【分析】原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

【解答】解：原式=2+1﹣2=1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（6.00分）解方程组：

【分析】①+②求出x，把x=2代入①求出y即可．

【解答】解：①+②得：4x=8，

解得：x=2，

把x=2代入①得：2+y=3，

解得：y=1，

所以原方程组的解为．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．

21．（8.00分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．

（1）求证：△ADE≌△BCE；

（2）若AB=6，AD=4，求△CDE的周长．

【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．

【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠A=∠B=90°．

∵E是AB的中点，

∴AE=BE．

在△ADE与△BCE中，

， ∴△ADE≌△BCE（SAS）；

（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE=EC．

在直角△ADE中，AE=4，AE=AB=3，

由勾股定理知，DE===5，

∴△CDE的周长=2DE+AD=2DE+AB=2×5+6=16．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

22．（8.00分）中华文化源远流长，在文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中抽取n名学生进行调查．根据调查结果绘制成如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：

（1）求n的值；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有2000名学生，请估计该校四大古典名著均已读完的人数．

【分析】（1）由读完3部的人数乘以占的百分比求出n的值即可；

（2）求出读完2部的人数，补全条形统计图即可；

（3）求出读完4部的百分比，乘以2000即可得到结果．

【解答】解：（1）根据题意得：30÷30%=100（人），

则n的值为100；

（2）四大古典名著你读完了2部的人数为100﹣（5+15+30+25）=25（人），

补全条形统计图，如图所示： （3）根据题意得：25%×2000=500（人），

则该校四大古典名著均已读完的人数为500人．

【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．

23．（8.00分）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．

（1）求景点B与C的距离；

（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）

【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和定理求出∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，则∠CAB=∠C=30°，根据等角对等边求出BC=AB=10km．；

（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，然后在Rt△CBE中，求得答案．

【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，

∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，

∴∠CAB=∠C=30°，

∴BC=AB=10km，

即景点B、C相距的路程为10km．

（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，

∴∠CBE=60°，

在Rt△CBE中，CE=km．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，比较简单．涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识．根据条件得出∠CAB=∠C是解题的关键．

24．（8.00分）反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，3）、B（3，m）．

（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

【分析】（1）先把A点坐标代入y=求出k得到反比例函数解析式；然后把B（3，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；

（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．

【解答】解：（1）把A（1，3）代入y=得k=1×3=3，

∴反比例函数解析式为y=；

把B（3，m）代入y=得3m=3，解得m=1，

∴B点坐标为（3，1）；

（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣3），

∵PA+PB=PA′+PB=BA′，

∴此时此时PA+PB的值最小，

设直线BA′的解析式为y=mx+n，

把A′（1，﹣3），B（3，1）代入得，解得， ∴直线BA′的解析式为y=2x﹣5，

当y=0时，2x﹣5=0，解得x=，

∴P点坐标为（，0）．

【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问题．

25．（12.00分）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？

（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．

【分析】（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；

（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；

（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；

（2）∵100﹣x≤2x，

∴x≥，

∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，

∴y随x的增大而减小，

∵x为正数，

∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，

答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；

（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，

33≤x≤60

①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，

∴当x=34时，y取最大值，

即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．

②a=100时，a﹣100=0，y=50000，

即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；

③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，

∴当x=60时，y取得最大值．

即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．

【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．

26．（22.00分）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；

（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M\'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．

【分析】（1）应用待定系数法；

（2）利用相似三角形性质分类讨论求解；

（3）由已知直线l′与x轴所夹锐角为45°，△EMN为等腰直角三角形，当沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形，表示点N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；

（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线l′，△M\'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．

【解答】解：（1）由已知点B坐标为（5，5）

把点B（5，5），A（3，0）代入y=ax2+bx，得

解得

∴抛物线的解析式为：y= （2）由（1）抛物线对称轴为直线x=，则点C坐标为（，）

∴OC=，OB=5

当△OBA∽△OCP时，

∴∴OP=

当△OBA∽△OPC时，

∴∴OP=5

∴点P坐标为（5，0）或（，0）

（3）设点N坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c

∵直线l′y=x+c与x轴夹角为45°

∴△MEN为等腰直角三角形．

当把△MEN沿直线l′折叠时，四边形ENE′M为正方形

∴点′E坐标为（a﹣b，b）

∵EE′平行于x轴

∴E、E′关于抛物线对称轴对称

∵∴b=2a﹣3

则点N坐标可化为（a，2a﹣3）

把点N坐标带入y=得：

2a﹣3=解得

a1=1，a2=6

∵a=6时，b=2a﹣3=﹣9＜0

∴a=6舍去

则点N坐标为（1，﹣1）

把N坐标带入y=x+c

则c=﹣2

∴直线l′的解析式为：y=x﹣2

（4）由（3）K点坐标为（0，﹣2）

则△MOK为等腰直角三角形

∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线l′

∴当M′K′=M′F时，△M\'FK′为等腰直角三角形

∴F坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）

【点评】本题时代数几何综合题，考查了二次函数待定系数法及其轴对称性、三角形相似以及等腰三角形的判定．解答过程中注意应用直线y=x与x轴正向夹角为45°这个条件．

2018年湖南省益阳市中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选中，只有一项是符题目要求的

1．（4分）2017年底我国高速公路已开通里程数达13.5万公里，居世界第一，将数据135000用科学记数法表示正确的是（ ）

A．1.35×106 B．1.35×105 C．13.5×104 D．13.5×103

2．（4分）下列运算正确的是（ ）

A．x3•x3=x9 B．x8÷x4=x2

3．（4分）不等式组C．（ab3）2=ab6 D．（2x）3=8x3

的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A． D． B．

C．4．（4分）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A．棱柱 B．圆柱 C．棱锥 D．圆锥

5．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）

A．∠AOD=∠BOC B．∠AOE+∠BOD=90°

C．∠AOC=∠AOE D．∠AOD+∠BOD=180°

6．（4分）益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表：

文化程度

人数

高中

9

大专

17

本科

20

硕士

9

博士

5

关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是（ ）

A．众数是20 B．中位数是17 C．平均数是12 D．方差是26

7．（4分）如图，正方形ABCD内接于圆O，AB=4，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．4π﹣16 B．8π﹣16 C．16π﹣32 D．32π﹣16

8．（4分）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（ ）

A．300sinα米 B．300cosα米 C．300tanα米 D．米 9．（4分）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）

A．40×1.25x﹣40x=800 B．C．﹣=40 D．﹣﹣=40

=40

10．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．ac＜0

B．b＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＜0

二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分

11．（4分）计算：×= ．

12．（4分）因式分解：x3y2﹣x3= ．

13．（4分）2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 ．

14．（4分）若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．

15．（4分）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C= 度．

16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别为AB、BC、AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC，②四边形ADEF为菱形，③S△ADF：S△ABC=1：4．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）

17．（4分）规定：a⊗b=（a+b）b，如：2⊗3=（2+3）×3=15，若2⊗x=3，则x= ．

18．（4分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3．按以下步骤作图：

①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；

②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；

③作射线AE；

④以同样的方法作射线BF．

AE交BF于点O，连接OC，则OC= ．

三、解答题：本题共8小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

19．（8分）计算：|﹣5|﹣20．（8分）化简：（x﹣y++（﹣2）2+4÷（﹣）．

）•．

21．（8分）如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：AM∥CN．

22．（10分）2018年湖南省进入高中学习的学生三年后将面对新高考，高考方案与高校招生政策都将有重大变化．某部门为了了解政策的宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息完成下列问题：

（1）求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；

（2）求扇形统计图中的A等对应的扇形圆心角的度数；

（3）已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度达到A等的学生有多少人？

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（﹣2，﹣1），其中有两点同时在反比例函数y=的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C．

（1）求出k的值；

（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上的一个动点，直接写出PC+PD的最小值（不必说明理由）．

24．（10分）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低，马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元．A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元/件）如下表所示：

品种

原运费

A

45

B

25 现运费

30

20

（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？

（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的产品总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？

25．（12分）如图1，在矩形ABCD中，E是AD的中点，以点E为直角顶点的直角三角形EFG的两边EF，EG分别过点B，C，∠F=30°．

（1）求证：BE=CE；

（2）将△EFG绕点E按顺时针方向旋转，当旋转到EF与AD重合时停止转动，若EF，EG分别与AB，BC相交于点M，N（如图2）．

①求证：△BEM≌△CEN；

②若AB=2，求△BMN面积的最大值；

③当旋转停止时，点B恰好在FG上（如图3），求sin∠EBG的值．

26．（12分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣n（n＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C．

（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求n的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标；

（3）如图2，过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若AE：ED=1：4，求n的值．