数学周报杯全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题

题

号

得

分

评卷

人

复查

人

答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.

2．解答书写时不要超过装订线.

3．草稿纸不上交.

一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小

题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选

项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或

错填都得0分〕

1．实数

x，y

满足

42

42

3，yy3

，那么的值为〔 〕．

42

xx

一

1～5

二

6～

10

11

三

12

13

14

总 分

〔A〕7 〔B〕 〔C〕 〔D〕5

2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的

正方体骰子先

后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为

m

，

n

，那么二次函数

第 1 页

yx

2

mxn

的图象及

x

轴有两个不同交点的概率是〔 〕．

54171

〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕

129362

3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个

不同的点，那么这6个点可确定的不同直线最少有( )．

〔A〕6条 〔B〕 8条 〔C〕10条 〔D〕

12条

4．

AB

是半径为1的圆

O

的一条弦，且

ABa1

．以

AB

为一边在

圆

O

内作正△

ABC

，点

D

为圆

O

上不同于点

A

的一点，且

DBABa

，

．

DC

的延长线交圆

O

于点

E

，那么

AE

的长为〔 〕

〔A〕

53

a

〔B〕1 〔C〕

〔D〕

a

22

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，

且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，

那么满足要求的排法有〔 〕．

〔A〕2种 〔B〕3种 〔C〕4种 〔D〕5

种

二、填空题〔共5小题，每题6分，总分值30分〕

6．对于实数

u

，

v

，定义一种运算“*〞为：

uvuvv

．假设关

于

x

的方程有两个不同的实数根，那么满足条件的实数

a

的取值范围

是 ．

7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路

公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路

公交车行驶速度一样，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，

第 2 页

那么发车间隔的时间是 分钟．

8．如图，在△

ABC

中，

AB

=7，

AC

=11，点

M

是

BC

的中点，

AD

是∠

BAC

的平分线，

MF

∥

AD

，那么

FC

的长为 ．

9．△

ABC

中，

AB

＝7，

BC

＝8，

CA

＝9，

过△

ABC

的内切圆圆心

I

作

DE

∥

BC

，分别及

AB

，

AC

相交于点

D

，

E

，那么

DE

的长为 ．

10．关于

x

，

y

的方程

x

2

y

2

208(xy)

的所有正整数解

为 ．

三、解答题〔共4题，每题15分，总分值60分〕

11.在直角坐标系

xOy

中，一次函数

ykxb

（k0）

的图象及

x

轴、

y

轴的正半轴分别交于

A

，

B

两点，且使得△

OAB

的面积值等

于

OAOB3

．

（1）

用

b

表示

k

；

（2）

求△

ABC

面积的最小值．

12.是否存在质数

p

，

q

，使得关于

x

的一元二次方程

有有理数根？

13.如图，△

ABC

的三边长

BCa，CAb，ABc

，

a，b，c

都是整

数，且

a，b

的最大公约数为

2

．点

G

与点

I

分别为△

ABC

的重心与内

心，且

GIC90

．求△

ABC

的周长．

14.从1，2，…，9中任取

n

个

数，其中一定可以找到假设干个数〔至

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〔第13题〕

少一个，也可以是全部〕，它们的与能被10整除，求

n

的最小值．

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“?数学周报?杯〞2021年全国初中数学竞赛试题参考答案

题

号

得

分

评卷

人

复查

人

答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答.

2．解答书写时不要超过装订线.

3．草稿纸不上交.

一、选择题〔共5小题，每题6分，总分值30分. 以下每道小

题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选

项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或

错填都得0分〕

1．实数

x，y

满足

42

42

3，yy3

，那么的值为〔 〕．

42

xx

一

1～5

二

6～

10

11

三

12

13

14

总 分

〔A〕7 〔B〕 〔C〕 〔D〕5

【答】〔A〕

第 4 页

解：因为

x

2

0

，

y

2

≥0，由条件得

所以

7．

2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的

正方体骰子先

后投掷2次，假设两个正面朝上的编号分别为

m

，

n

，那么二次函数

yx

2

mxn

的图象及

x

轴有两个不同交点的概率是〔 〕．

54171

〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕

129362

【答】〔C〕

解：根本领件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由

题意知



＝

m

2

4n

＞0，即

m

2

＞4

n

.

通过枚举知，满足条件的

m，n

有17对. 故.

3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个

不同的点，那么这6个点可以确定的不同直线最少有( )．

〔A〕6条 〔B〕 8条 〔C〕10条 〔D〕

12条

【答】〔B〕

解：如图，大圆周上有4个不同的点

A

，

B

，

C

，

D

，两两连线

可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点

E

，

F

中，至少有一个

不是四边形

ABCD

的对角线

AC

及

BD

的交点，那么它及

A

，

B

，

C

，

D

的连线中，至少有两条不同于

A

，

B

，

C

，

D

的两两连线．从而这

6个点可以确定的直线不少于8条．

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当这6个点如下图放置时，恰好可以确定8条直线．

所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．

4．

AB

是半径为1的圆

O

的一条弦，且

ABa1

．以

AB

为一边在

圆

O

内作正△

ABC

，点

D

为圆

O

上不同于点

A

的一点，且

DBABa

，

．

DC

的延长线交圆

O

于点

E

，那么

AE

的长为〔 〕

〔A〕

53

a

〔B〕1 〔C〕

〔D〕

a

22

【答】〔B〕

解：如图，连接

OE

，

OA

，

OB

． 设

D



，那么

又因为

所以

△ACE

≌

△ABO

，于是

AEOA1

．

〔第4

5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，

题〕

且使得其中任意连续三个数之与都能被这三个数中的第一个数整除，

那么满足要求的排法有〔 〕．

〔A〕2种 〔B〕3种 〔C〕4种 〔D〕5

种

【答】〔D〕

解：设

a

1

，a

2

，a

3

，a

4

，a

5

是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．

首先，对于

a

1

，a

2

，a

3

，a

4

，不能有连续的两个都是偶数，否那么，

这两个之后都是偶数，及条件矛盾．

又如果

a

i

〔1≤

i

≤3〕是偶数，

a

i1

是奇数，那么

a

i2

是奇数，这说

明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数

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