2024年4月11日发(作者：中考数学试卷推荐资料)
变幻莫测的二次函数
——浅议a,b,c对二次函数的影响
早在初中时，我们就已经接触了二次函数。我们学习了二次函数
的三种解析式，即一般式y=ax
2
+bx+c，顶点式y=a(x-h)
2
+k,以及两根
式y=a(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
)，但我们只是懂得运用它们来求点的坐标，画出
图象，却不明白这些a,b,c,h,k究竟有什么联系，它们的微小改变又会
怎样影响图象。下面我就要对二次函数中的a,b,c进行探究。
一、 顶点式中的h,k是什么？
二次函数的最基本的解析式是y=ax
2
+bx+c，通过配方法可以配出
y=a（x+
b
2a
）+
4ac-b
2
4a
以及它的顶点坐标（
-
2a
，
4a
） 。为了方便记
b
4ac-b
2
忆，将用h,k来代替表示坐标点。所以就有了y=a(x-h)
2
+k。
二、 a,b,c对于二次函数性质的影响
函数的性质有增减性和奇偶性。
1， 单调性
当a＞0时，抛物线开口向上（此时b,c为零）。这时，图象在（-
∞，0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增
y=x
2
y=-x
2
当a﹤0时，抛物线开口向下.（此时b,c为零）。则与a＞0相反。
可以看出，此时二次函数以y轴为对称轴
-
b
2a
当b≠0时
y= x
2
+x
此时b=1，图象关于x=-1对称。图象在（-∞，-1）上单调递减，
在（-1，∞）上单调递增
当c≠0时
y= x+x+1
2
此时c=1，图象关于x=-1对称。图象在（-∞，-1）上单调递减，
在（-1，∞）上单调递增
经过反复代值发现，图象的单调性与对称轴有关。即当a＞0时，
图像在对称轴左侧单调递减，在右侧单调递增。
当a﹤0时，图像在对称轴左侧单调递增，在右侧单调递减。
因为对称轴即为 ，
2a
，所以图象单调性与a,b有关。
2.奇偶性
-
b
当对称轴为y轴时，函数为偶函数。
当对称轴不是y轴时，函数是非奇非偶函数。
因为对称轴即为
2a
，所以图象奇偶性与b有关。
三、 a,b,c对于二次函数图象的影响
y= x
-
b
2
y=- x
2
a与图象的开口方向有关。当a＞0时，开口方向向上。当a﹤0
时，开口方向向下。
y= x
2
+1
c与图象与y轴的交点有关。c即与y轴的交点。
y= x+x
2
当a＞0，b＞0时，对称轴在y轴左侧
当a＞0，b﹤0时，对称轴在y轴右侧
当a﹤0，b＞0时，对称轴在y轴右侧
当a﹤0，b﹤0时，对称轴在y轴左侧
口诀：左同右异（a,b都＞0或都＜0时，对称轴在y轴左侧；a,b有
一个＞0，另一个＜0时，对称轴在y轴右侧）。
所以，在a与b的共同作用下，图象在对称轴上平移。
二次函数的知识绝不仅仅是这些，以上只是简单地对二次函数做了分
析，真正想要仔细地研究二次函数，还需要我们不断的探究与学习。
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