2023年12月27日发(作者：商丘柘城中考数学试卷)

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第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案

第1章

习题1.1

⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？

（1）y33x与y=x2 是同一函数 （2）yx与y=x是同一函数

函数、极限与连续

2x1不是同一函数 （4）（3）yx1与y=y2lnx与y=lnx2不是同一函数

x1

⒉指出下列函数的定义域.

（1）f(x)（3）f(x)413x4的定义域是[,) （2）f(x)ln的定义域是(,1)

31xln(x21)的定义域是(,2][2,)

1e（4）f(x)arcsin(lnx)的定义域是[,e]

（5）若f(x)的定义域是[4,4]，则f(x)的定义域是[2,2]

（6）若f(x)的定义域是[0,3a]，则f(xa)f(xa)的定义域是[a,2a]

3.判别下列函数的奇偶性.

（1）fxxsinx是奇函数 （2）数

（3）fxx2x是非奇非偶函数 （4）fxlg1x是奇函数

2fxxcosx是奇函1x（5）fxcos(sinx)是偶函数 （6）fxsinx是偶函数

x（7）fxln(x21x)是奇函数 （8）fxcosx是偶函数

1x2⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的.

（1）ysinx在其定义域内不是单调的

（2）yarcsinx在其定义域内是单调递增的

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（3）yx2x在其定义域内不是单调的

（4）a0时，y

a0时，y

a0时，yeax在其定义域内是单调的，其中

eax在其定义域内是单调递减的，

eax在其定义域内是单调递增的

5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界.

（1）y1x在区间(1,)上有界

（2）yln(2x1)在区间(1,10)上有界

（3）yx在区间(3,4)上有界

（4）ysinx在区间(,0),(,),(1,1)上分别有界

6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期.

（1）y3sin3x是周期函数，最小正周期是2

3（2）ycosx是周期函数，最小正周期是

（3）ytan2x是周期函数，最小正周期是

2（4）yln(cosx2)是周期函数，最小正周期是

7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.

（1）f(u)arcsin(2u),ux不可以构成复合函数

（2）f(u)ln(1u),usin2x不可以构成复合函数

21不可以构成复合函数

2x22x（4）f(u)arccosu,u可以构成复合函数

1x2（3）f(u)u,uln8.将下列复合函数进行分解.

（1）对复合函数f(x)（2）对复合函数f(x)ex23x4的分解结果是：f(x)u,ux23x4

2x3的分解结果是：f(x)e,u2x3

u（3）对复合函数f(x)ln(2x3)的分解结果是：f(x)lnu,u2x3

（4）对复合函数f(x)arcsin(x1)的分解结果是：f(x)accsinu,ux1

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9.求函数值或表达式.

（1）已知函数f(x)x2x1sinx0,则f(2)0,f(2)-4,f(0)2,f(x2)x22x21.

（2）已知函数f(x),x12,则f(1)0,f(),f()0.

42,x1121.

22（3）已知函数f(x)sinx,则f(arcsin)-（4）已知函数f(sinx)cos2x，则f(x)12x,x1,1

习题1.2

1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限.

（1）xn:1,1131517lim0 有极限，,,,,, 没有极限 （2）xnn23456nn（3）xnsinnnnn没有极限 （4）xn(1)3有极限，lim[(1)n3]0

n2n1n12.分析下列函数的变化趋势，求极限

（1）lim11lim0 （2）0xxx2x1（3）limln(x2) （4）limx2x32

xx23.图略，limf(x)不存在

x04.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？

（1）x0时，100x是无穷小量 （2）x0时，22x是无穷大量

（3）x时，x1x是无穷小量 （4）x时，e是无穷大量

2x1nn2sinx（5）n时，(1)是无穷大量 （6）x时，是无穷小量

n3x（7）x时，sin5.已知函数f(x)1x是无穷小量 （8）x0时，21是无穷小量

xx1，则f(x)在x或x或x的过程中是无2(x3)穷小量，在x3或x3或x3的过程中是无穷大量？

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6. 当x1时，无穷小1x与下列无穷小是否同阶？是否等价？

（１）当x1时，无穷小1x与无穷小1x同阶，但不等价

（２）当x1时，无穷小1x与无穷小

31(1x2)同阶，而且等价

2习题1.3

1.设函数f(x)x，则limt0f(xt)f(x)1

t2xx21,x22.设函数f(x)，则limf(x)5,limf(x)5,limf(x)5.

x2x2x22x1,x23.求下列各式的极限：

x232（1）lim(2xx5)15 （2）lim4

x1xx21x2322x2x252 （3）lim(1) （4）lim2xx4x0x3311x2112n1（5）lim （6）

lim()22x0nn22x22nn（7）limxx22x21x311 （8）lim3

x1xx12（9）limx(9x13x)x2xx11 （10）limx11x6(x1)10(2x3)10210（11）lim20

x(3x5)203x2ax65，则a7. 4.已知limx1x(xkxx)2，则k4.

x26.求下列极限：

（1）limsin5x5tan2xsinx （2）lim1

x0sin2xx02x优质.参考.资料

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cosxcos3xtan(2xx3)（3）lim4 （4）lim2

22x0x0xsin(xx)1xsinx1 （6）lim0

xx0xxsinx2arcsinx2tanxsinx1（7）lim （8）lim

3x0x03x32x（5）limxsin7.求下列极限：

（1）lim(1x42x2)e8 （2）lim(1)x1e2

xxx223xxx1x1)e3 （4）lim(（3）lim()e2

x0xx13（5）lim(1lnx)x15lnxe5 （6）lim(1cosx)secxe

x28.用等价无穷小替换计算下列各极限：

arctan6x4x2 （2）lim2x2

x0x0e3x11cos2xln(12x)（3）lim （4）2lim2

2xx0x0xe1（1）lim习题1.4

x21,x1，则1.设函数f(x)x1,x13f(x)在x1处不连续．

2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？

（1）函数f(x)1的间断点有点x1和点x1，它们都是第二类间断点中的2x11x无穷间断点

（2）函数f(x)e的间断点有点x0，它是第二类间断点

x21（3）函数f(x)的间断点有点x0和点x1，其中点x0是第二类间断(x1)x点中的无穷间断点，点x1是第一类间断点

x21,x1的间断点有点x1，它是第一类间断点中的（4）函数f(x)x1,x10可去间断点

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x22,x0（5）函数f(x)的间断点有点x0，它是第一类间断点中的跳x,x02跃间断点

x24,x2的间断点有点x2，它是第一类间断点中的可（6）函数f(x)x2,x23去间断点

sinx,x0x3.设函数f(x)k,x0，当k1时，函数f(x)在其定义域内是连续xsin11,x0x的.

4.求下列极限：

x2x （2）limlgsinx0 （1）limarccosx124x2esinx1ln(1x)lnx0 （4）lim（3）limcosxln2

x0ex12x（5）lim（7）limxx4x211xx （6）lim1

x122x2x1lnx1 （8）limarctanx

xexx1e45.（略） 6.（略）

复习题1

一、单项选择题

1.下列函数中（C）是初等函数.

（A）yarcsin(x2) （B）f(x)20xQ

1xQx20x1（C）yx1 （D）f(x)

x1x122.下列极限存在的是（B）.

x311（A）lim4 （B）lim （C） （D）

limsinlimlnxx3x31xx1x0x1x优质.参考.资料

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3.当x0时，tanx与下列（D）不是等价无穷小.

（A）tanx （B）x （C）sinx （D）cosx

4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B）.

（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件

5.已知lim22222sinax2,则常数a（C）.

x0x（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

6.闭区间[a,b]上的连续函数yf(x)在[a,b]上一定是（C）.

（A）单调函数 （B）奇函数或偶函数（C）有界函数 （D）周期函数

二、填空题

1.设f(x)1xx0， 则f(2) 4 .

x0x2352.函数ycos3x是由简单函数

yu,ucosv,v3x 复合而成的.

3.点x1是函数f(x)x1,x1 的第一类间断点中的跳跃 间断点.

3x,x1x4.当x

 时，函数y3是无穷小.

225.极限

lim1=

e .

xx6.函数yln(4x)三、计算下列极限

xx1的连续区间为

1,4 .

x23x24=0 不存在

2x2x2x3xx1x25x6x22

 2x3x8x15x12xx12x48x1x2x 不存在

1 x(x2)2x21x233x21(3cosx)=0 3xx16x1优质.参考.资料

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cosx1cos11

 0sinx2ln(1x)11121 (3)

x0sin2xx2x222x2x)(1x0x122e (1)

e1

xx3x1lim15.x0x四、综合题

x1

e (xx1x)

e2

x1x210x11.函数f(x)在点x1处不连续，在点x2处连续，函数的图像x1x1略。

exx02.设函数f(x)1x0sinxx0xf(x)=1,f(x)在点x0处连续。 则limx0sinkx,x02x3.设函数f(x)，当k,a为任意实数时，f(x)在x52ax,x05

0处连续。4.（略）

第2章 导数与微分

习题2.1

1. 已知质点作直线运动方程为st3，则该质点在t5时的瞬时速度为10.

2.用函数f(x)在x0的导数f(x0)表示下列极限:

（1）lim（3）lim2x0f(x02x)f(x0)f(x0x)f(x0)f(x0)2f(x0) （2）lim

x0x2x2f(x0)f(x)f(x0t0)f(x0t0)f(x0)

2f(x0)（4）limxx0t0xx0t00优质.参考.资料

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3.利用基本公式xexe11，求下列函数的导数:

134（1）yx,则yex13 （2）yx,则yx

35（3）y31x则yx6 （4）y6x1x，则yx8

874.求下列曲线在指定点处的切线方程和法线方程：

（1）yx在点1,1处的切线方程3xy20，法线方程为x3y40

3（2）ylnx在点e,1处的切线方程xey0，法线方程为exy1e0

2（3）ycosx在点(6,3)处的切线方程6x12y630，法线方程为212x6y3320

5.在曲线yx上点（6，36）处的切线平行于直线y12x1，(,垂直于直线3xy10

211)处的法线6366.函数f(x)x2,0x1在点x1处不可导，因为f(1)不存在

x13x1,习题2.2

1.求下列函数的导数:

a1x（1）yxalnxcosxe的导数yaxalnaax21sinx

x11312（2）y2xxx的导数yx2xx2

2x1113121)的导数yxx2 （3）y(x1)(22x（4）y2tanxsecx2的导数y2secxsecxtanx

（5）2yxex3log3x的导数yexxex3

xlna（6）yxsinxlnx的导数ysinxlnxxcosxlnxsinx

（7）y55sinx的导数y

1cosx1cosx优质.参考.资料

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2*10ln1010x1（8）yx的导数y

101(10x1)22.求下列函数在指定点的导数：

（1）f(x)lnx3cosx2x，则f()x225，f()212.

（2）f(x)xsinx，求f(0)，f().f(x)xsinx，则f(0)0，f().

22263xx23.曲线y在横坐标x3处的切线方程为x9y90，法线方程为2x27x3y790。

习题2.3

1.求下列函数的导数：

（1）y2cos(45x)的导数y10sin(45x)

（2）y(2x3)的导数y8(2x3)

（3）y1e的导数y（4）ylntanx的导数y2x43ex21ex

2

sin2x2（5）ysec2x的导数y4sec2xtan2x

（6）yarccos11的导数y

2xxx1的导数y（7）yx4x2x4(4x)4x2x222

（8）yesin3x的导数ye(2sin2x3cos3x)

2.求下列函数在指定点的导数：

（1）y343x，在点x1处的导数是-1

2x2（2）f(x)ln3，在x1处的导数是-1

x2（3）y1ln2x，在xe处的导数是12e

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3.设函数f(x)可导，求下列函数的导数:

（1）yf(2x1)的导数

y2f(2x1)

222（2）yxf(x)的导数

yf(x)2xf(x)

2习题2.4

1.求由下列方程所确定的隐函数yy(x)的导数22dy.

dx （1）xyxy1所确定的隐函数yy(x)的导数2xydy

x2ydxy(exyy)dy（2）

xye20所确定的隐函数yy(x)的导数

xydxx(2ye)2xy（3）yxlny所确定的隐函数yy(x)的导数dydxy

y1eydy（4）y1xe所确定的隐函数yy(x)的导数

dx1xeyy2.用对数求导法求下列函数的导数:

dyy(xlnyy)（1）xy所确定的隐函数yy(x)的导数

dxx(ylnxx)yx（2）y(cosx)1xsinx的导数dy(cosx)sinx(cosxlncosx)sinxtanx)

dx12dyx（3）yx的导数x(1lnx)

dx（4）y3.（略）

x2(3x)4dy(3x)3(x232x73)的导数

6dx(x1)5x2(x1)xxyyx2y24.曲线221在点(x0,y0)处的切线方程为02021

abab习题2.5

1.求下列函数的二阶导数:

432（1）yx2x4x1的二阶导数y12x12x

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（2）ysin(32x)的二阶导数y4sin(32x)

（3）yxln2x的二阶导数y2(1lnx)的二阶导数y4sin(32x)

xx4x2（4）y的二阶导数y12x4x(4x)222

2.求下列函数在指定点处的导数：

（1）yxcosx，则y(0)0 （2）3.求下列函数的n阶导数:

（1）yxe的n阶导数yx(n)yarctanx，则y(0)0

(xn)ex，xN*

（2）ylnx的n阶导数y(n)(1)n1(n2)(n1)!*，xN

nx4.已知函数的(n2)阶导数y5. （略）

2lnxx(n)，则y的n阶导数y

3lnxxlnx习题2.6

1.求下列函数的微分：

（1）yxsinx3x4的微分dy(2xsin2x3)dx

（2）yxlnx2的微分dy(lnx2ln21)dx

（3）ylnx22x1x2的微分dydx

1x1x2（4）y2xcosxsin2xsin2x的微分dydx

2xxdxx的微分dy

2sinxx（5）ylntanexdx （6）yarctane的微分dy1e2x（7）yxarccosx的微分dy(arccosxx1x2)dx

（8）y(eexx3)的微分dy3(e3xe3xexex)dx

（9）xyxey1eydx 所确定的隐函数yy(x)的微分dy1xey优质.参考.资料

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（10）xy1所确定的隐函数yy(x)的微分dy2.下列各括号中填入一个函数，使各等式成立.

1dx

x21dxd(arctanx)

21x1（3）2cos2xdxd(sin2x) （4）dxd(lnx1)

x1（1）3xdxd(x) （2）232(abx)1ln2x)

) （6）abxdxd(（5）lnxdxd(3bx2e2x112x2dxd() （7）2dxd() （8）2xe2xx3.求下列近似值：

（1）ln0.90.1 （2）cos610.47

（3）arctan1.021.58 （4）e1.012322.75

4. 一正方体的棱长x10米，如果棱长增长0.1米，则此正方体体积增加的精确值为30.3立方米，近似值为30立方米.

复习题2

一、单项选择题

1.函数yf(x)在点x0处可导是它在x0处可微的（C）.

（A）充分条件 （B）必要条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件

2.设f(0)2，则lim/x0f(x)f(x)的值为（D）.

x（A）1 （B）2 （C）0 （D）4

3.下列各式中（k为常数）正确的是（D）.

dxd(x)xxx1xx （B）(kk)kk

dxdxdxd（C）(k)xkx1 （D）(xk)kxk1

dxdx（A）4.设函数fxx1lnx ，则fx在点x=1处（B）.

x1x1（A）连续但不可导 （B）连续且f11

（C）连续且f10 （D）不连续

5.过曲线yxlnx上M0点的切线平行直线y2x，则切点M0的坐标是（D）.

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（A）（1，0） （B）(e,0) （C）(e,1) （D）(e,e)

6.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y(0)=（D）.

（A）0 （B）-1 （C）3 （D）-6

7.已知ycosx ，则y8=（B）.

x

x （C）sin（A）sinx （B）cosx （D）cos8.设函数yf(x)可微，则当x0时，ydy与x相比是（C）.

（A）等价无穷小 （B）同阶无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小

二、填空题

1.若函数yln3，则y= 0 .

2.设函数yx1，则y(1) 不存在 .

3.变速直线运动的运动方程为s(t)t2t，则其加速度为a(t) 2 .

4.曲线y2x在点（4, 2）处的切线方程是

x4y40 .

5.

d

(cosx) =sinxdx.

6.设fxxlnx，且fx02，则fx0=

e .

三、计算题

1.求下列函数的导数：

（1）y12xx32x2的导数y8x312x22x2

x（2）yxlnxsinxcosx的导数ylnxsinxcosx1

34x3x23x2（3）y2的导数y

(x21)2x1（4）ye2x1的导数y2e2x1

（5）ylncosx的导数ytanx

（6）yarctanx的导数y1

2x(1x)优质.参考.资料

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2（7）yxsin111的导数y2xsincos

xxx12x（8）yx1x的导数yx(1lnx)

dy：

dxdyy

dxx2.求由下列方程所确定的隐函数yy(x)的导数（1）xya0所确定的隐函数yy(x)的导数（2）cosxyx所确定的隐函数yy(x)的导数dy1ysinxy()

dxxsinxy()（3）yxlny所确定的隐函数yy(x)的导数（4）eyexxy0，则f(0)0

3.求下列函数的二阶导数：

dyylny

dxyx（1）ysinaxcosbx的二阶导数yasinaxbcosbx

x（2）yxe的二阶导数y(x2)e

222x（3）ysinx的二阶导数y2cosx4xsinx

2222(x22)（4）ylnx2的二阶导数y2

(x2)224.求下列函数的微分：

（1）yx21的微分dyxx12dx

(1x2)cosx2xsinxsinxdx （2）y的微分dy(1x2)21x2（3）ysinlnx的微分dy（4）ycos(lnx)dx

xexcosx的微分dy(sinxcosx)exdx

四、应用题

1.有一批半径为1cm的球，为减少表面粗糙度，要镀上一层钢，厚度为0.01cm，则每只球大约需要用铜0.28克

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x2,其中x2. 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部售出，收入函数为R36x20为公司一天的产量，如果公司每天的产量从250增加到260，则估计公司每天收入的增加量大约是110.

第3章 微分中值定理与导数的应用

习题3.1

1.函数f(x)cosx在[0,2]上满足罗尔中值定理，满足罗尔定理结论中的

2.函数f(x)ln(x1)在[0，1]上，验证满足拉格朗日中值定理的条件（略），满足拉格朗日中值定理结论中的11

ln223．f(x)2x1,g(x)x在区间[-1，2]上满足柯西中值定理结论中的21

24.已知A(1,1)与B(3,3)是曲线

y2xx上的两点，则该曲线上点（2，0）处的切线平行于弦AB.

5.（略）

6.（略）

习题3.2

1.求下列极限：

x32x11exex (2)lim不存在 (1)limx1x04x3412x2x2lnx(3)lim0 (4)lim3x0

xexxlnxsinxsinalimcosa (6)1

xax0lnsinxxax11111(7)lim() (8)lim(x)

x1x1x0xlnx2e12x(9)limxcotx1 (10)limx1

(5)limx0x02．下列极限可否用洛必塔法则去求，为什么？并用常规方法求出它们的极限.

exex（1）limx不可用洛必塔法则去求，否则会总是出现的情形，用常规方法求xeexexex得limx1

xeexxsinx（2）lim不可用洛必塔法则去求，否则会出现等式右端无极限的情形，但并xxxsinx不能得出极限不存在的结论，用常规方法求得lim1

xx优质.参考.资料

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3.当a3,b9sin3xab时,极限lim0

32x0xx2xxc4.当cln2时,极限lim4

xxc习题3.3

1.求下列函数的单调区间：

（1）yln(1x)在区间(,0)内单调递减，在区间(0,)内单调递增

（2）yx24在区间(,2)与区间(2,)内单调递增，在区间(2,2)内单调递减

x（3）yx在区间(0,100)内单调递增，在区间(100,)内单调递减

x100x2 (4)y 在区间(,2)与区间(0,)内单调递增，在区间(2,1)与区间1x(1,0)内单调递减

（5）yxln(1x)在区间(1,0)内单调递减，在区间(0,)内单调递增

2(6)yxlnx在区间(0,11)内单调递减，在区间(,)内单调递增

ee（7）yarctanxx在区间(,)内单调递减

(8)y2xlnx在区间(0,)内单调递减，在区间(,)内单调递增

（9）y3x4x在区间(,1)内单调递减，在区间(1,)内单调递增

（10）y43212122xx3在区间(2,6)与区间(2,)内单调递减，在区间3(6,0)内单调递增

32.（略）

3.（略）

4.求下列函数的极值：

23320（1）y(x1)x的极小值有y()，极大值有y(0)0

52532（2）y2xx2的极大值有y(1)1，无极小值

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（3）y222，无极大值

x3x的极小值有y()433

（4）非零常数c0时，yc(x1)的极大值有y(0)c，无极小值

非零常数c0时，yc(x1)的极小值有y(0)c，无极大值

（5）yx1x的极大值有y() （6）yxe（7）y2x2222345，无极小值

44

2e的极小值有y(0)0，极大值有y(2)132xx2的极大值有y()，无极小值

2213（8）y32x1无极小值，也无极大值

（9）y(x2)(3x)121的极大值有，无极小值

y()2x524（10）y32xx2的极小值有y(0)0与y(2)0，极大值有y(1)1

25．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米.底面为正方形，设底面与四壁的单位造价相同，则底取10米高取5米时，才能使所用材料最省.

6．将边长为a的正三角形铁皮剪去三个全

等的四边形（如图3.9所示），然后将其沿虚线

折起，做成一个无盖正三棱柱盒子.则当图中的x

a32a取时，该盒子容积最大，求出的最大容积为.

5437.某厂生产某种产品，其固定成本为100元，

每多生产一件产品成本增加6元，又知该产品的需

x

图3.9

求函数为Q1000100p.则产量为200件时可使利润最大，最大利润是300元

8．某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此牛仔裤的需求函数为Q40p

则该个体户将销售价定为每条30元时，才能获得最大利润

习题

1.根据函数f(x)的图像

（1）f(x)在点xx1、点xx2

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3.4

y

a

x1

x2

x5o

x3

x4

b x

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与点xx1处改变符号

（2）f(x)在点xx2处有极大值，在点xx4处有极小值

（3）（略）

2.讨论下列曲线的凹凸性，并求出曲线的拐点：

图3.14

（1）曲线yxlnx在区间(0,)内是凹的，无拐点

（2）曲线y曲线y2在区间(0,)内是凹的，点(0,0)是x3x在区间(,0)内是凸的，32x3x的拐点

332（3）曲线yx5x3x5在区间(,)内是凸的，在区间(,)内是凹的，点(,535353250)是曲线yx35x23x5的拐点

2753（4）曲线yxx在区间(,0)内是凸的，在区间(0,)内是凹的，点(0,0)是曲线yxx的拐点

（5）曲线y2xx在区间(,)内是凹的，在区间(,)内是凸的，点(,是曲线y2xx的拐点

（6）曲线yln(1x)在区间(,1)与区间(1,)内是凸的，在区间(1,1)内是凹的，点(1,ln2)与点(1,ln2)都是曲线yln(1x)的拐点

（7）曲线yxe在区间(,2)内是凸的，在区间(2,)内是凹的，点(2,线yxe的拐点

（8）曲线y1线y13353232323216)3272322x2)是曲2exx在区间(,0)内是凹的，在区间(0,)内是凸的，点(0,1)是曲x的拐点

（9）曲线y331(,)(,)内都是凹的，在区间在区间与区间331x2(3333331,)内是凸的，点(,)与点(,)都是曲线y的拐点

23334341x（10）曲线yxex1在区间(,2)内是凸的，在区间(2,)内是凹的，点(2,)2e优质.参考.资料

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是曲线yxex1的拐点

323.已知曲线yaxbx的一个拐点(1,3)，则a的值为4.求下列曲线的渐近线：

（1）曲线yx（2）曲线ye（3）曲线y1x39，b的值为

32lnx没有水平渐近线，也没有铅直渐近线

x有水平渐近线y1，有铅直渐近线x0

1有水平渐近线y0，有铅直渐近线x1与x5

2x4x51x（4）曲线ye4有水平渐近线y3，有铅直渐近线x0

（5）曲线y1有水平渐近线y0，有铅直渐近线x3

2(x3)(6) 曲线ylnx有水平渐近线y0，有铅直渐近线x0

xex（7）曲线y有水平渐近线y0，有铅直渐近线x1

1x(8) 曲线y2xarctan5.（略）

x没有水平渐近线，也没有铅直渐近线

2习题3.5

1.设某产品生产x个单位的总收入为R(x)200x0.01x，则生产第100个单位产品时的总收入的变化率为198

2.某产品的函数Cq7002q5q(单位：千元)，则：

（1）当产量为400台增加到484台时，总成本的平均变化率约为2.12千元/台；

（2）当产量为400台的边际成本约为2.13千元/台。

3.某产品的销售量Q与价格之间的关系式为Q211P.则需求弹性P为.假如p1P销售价格为1，则P的值为2.

24.设某商品的需求量Q对价格P的弹性为P2Pln2.则销售收入RPQ对价格P的弹性为12Pln2.

5.求下列曲线的弧微分

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（1）曲线yxx 的弧微分ds24x4x2dx

（2）曲线ycosx的弧微分ds1sin2xdx

（3）曲线yln(secx) 的弧微分dssecxdx

2xat2222（4）曲线的弧微分dst4a9btdt

3ybt6.求下列各曲线在给定点处的曲率K和曲率半径：

3（1）yx在点（1,1）处的曲率K510310， 曲率半径R

350（2）ysinx在点(22,1)处的曲率K1， 曲率半径R1

1

2（3）y4xx在点（－2，－4）处的曲率K2， 曲率半径R（4）4xy4在（0，2）处的曲率K2， 曲率半径R221

2复习题3

一、单项选择题

1.f(x0)0，f(x0)0是函数yf(x)在点x0处取得极值的（B）.

（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）无关条件

2.设函数f(x)(x1)，则点x1是f(x)的（D）.

（A）间断点 （B）可导点 （C）驻点 （D）极值点

3.函数yxln(1x)在定义域内（A）.

（A）无极值 （B）极大值为1ln2

（C）极小值为1ln2 （D）f(x)为单调减函数

4.函数yaxb在区间(0,)内单调增加，则a,b应满足（B）.

（A）a0且b0 （B）a0,b可为任意常数

（C）a0且b0 （D）无法说清a，b的规律

5.下列曲线在其定义域内为上凹的是（D）.

（A）yln(1x) （B）ysin(x2)（C）yarctanx （D）ye22x2232

6.设函数f(x)在[0,1]上f(x)0,则f(1),f(0),f(1)f(0)或f(0)f(1)

的大小顺序是（B）.

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（A）f(1)f(0)f(1)f(0) （B）f(1)f(1)f(0)f(0)

（C）f(1)f(0)f(1)f(0) （D）f(1)f(0)f(1)f(0)

二、填空题

1.函数f(x)x2x在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的＝

33 .

3x22.极限

lim＝ 0 .

xxex3.函数y2xcosx的单调增加区间是

(,) .

4.设yf(x)在点x0处可导，且yf(x)有极值f(x0)，则曲线yf(x)在

（x0，f(x0)）处的切线方程为

yf(x0) .

ax2bx23，则b 6 . 5.已知a,b为常数，limx2x16.曲线y(x1)的拐点是 （1，0） .

三、计算下列极限

3sin2x2ex1limlim1.=0 2.x

xxxsinxxcosx1=2. 

x0xsinxx0sin3x3ln(13x2)lnx0 1

2xxln(3x)x111)

sinx0 (x0xln(1x)21xx2(e1)

1 (2)1

xxx四、综合题

1.

f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)，则方程f(x)0有3个实根，它们依次在区间(2,1)、区间(1,3)及区间(3,4)内.

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32.函数

yxx3在区间(,0)与区间(1,)内单调递增，在区间(0,1)内单调递2减.

3. 函数y2x9x12x3在区间(,1)与区间(2,)内单调递增，在区间322(1,2)内单调递减，该函数有极大值y(1)2，有极小值y(2)1.

4. 函数ye(x1)在区间[1,3]上的最大值y(1)2x24，最小值y(3)3.

ee25.求函数yln(x1)的凹向区间和拐点. 曲线yln(x1)在区间(,0)内是凸的，在区间(0,)内是凸的，点(0,0)该曲线的拐点.

6.已知点(1,3)为曲线yxaxbx14的拐点,则a的值为-3，b的值为-9.

32第4章 不定积分

习题4.1

1.（略）

2.已知F(x)3x4x,且曲线yF(x)过点(1,1),则函数F(x)的表达式为2F(x)x32x22.

n通过点(0,1)的积分曲线方程为y2coxs. 3.函数f(x)six4.设曲线过点（－1，2），并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，则此曲线的方程为yx1.

2习题4.2

1.求下列不定积分：

⑴14714xdxxC ⑵

43dx4x4C

7xx10xC⑶10dxln10xxx ⑷(2xx)dx432513xxC

5423x32xC ⑹(sec2xcsc2x)dxtanxcotxC ⑸(2332)dxln3ln22.写出下列各式的结果：

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⑴1xdx1x2 ⑵d(e2xsinx2)e2xsinx2C

2xxexexdx ⑶[e(sinxcosx)]dxe(sinxcosx)C ⑷

ddx1cosx1cosx3.用直接积分法求下列不定积分：

axex122314xxC (1)

x(1x)dxxxxC (2)

aedx1lna23421x1231x1dxx22x2C (4)()dxx2lnxC (3)3xxx2x27x12111dxarctanxC

dxx24xC (6)2(5)x(1x2)xx324x9x26x2C (8)cotxdxxcotxC (7)(23)dxln4ln9ln6xx2（9）

cos2xcos2x (10)dxtanxcotxCcos2xsin2xsinxcosxdxcosxsinxC

习题4.3

1.用第一类换元法求下列积分：

103x13x21C (1)(3x2)dx(3x2)C (2)10dx3ln106320131dx(12x)3C (4)sin4xdxcos4xC (3)34412x3ex2xdxln(e2)C (6)2sinxcosxdx(2sinx)2C (5)xe232(7)xdxsinx2x1C

dxarctan(cosx)C (8)2x211cosxxxx(9)ecosedxsineC (10)tandx2lncosx2xC

2(11)1111sinxdx2cosxC (12)2cosdxsinC

xxxx优质.参考.资料

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ln2xln3xarctanx1dxC (14)(13)dx(arctanx)2C

2x31x2

2.用第二类换元法求下列不定积分：

（1）dx13x2ln(13x)23xC

(2)dx3662x3x6x6ln(1x)C

3xxx1dx2x12arctanx1C

x(3)53222(4)xx1dx(x1)(x1)2C

53(5)

x122x1dxC

2xx1 (6)x1dx2arcsinx4x2C

224x2x2习题4.4

1.用分部积分法求下列积分：

(1)xsinxdxsinxxcosxC

(2)xxedx(x1)exC

(3)xsin2xdx11sin2xxcos2xC

4222(4)xcosxdxxsinx2xcosx2sinxC

(5)ln(x1)dx(x1)ln(x1)xC

2(6)(lnx)dxx(lnxlnx2)C

2(7)arcsinxdxxarcsinx1x2C

xx(8)ecosxdxesinxcosxC

22.选用适当的方法求下列不定积分：

(1)cosxdx2xsin优质.参考.资料

xcosxC

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(2)edx2(x1)e(3)xxC

1xedx2exxC

(4)1dx2arctanxC

x(1x)复习题4

一、单项选择题

1.若函数f(x)在a,b上满足条件（C），则其原函数一定存在.

（A）单调 （B）有界 （C）连续 （D）有有限个间断点

2.若F\'(x)f(x)，则下列各式中正确的是（B）.

（A）F\'(x)dxf(x)C （B） （C）F(x)dxF(x)C （D）3.函数sin4x的一个原函数是 （B）.

(A)cos4x (B)f(x)dxF(x)C

f\'(x)dxF(x)C

111cos4x (C)

cos4x (D)

sin4x

4444.下列各式正确的是（D）.

（A）arctanxdx(C)

lnxdx1C （B）sin(x)dxcos(x)C

21x1C (D)

cos(x1)dxsin(x1)C

x5.若f(x)的一个原函数为lnx，则f(x)（D）.

（A）xlnx （B）cosx （C）11 （D）2

xx6.已知f(x)2x且f(1)2，则f(x)（A）.

（A）x1 (B )

x2 (C )x1 (D )7.积分

2212x2

211f(x2x)dx（D）.

1111（A）f()C （B）f()C （C）f()C（D）f()C

xxxx8.若f(x)dxF(x)C，则f(2x)dx（C）.

（A）F(x)C (B )2F(2x)C (C )1F(2x)C （D）F(2x)C

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二、填空题

1.函数f(x)的所有_原函数_，称为f(x)的不定积分.

2.若f(x)dx2sinxxc，则f(x)=

cos .

2dx

lnx2dx

24.设f(x)dxxc，则f(cosx)dcosx=

cos2xc .

35.在求积分x31xdx时，为了化去被积函数中的根式，可作代换x1t .

6.积分xf(x2)dx

1f(x2)C .

27.积分

x1xdx

xln1xC .

x8.已知e是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx

(x1)eC .

x三、计算下列不定积分

1.(x)dxx21x2131x2xC

3xx22.3.edx2eC

101(92x)11C

221324.sinxcosxdxsinxC

32lnx15.dx2lnxln2xC

x21116.2sindxcosC

xxx17.dxtanxcotxC

sin2xcos2x92xdxe2x1dxexexC 8.xex21dxx2arctanxC

9.2x110.x112dxx212ln(x1)arctanxC

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11.xx1dx2x12(x1)3C

312.1dx2x1C

2x1x21dxx21arccos1C

(x1)eC

1313xlnxxC

39xxsinxxeC

2四、应用题

1.若曲线通过点(e,3)，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,则该曲线的方程为ylnx1

21322.设作直线运动的某一物体的速度为v(t)tt2

(m/s)，则求该物体的位移s3251t2t22ts0

(m)，其中

s0s(0) 与时间t的函数关系式为s152第五章 定积分及其应用

习题5.1

1.用定积分表示的由曲线yx2x3与直线x1,x4及x轴所围成的曲边梯形的面积A241(x22x3)dx.

2.（略）

3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.

(1)

104xdxx2dx (2)

exdxexdx

0001112(3)

3lnxdxlnxd (4)x4coxsdx4sixnd

x342004.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围.

(1)010exdxe (2)2x(x2)dx0

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习题5.2

1.求下列函数的导数：

(1）F(x)1x0t21dt的导数F(x)x21

sinx2sint

dt的导数F(x)2xt(2)F(x)(3)F(x)(4)F(x)x21xt2etdx的导数F(x)x2ex

cos2tdt的导数F(x)2xcos2x2cos2x

xx2x2.求下列函数的极限：

(1)limx0x0cos2tdtx1 (2)limx11t(t1)dt(x1)2x1

2(1t1t)dt120lim (4)

22x0x0x2x2x43.函数F(x)t(t2)dt在区间[1,3]上的最大值为0，最小值为.

03424.由曲线yx2x与直线x0,x2及x轴所围成的曲边梯形的面积为.

30(3)limxarctantdt5.已知物体作变速直线运动的速度为v(t)2tt(m/s),则该物体在前5秒内经过的路程为2575(m).

66.求下列定积分的值：

(1)212(x2x1)dx11711x2 (2)(2x)dx

063ln221xln5dx222 (3) (4)dx101x22x(5)0cosxdx2 (6)

0ex2exdx2e3

1习题5.3

1.用换元积分法计算下列定积分：

(1)e012x321e5e3dx= (2)2exdxee

1x21(3)4131lnx3dx22lndx (4)

1x1221xe优质.参考.资料

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212(5)x1xdx (6)4xdx

00312(7)10dx3x1dx62arctan3

2ln (8)01x11x232.

利用函数的奇偶性求得下列定积分：

13sinx4cos31dx3 (1)(x3xsinxcosx)dx (2)121331x122

3.用分部积分法计算出下列积分

(1)(3)0xedx1 (2)xcosxdxx12021

e10ln(x1)dx1 (4)0x2sinxdx4

2e211x(5)xarctanxdx (6)ecosxdx

002421习题5.4

1.求下列曲线围成平面图形的面积.

1x 围成平面图形的面积为

313(2) 曲线y,yx,y2围成平面图形的面积为ln2

x22(1) 曲线yx,y(3) 曲线ysinx,ycosx,x0,x22围成平面图形的面积为222

(4) 曲线y4x,y0围成平面图形的面积为216

3(5) 曲线y4x,x2y4围成平面图形的面积为

36

（6）曲线yx,y(x2),y0围成平面图形的面积为2.由直线y0与曲线x224

34y及它在点(1,1)处的法线所围成图形的面积.

33.求下列平面图形分别绕x轴,y轴旋转所产生的立体的体积.

(1) 曲线y2x1,x0及y0所围平面图形绕x轴旋转所产生的立体的体积为3，绕y轴旋转所产生的立体的体积为(2) 曲线y

122x,x1,x2及y0所围平面图形绕x轴旋转所产生的立体的体积优质.参考.资料

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为3262 ，绕y轴旋转所产生的立体的体积为564.曲线r2acos所围成图形的面积为a.

5.已知某产品的的固定成本为1万元，边际收益和边际成本分别为（单位：万元/百台）

2

MR(Q)8Q,MC(Q)4Q.

4(1)则产量由1百台增加到5百台时，总收益增加了20万元

(2)则产量由2百台增加到5百台时，总成本增加了14.625万元？

(3)则产量为3.2台时，总利润最大；

(4)则总利润最大时的总收益为20.48元、总成本15.08元为和总利润为5.4万元.

习题5.5

1.求下列广义积分：

(1)0exdx1 (2)101xdx发散

(3)

2xlnxdx发散 (4)exdx 发散

1x2(5)11sindx1 (6)

xx20xexdx.1

2.由曲线y1(x0),直线x1及x轴所围成图形的面积为1.

x2复习题5

一、单项选择题

1.[bxf(t)dt]（A）.

(A)0 (B)f(b)f(x) (C)f(a) (D)f(x)

2.函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是abaf(x)存在的（B）.

（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充要条件 （D）无关条件

3.设f(x)在[a,b]上连续，F(x)xf(t)dt，则在[a,b]上有（A）.

(A)F(x)是f(x)的一个原函数 (B)f(x)是F(x)的一个原函数

(C)F(x)是f(x)惟一的原函数 (D)f(x)是F(x)惟一的原函数

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4.定积分

11x(sinxx32)dx（D）.

（A）-1 （B）0 （C） （D）2

5.设f(x)在[a,b]上连续，则下列各式中不成立的是（D）.

(A)baf(x)dxf(t)dt （B）f(x)dxf(t)dt

aabaabba（C）f(x)dx0 （D）若baf(x)dx0，则f(x)0

6.设f(x)为连续函数，则10f(x)dx（A）.

(A)20cosxf(sinx)dx (B)2sinxf(cosx)dx

0(C)20cosxf(cosx)dx (D)20sinxf(sinx)dx

二、填空题

2531.函数f(x)在[1,2]上连续且其平均值为，则1f(x)dx

 .

26dxsintsinx2.

dtdxatx3.已知F(x)f(x)，则4.若xaf(ta)dt=

F(xa)F(2a) .

10(2xk)dx2，则k 1 .

5.设Ixe01xdx，则I[xe](ex)dx

0x1016.曲线ycosx与直线x0，x,y0所围成平面图形面积等于 2____.

三、计算下列定积分

1.21113(x)dxln2 2.2sinxcos2xdx

03x22ex11dxarctan2 1x2xdx1

1205.1202x11x2dx236 6.e21dx232

x1lnx7.943x13xdx 8.

dx7ln2031x1x1优质.参考.资料

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9.314x21dx6 10.21x21dx3

x34225e122x11.1lnxdx2 12.xedx

0e4ee13.1dx 14.x22x20xexdx1

2215. 已知f(0)1,f(2)3,f(2)5，则四、应用题

20xf(x)dx8.

1.三次抛物线yx与直线y2x所围成图形的面积为2.

x2.由曲线ye，ye及直线x1所围成封闭图形的面积为ex312.

e3.由曲线y23x与ysinx及x所围图形的面积为22.

324.由曲线yx与yx2所围成图形的面积为20.

35.由曲线yx3x，直线y2，y轴所围成的平面图形绕y轴旋转所形成旋转体的体积为.

236. 由曲线yx,x1及x轴所围成图形，绕x轴旋转所成立体的体积为旋转所成立体的体积为2，绕y轴72

57.抛物线yx4x3及其在点(0,-3)各点(3,0)处的切线所围成图形，面积为927，该图形绕y轴旋转所得的旋转体体积为.

448.生产某产品的边际成本为C(x)8x（万元／百台），边际收入为

R(x)1002x（万元／百台），其中x为产量。若固定成本为10万元，则：

（1）产量为10百台时，利润最大

（2）从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元

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第8章 常微分方程

习题8.1

1.写出以下方程的阶数:

(1) 常微分方程xy2yxy0的阶数为3.

(2) 常微分方程ydy12xdx的阶数为1.

(3) 常微分方程y2dydyaxy2的阶数为1.

dxdx2.下列方程中，哪些是微分方程？哪些不是微分方程？

(1) 方程y4y3y0是微分方程 (2) 方程y4y30 不是微分方程

(3) 方程y2x3 不是微分方程 (4) 方程y2x3是微分方程

2d2y1x是微分方程 (5) 方程dycosxdx是微分方程 (6) 方程2dx3.（略）

4.

函数关系式yc1sinxc2在kZ,c11,c22k时，满足初始条件yx1,yx0

2或c11,c22k2习题8.2

1.用分离变量法求解下列微分方程：

（1）微分方程dy2y(y2)的通解为(y2)e4xCy0

dxx（2）微分方程yy0的通解为yCe

（3）微分方程1xdy1ydx0的通解为arctanxarctanyC

22（4）微分方程dyyarctanx的通解为yCe

2dx1xxxxdy21xxy的通解为yCe23 （5）微分方程dx23优质.参考.资料

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（6）微分方程(exyex)dx(exyey)dy0的通解为(ex1)(ey1)C

2.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

(1)曲线在点(x,y)处的切线斜率等于该点横坐标的2倍，所满足的微分方程为dy2x.

dx(2)曲线在点P(x,y)处的法线与x轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分，所满足的微分方程为2xydy0.

dx3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

(1) 微分方程cosxsinydycosysinxdx

满足yx04的特解为cosx2cosy0.

(2) 微分方程cosydx1e满足yx0xsinydy0

4x的特解为e22cosy10.

4.镭元素的衰变满足如下规律：其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，则镭现存量与时间t的函数关系为mm0e其中，m0表示镭的原始量，m表示镭的现存量.

0.000433t，习题8.3

1.求解下列方程：

（1）微分方程dyyyytan的通解为sinCx

dxxxxdyyyx2y2(x0)的通解为arcsinClnx

dxx22（2）微分方程x（3）微分方程xdy(xyy)dx的通解为xyxyxClnx

yxx（4）微分方程(12e)dx2e(1)dy0的通解为x2yeyC

y（5）微分方程yx22dydyyxy的通解为lnyC

dxdxx优质.参考.资料

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dyy2y（6）微分方程的通解为2lnyC

dxxy2x2x2.设曲线yf(x)上任一点处的切线斜率为为y4x2x.

3.设某曲线上任意一点的切线介于两坐标之间的部分恰为切点所平分，已知此曲线

过点(2.3)，则该曲线的方程为y22y2，且经过点(1,2)，则该曲线方程x6

x

习题8.4

1.填空

(1)微分方程y2y0的通解是

yCe .

p(x)dx(2)微分方程ypxy0的通解是

yCe .

p(x)dxp(x)dx[Q(x)eC] . (3)微分方程ypxyQx的通解是

ye2x2.求下列微分方程的通解:

(1) 微分方程yye2x的通解为yCexe2x

32x1dy(2) 微分方程3xyx的通解为yCe2

3dx(3) 微分方程y2yx2sinx的通解为y(Ccosx)x2

x222yex(4) 微分方程y的通解为2x2yexC

xx(5) 微分方程yytanxsin2x的通解为yCcosx2cosx

2(6) 微分方程x1y2xycosx0的通解为y2Csinx

x21x3.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

(1) 微分方程yyx满足初始条件yx02的特解为y3ex1.

(2) 微分方程y2xyxe(3) 微分方程yx2满足初始条件yx02x21的特解为y(C)ex.

22y1x0满足初始条件yx00的特解为21x优质.参考.资料

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(x1)(C2xx2)y.

2(x1)复习题8

一、单项选择题

1.下列等式中为一阶微分方程的是（C）.

(A)y45y7y0

32 (B)

sinyxy0

(D)sinxcosx1

224(C)y2y2xy0

2.方程exxydy1的通解是（D）.

dxx(A)eec (B)

e(C)

eec

xyyeyc

eyc (D)

ex3.已知函数y满足微分方程xyylny2，且x1时，ye，则当x1时，

x1y（A）.

(A)-1 (B) -2 (C)1 (D)

e

4.下列常微分方程中为线性方程的是（D）.

(A)ye2xy (B)yyysinx

22x(C)xdx(y2xy)dy (D)xyye0

5.函数yf(x)的图形上点（0，-2）处切线为2x3y6 ，则此函数可能为（C）.

2(A)yx2 (B)y3x2

23(C)3y3x2x60 (D)y3x32x

36.设y1x是方程ypxyqx的一个特解，则该方程通解为（B）.

pxdxpxdx(A)yy1xe (B)

yy1xce

pxdxpxdx(C)

yy1xe

c (D)

yy1xce二、填空题

31.微分方程ysinxy2xcosy0的阶数是 5 阶.

252.方程Fx,y,y0的通解中含有的任意独立常数的个数为 3 .

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3.方程ydyxdx的通解是

xyC .

4.方程y10xy22，则它的通解是

101022xyC .

25.微分方程xyy1x的通解是

xylnxC .

6.一阶线性微分方程y三、计算题

1.微分方程xydxx1dy0满足初始条件yx01的特解为.

212ylnx在y11时的特解是

y2x2lnx .

xx2y1y2y2tanCx. 2. 微分方程y的通解为sin2x2yxxxxy3. 微分方程1eydxyxdy0的通解为xyeyC.

xxtany的通解为sinyx1Ce.

cosy4. 微分方程y四、应用题

把温度为100C的沸水注入杯中，放在室温为20C的环境中自然冷却，5分钟后测得水温为60C，则水温与时间的函数关系为T20802

t5.

第9章 行列式与矩阵

习题9.1

1.计算下列行列式：

52aa20 （1）1 （2）73bab00135121115

6（3）0 （4）3196 （6）3111348 （5）

51320143优质.参考.资料

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3（7）

1105aacaa1313aa2413aaaaabcd. （10）521140. （8）a1b1c0

bccaabx00yyx000yx000yx(xy)(xy)(x2y2)

ab（9）aaaada22. 三阶行列式D1157310中，

84元素a22的代数余子式为A22273429，

元素a32的代数余子式为A322711077.

3.已知四阶行列式D中，第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，-7，4，则D15.

14.设行列式D2022042，

11314015按D的第二行展开得D1A210A220A232A24，由计算可得D36

按D的第四列展开得D4A142A240A345A44，由计算可得D36

5.解下列方程：

2（1）方程22x233x1x4216350的解为x12，x21，

x31，x42

1111x2901（2）方程1011x101x100的解为x12，x20，

x30，x42

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xaaaa6.计算n阶行列式Dxaa得

aaxaaaax

D[x(n1)a](xa)n1

(n1,2,3,4,)

1a11a1b17.计算n1阶行列式D1a11a1

Dbi

i1na2a2a2b2a2ananan得

anbn习题 9.2

1.一空调商店销售三种功率的空调：1P、1.5P、2P.商店有两个分店，六月份第一分店售出以上型号的空调数量分别为48台、56台和20台；六月份第二分店售出了以上型号的空调数量分别为32台、38台和14台.

（1）则用矩阵A表示的这一信息为A485620

323814（2）若在五月份，第一分店售出了以上型号的空调数量分别为42台、46台和15台；第二分店出售了以上型号的空调数量分别为34台、40台和12台.则用与A相同类型的矩阵M表示的这一信息为M424615.

344012（3）则AM9010235

667826其实际意义为：

一空调商店销售三种功率的空调：1P、1.5P、2P.商店有两个分店，五月份和六月份第一分店售出以上型号的空调数量总共为90台、102台和35台；五月份和六月份第二分店售出了以上型号的空调数量总共为66台、78台和26台.

2.计算

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1121424682 （1）1234336912448121612(2)

123430

34sin（3）cos

(4)cos1sinsin22sin2

1015201710

371111513530213(5)014324

1132103061003(6)4034203550137212021

651322533.设

A024,

B041

005001则det(AB),det(A)det(B),det(3A).则det(AB),det(A)det(B),det(3A).

则det(AB)80,det(A)det(B)2,det(3A)270

4.(略).

5.设ATTT121103114，，，

BC01221100232.

156则(2AB)CT1022115T6.设矩阵A124，B13，则(2EA)B03．

31103011优质.参考.资料

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7.（略）.

8.如果两个矩阵A与B，满足ABBA，则称矩阵A与B可交换.设A11，01则与矩阵A可交换的矩阵B9.(略).

ab，其中，aR,bR.

0a习题 9.3

1.将下列矩阵化成其等价标准形：

03011121000112（1）331010 （2）042322400021402.根据矩阵秩的定义求下列矩阵的秩.

0010

000012112342(1) 矩阵223的秩为3 (2) 矩阵3的秩为3

5313433.求下列矩阵的秩.

1112332的秩为3 (1) 矩阵2112101120221的秩为4 (2) 矩阵123201210111202220的秩为3 (3) 矩阵01111110112262在2时的秩为2，在7时的秩为1

34(4) 矩阵432

习题 9.4

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1.求下列方阵的逆矩阵：

123157

2的逆矩阵为012（1）方阵01011011132113

01的逆矩阵为237（2）方阵3111349311112312．

(BA)2.设矩阵

A02，B，计算得501222023.解下列矩阵方程

（1）矩阵方程101221的解为

XX10112213121011的解为(2) 矩阵方程XX301523

21211322.

234.已知A312 ，设f()21，则f(A)13110342

5.（略）

复习题9

一、单项选择题

1.四阶行列式a100b40a2b300b2a30b100a4（D）.

（A）a1a2a3a4b1b2b3ba （B）

a1a2a3a4b1b2b3ba

（C）(a1a2b1b2)(a3a4b3b4) （D）(a2a3b2b3)(a1a4b1b4)

2.设A为34矩阵，B为52矩阵，若矩阵ACB有意义，则矩阵C为（B）型.

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T

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（A）

45 （B）

42 （C）

35 （D）

32

3.设A,B,C均为n阶矩阵，且A为对称矩阵，则下列结论或等式成立的是（C）.

（A）(AB)Α2ABB （B） 若ABAC且AO则BC

2T（C）

A(AB)ABA （D）若AO,BO，则ABO

T2224.设A是可逆矩阵，且AABE，则A1（D）.

（A）

EB （B）EB （C）B （D）(EAB)

5.设A是n阶可逆矩阵，k是不为0的常数，则(kA)（A）kA （B）

111（D）.

11111kA （C） （D）AA

kkn6.设A是4阶方阵，若秩(A)3，则（B）.

（A）

A可逆 （B）A的阶梯矩阵有一个0行

（C）A有一个0行 （D）A至少有一个0行

二、填空题

1.一阶行列式2的值等于______2_______.

22.行列式31101中元素（4）的代数余子式的值为_____1______.

4432110113，则ABT____02____.

,B3.设矩阵A652111410014.已知矩阵A020，则A0031__00012000__ .

1313可逆.

1a23416.当= __0__时，矩阵1154的秩最小.

2405.当a_不为-3的实数_时，矩阵A三、综合题

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1.计算下列行列式：

1（1）行列式2046125=-9 （2）行列式caacadccadbbbbdd=0

21411313

2.（略）.

3.计算下列矩阵:

30（1）矩阵12540

122312424551521

110（2）

122143610113223132732144.将下列矩阵化为阶梯形矩阵：

17201720（1）矩阵1453可化为阶梯形矩阵0263520

038200203741130214（2）矩阵1300423201325.矩阵2041241553010314317可化为阶梯形矩阵

0604311650001704的秩为3.

511116.求下列矩阵的逆矩阵：

192122（1）矩阵212的逆矩阵为922129291929292

919优质.参考.资料

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133251013的逆矩阵为（2）矩阵23401437.解下列矩阵方程：

2317383131

313213771201410135解为X（1）方程421X2

7731213181771201312302解为X777

01（2）方程X185720141421777

第10章 线性方程组

习题10.1

1.用克莱姆法则解得：

x22x313(1) 线性方程组x1x24x31 的解为x13,x24,x3

22xx221x1x2x32x42,2xx4x4,1134(2) 线性方程组 的解为x11,x22,x30,x4

23x12x2x31,4x12x32x43.xyz0,2.取不是-1，且不是4的实数时，齐次线性方程组xyz0,只有零解.

2xyz03.当k取何值时，下列齐次线性方程组有非零解:

x1x2kx30(1)

k取-1或4时，齐次线性方程组x1kx2x30 有非零解，

xx2x0231优质.参考.资料

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3x12x23x302(2)

k取时，齐次线性方程组x1kx2x30有非零解.

32xxx0231

习题10.2

1.求下列线性方程组的一般解

x18Cx13x22x3x40x3C2（1）线性方程组x12x2x32x40的一般解为 (C为任意的常数)

x03x2x3x2x02341x4C2x15x22x33x111C（2）线性方程组x12x2x33的一般解为x214C(C为任意的常数)

2x14x6x12x9C31232.设线性方程组

2x1x2x31

x12x2x31 ，

x3x2xc231则c为0时，方程组有解。此时，该方程组的一般解为x1为任意的常数)．

3.设线性方程组

31k，x23k,x35k (k55x32x1

x12x2x30，

2xxaxb231（1）当a1,b3时，该方程组无解；

（2）当a1时，该方程组有唯一解；

（3）当a1,b3时，该方程组有无穷多解。

4.设齐次线性方程组

x13x22x302x15x23x30，

3x8xx0231则取5时方程组有非零解，一般解为x1C,x2C,x3C (C为任意的常数).

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习题10.3

1.设α(6204)T，β(3157)T，则向量γ使得2αγ2β的向量(186106)T.

2.判断向量β能否由向量组α1,α2,α3线性表出，若能，写出它的一种表出方式.

(1) 向量β(83125)T不能由向量组α1(1305)T，

α2(2073)T，α3(4126)T线性表出.

(2) 向量β(83710)T不能由向量组α1(2713)T，

α2(3502)T，α3(5631)T线性表出.

3.判别下列向量组的线性相关性：

T(1) 向量组α1(111)，α2(025)T，α3(136)T线性相关.

(2) 向量组α1(112线性相关.

4)T，α2(0312)T，α3(30714)T

(3) 向量组α1(1213)，α2(4T156)T，

α3(1347)T,α4(2110)T线性相关.

4.求下列向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出.

Tα3(10α2(110)T，（1）向量组α1(111)，0)T，α4(123)T0)T是向量组TT的秩为3，向量组α1(111)，α2(110)，α3(10α1(111)T，α2(110)T，α3(100)T，α4(123)T的一个极大无关组，而且431523 .

（2）向量组α1(1124)T，α2(0312)T，α3(30714)T

α4(2156)T，α5(1120)T的秩为3，向量组α1(1124)T，α2(0312)T，α4(2156)T是向量组向量组α1(1124)T，α2(0312)T，α3(30714)Tα4(2156)T，α5(1120)T的一个极大无关组，5124 而且331203，优质.参考.资料

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5.设向量组α1(1124)T，α2(0312)T，α3(30714)T，

α4(2156)T，α5(1120)T.

（1）（略）

（2）向量组α1(112

包含α1,α5的一个极大无关组

6.（略）

4)T，α2(0312)T，α5(1120)T是

习题10.4

1.求下列齐次线性方程组的一个基础解系和全部解.

6x12x2x3x4x50122xxxxx012345(1)

8是齐次线性方程组 的一个基础解系。

x7x5x5x5x023451133x1x22x3x4x5036x12x2x3x4x50122xxxxx012345 齐次线性方程组 的全部解为XCC8

x17x25x35x45x50133x1x22x3x4x503 其中，C为任意的常数。

17x12x2x3x4x50152xxx2x3x012345(2)

11，25是齐次线性方程组的一3x12x2x3x42x50202x15x2x32x42x5008个基础解系。

x12x2x3x4x502xxxxx012345 齐次线性方程组 的全部解为x17x25x35x45x503x1x22x3x4x50优质.参考.资料


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