高一数学试卷及答案(人教版)

2023年12月1日发(作者：七下数学试卷10题)

高一数学试卷及答案(人教版)

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高一数学试卷（人教版）

一、填空题

1.已知log2 3=a。log3 7=b，用含a,b的式子表示log2 14.

答：log2 14=a/2+b。

2.方程XXX(x+4)的解集为。

答：{4}。

3.设α是第四象限角，tanα=−4/3，则sin2α=____________________。

答：sin2α=-24/25. 4.函数y=2sinx−1的定义域为__________。

答：R。

5.函数y=2cosx+sin2x，x∈R的最大值是。

答：3.

6.把−6sinα+2cosα化为Asin(α+φ)(其中A>0,φ∈(0,2π))的形式是。

答：2sin(α+2.094)。

7.函数f(x)=(1/|cosx|)在[−π,π]上的单调减区间为___。

答：[-π,-π/2)∪(π/2,π]。

8.函数y=−2sin(2x+π/3)与y轴距离最近的对称中心的坐标是＿＿＿＿。 答：(π/12,-1)。

9.若。且。则。

答。

10.设函数f(x)是以2为周期的奇函数，且。若。则f(4cos2α)的值。

答：-2.

11.已知函数，则。

答：f(x)=x^3-6x^2+11x-6.

12.设函数y=sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且其图像关于直线x=π/2对称；(2)图像关于点(π/4,0)对称；（3）在[0,π/2]上是增函数，那么所有正确结论的编号为____。

答：2,3.

二、选择题

13.已知正弦曲线y=Asin(ωx+φ)，(A>0，ω>0)上一个最高点的坐标是(2，3)，由这个最高点到相邻的最低点，曲线交x轴于(6，0)点，则这条曲线的解析式是(。)。

答：(D)y=3sin(x-5π/6)。

14．函数y=sin(2x+π/2)的图象是由函数y=sin2x的图像（）。

答：(C)向左平移π/4单位。

15.在三角形△ABC中,a=36,b=21,A=60,不解三角形判断三角形解的情况(。)。

答：(A)一解。

16.函数f(x)=cos2x+sin(x+π)是()。

答：周期为2π的周期函数。

B)仅有最小值的奇函数：这个部分没有明显的格式错误或问题段落，不需要改写。

D)既有最大值又有最小值的偶函数：这个部分没有明显的格式错误或问题段落，不需要改写。

A)非奇非偶函数：这个部分没有明显的格式错误或问题段落，不需要改写。

三、解答题

17．（8分）

1）求函数f(x)=log2(x+1),(x>-1)的反函数f^-1(x)。

解：设y=log2(x+1)，则2^y=x+1，即x=2^y-1.因此，f^-1(x)=2^x-1.(4分)

2）解方程f(x)=2.

解：f(x)=2等价于log2(x+1)=2，即x+1=2^2=4，因此x=3.(4分)

18．（10分）

已知f(x)=sinx-cosx/(sinx+cosx)，g(x)=4x-7.

1）求XXX的值。

解：f(x)=(sinx-cosx)/(sinx+cosx)=(sinx+cosx-2cosx)/(sinx+cosx)=1-2cosx/(sinx+cosx)。因此，f(x)=2等价于2cosx/(sinx+cosx)=-1，即tanx=-1/2.(5分)

2）若sinx,cosx是方程x^2-mx+n=0的两个根，求m^2+2n的值。

解：由Vieta定理，sinx+cosx=m，sinx*cosx=n。因此，f(x)=2等价于(sin^2x-cos^2x)/(sinx+cosx)^2=2，即sin^2x-cos^2x=2sinxcosx。将sinx+cosx=m，sinx*cosx=n代入，得到m^2-2n=2n，即m^2=4n。(5分)

19．（6分）

已知函数f(x)=log2(x+1)/(x-1)。

1）求f(x)的定义域。

解：由于分母x-1不能为0，因此x不能等于1.又由于log2(x+1)的定义域为x+1>0，即x>-1，因此f(x)的定义域为(-1,1)并去掉x=1这个点，即(-1,1)∪(1,+∞)。(2分)

2）写出函数f(x)的值域。

解：由于log2(x+1)的值域为(-∞,+∞)，因此f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。(2分)

3）求函数f(x)的单调递减区间。

解：f\'(x)=[(x-1)log2e-(x+1)]/(x-1)^2，当x>-1且x≠1时，f\'(x)<0.因此，f(x)在(-1,1)∪(1,+∞)上是单调递减的。(2分)

20.（12分）

设关于x的方程x^3+ax^2+bx+c=0有两相异解，且它们之差的倒数等于它们之和的倒数，求a,b,c的值。

解：设方程的两个根为α,β，且α-β=(α+β)/(αβ)。则有α^2+β^2=(α+β)^2/(αβ)^2，即α^2+β^2=(α^2+2αβ+β^2)/(αβ)^2，即αβ=1/2.又由于α,β是方程的根，因此α^3+aα^2+bα+c=0，β^3+aβ^2+bβ+c=0.将αβ=1/2代入，得到α^3+β^3+a(α^2+β^2)+b(α+β)+2c=0，即α^3+β^3+a(α^2+β^2)+b(α+β)+4c=0.又因为α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=1/2，α+β=-a，因此有α^3+β^3-a/2+b(-a)+4c=0，即α^3+β^3-ab/2-4c=0.又因为α+β=-a，αβ=1/2，因此有α^2+αβ+β^2=a^2-2αβ，即α^2+2αβ+β^2=a^2+αβ，即(α+β)^2=a^2+1/2，即a^2=4(α+β)^2-2.将α+β=-a和αβ=1/2代入，得到2a^3-3ab+8c=0.因此，解得a=2，b=3，c=-1.因此，方程为x^3+2x^2+3x-1=0.(6分)

2）求x^2+1/x^2的值。

解：由于方程的两个根为α,β，且αβ=1/2，因此有α^2+β^2=a^2-2αβ=7，α^2β^2=1/4，因此有α^2β^2+2=9/4.又因为α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=4，因此有(α+β)^2=8，即α^2+2αβ+β^2=8，即α^2β^2+2=8，因此有x^2+1/x^2=α^2+β^2-2αβ=7-1/2=13/2.(6分)

21．（12分）

我们把平面直角坐标系中，函数y=f(x),x∈D上的点P(x,y)，满足x∈N∗,y∈N∗的点称为函数y=f(x)的“正格点”。

⑴请你选取一个m的值，使对函数f(x)=sinmx,x∈R的图像上有正格点，并写出函数的一个正格点坐标。

解：当m=π时，sinmx=0的解为x=kπ，其中k为整数。因此，函数f(x)=sinπx的正格点坐标为(2k,1)，其中k为正整数。(6分)

⑵若函数f(x)=sinmx,x∈R，m∈(1,2)与函数g(x)=logx的图像有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图像的所有交点个数。

解：由于函数f(x)的周期为2π/m，因此当m∈(1,2)时，f(x)的图像上存在正格点。又因为函数g(x)的图像上不存在正格点，因此两个函数的交点个数为偶数。设交点个数为2n，则有2nπ/m=log(2nπ/m)，即m=2π/(e^2n)。因此，m的值为m=2π/e^2，交点个数为2个。(6分)

⑶对于⑵中的m值，函数f(x)=sinmx,x∈[0,π]时，不等式9loga(x)>sinmx恒成立，求实数a的取值范围。

解：当m=2π/e^2时，函数f(x)=sinmx的最大值为1，因此sinmx≤1，即9loga(x)>1.解得a^9>x。又因为x∈[0,π]，因此a^9>π，即a>(π)^(1/9)。因此，a的取值范围为(a>(π)^(1/9))。(6分)

1.n=sin(x)cos(x)-----------------------------2 points

2.2tan(x)/(251+tan(x))=-1/(sin(x)-cos(x))-------4 points 3.2/(1-sin^2(x))=3 (Alternatively: given n=sin(x)cos(x)。then

n^2= sin^2(x)=1-n^2=-3)------4 points

4.(1) The domain of f(x):

2) The range of f(x):

3) XXX decreasing interval of f(x):------6 points

5.(1) From the n of number and graph。we have:

2) As α and β are the roots of the n。we have

sinα+3cosα+a= sinβ+cosβ+a=cting the two XXX:

2sin(α+π/3)=2sin(β+π/3)。Thus。α+π/3=kπ+β+π/ k is an

XXX。α-β=kπ/3.

3) α+β=π/3 or 7π/3.------12 points

6.(1) If we take m=π/ the lattice points are (1,1)。(5,1)。and (9,1) (the answer is not unique).

2) By plotting the two ns。we can see that the only lattice

point n of f(x)=sin(mx)。x∈R。and g(x)=log(x) is (10,1)。Therefore。2kπ+π/2=10m。where m∈(1,2) and k∈Z。Solving

for m。we get m=(9π/20)/(4k+1)。where k∈Z.

3) (i) When a> inequality log_a(x)>sin(mx) cannot hold.

ii) When 0sin(mx) holds only at x∈(0.(5π/2)/(9π/20))。which ces to 20log_a(x)>5sin(mx).------16 points