小学数学几何五大模型教师版新

2024年4月8日发(作者：高一严选卷数学试卷)

几何五大模型

一、五大模型简介

（1）等积变换模型

? ? 1、等底等高的两个三角形面积相等；

? ? 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S

1

：S

2

=a:b；

? ? 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S

1

：S

2

=a:b；

? ? 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S

△ACD

=S

△BCD

；反之，如果

S

△ACD

=S

△BCD

，则可知直线AB平行于CD。

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角

形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型

? ? 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；

? ? 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

? ?如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点

? ? 则有：S

△ABC

：S

△ADE

=（AB×AC）：（AD×AE）

? ? 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

如图连接BE，根据等积变化模型知，S

△ADE

：S

△ABE

=AD：AB、S

△ABE

：S

△CBE

=AE：CE，所

以S

△ABE

：S

△ABC

=S

△ABE

：（S

△ABE

+S

△CBE

）=AE：AC，因此S

△ADE

：S

△ABC

=（S

△ADE

：S

△ABE

）×

（S

△ABE

：S

△ABC

）=（AD：AB）×（AE：AC）。

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：

EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

（3）蝴蝶模型

? ? 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)

例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC

的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

? ? 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：

例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三

角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。

? ? 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造

模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一

方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

（4）相似模型

? ? 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；

? ? 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或

两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

? ? 3、相似三角形性质：

? ?? ?①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；

? ?? ?②相似三角形周长的比等于相似比；

? ?? ?③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

? ? 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有

BC平行DE这样的一对平行线！

例、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多

少？

（5）燕尾模型

? ? 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫

做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：

S

△ABG

：S

△ACG

=S

△BGE

：S

△CGE

=BE：CE

S

△BGA

：S

△BGC

=S

△GAF

：S

△GCF

=AF：CF

S

△AGC

：S

△BGC

=S

△AGD

：S

△BGD

=AD：BD

例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与BE交于点

F，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。

二、五大模型经典例题详解

（1）等积变换模型

例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长

是12，那么阴影部分的面积是多少？

例2、如图，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、

ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型

例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边

形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

例2、如图所示，△ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求

△FGS的面积。

（3）蝴蝶模型

例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？

例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、

8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。

例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，

G为BF的中点，求三角形BDG的面积。

（4）相似模型

例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部

分的面积。

例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H，OE垂直

于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。

（5）燕尾模型

例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，

求四边形BGHF的面积。

例2、如图，在△ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影

△GHI面积的几倍？

例3、如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若△ABC

的面积是1，求四边形CDMF的面积。