无穷小量及其应用

2023年12月23日发(作者：活页检测七下数学试卷)

本科毕业论文（设计）

( 2013届 )

题 目： 无穷小量及其应用

学 院： 数学与统计学院

专 业： 数学与应用数学

学生姓名： 常晓晓 学号： 2

指导教师： 李玲 职称（学位）：

合作导师： 职称（学位）：

完成时间： 2013年5月16日

成 绩：

黄山学院教务处制

学位论文原创性声明

兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果.本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明.本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任.

声明人（签名）：

2013年 5 月 16 日

目 录

摘要................................................................................................................................ 1

英文摘要........................................................................................................................ 2

1 引言.......................................................................................................................... 3

2 无穷小量的定义...................................................................................................... 3

3 无穷小量阶的比较.................................................................................................. 3

4 无穷小量的应用...................................................................................................... 4

4.1 利用无穷小量求极限..................................................................................... 4

4.1.1 利用无穷小量的性质求极限...................................................................... 4

4.1.2 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限.................................................. 5

4.1.3 利用等价无穷小量作替换.......................................................................... 6

4.1.4 利用无穷小量与函数极限的关系求极限................................................ 11

4.2 判别级数的敛散性....................................................................................... 12

4.3 判别反常积分的敛散性 .............................................................................. 13

4.4 无穷小量在近似计算中的应用 .................................................................. 15

4.5 求某些数项级数的和与幂级数的和函数 .................................................. 16

结束语.......................................................................................................................... 17

参考文献...................................................................................................................... 19

致谢.............................................................................................................................. 20

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无穷小量及其应用

数学与统计学院 数学与应用数学专业 常晓晓（2）

指导老师：李玲（讲师）

摘要：无穷小量是微积分中的非常重要的概念，它有着诸多良好的性质.微积分中的好多概念中处处都有无穷小量的身影.本文主要阐述了无穷小量在微积分当中的一些具体应用，例如，利用无穷小量求极限、判别级数和反常积分的敛散性、作近似计算、求某些数项级数的和与幂级数的和函数等等.

关键词：无穷小量；等价无穷小量；极限；级数

1

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Functions of the Infinitesimal

Chang Xiaoxiao Director：Li Ling

（Department of Mathematics and Statistics, Huangshan University, 245041, China）

Abstract：Infinitesimal is a quite important conception in calculus. Infinitesimal itself has

much good nature. Many concepts in calculus have infinitesimal’s figure everywhere. This

dissertation mainly expounds the functions of the infinitesimal in calculus, such as pleasing limit

by the infinitesimal, discriminating the convergence and divergence of several series and abnormal

integral, for approximate calculation, pleasing the summation of some number items series and

power series and so on.

Key Words：infinitesimal；equivalent infinitesimal；limit；series

2

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1 引言

曾在古希腊时期，阿基米德就利用过无限小量的相关知识，不过他觉得这么做还有些不合理. 在17世纪的下半叶，牛顿和莱布尼茨分别依据前人所做的各种工作，并且通过各自的不懈努力，两人均创立了微积分.而无穷小量就是他们创立微积分的重要基础，对微积分的发展起了非常重要的作用.因此，在早期，我们也将分析学称为无穷小分析.但因为那时的一些理论还不够严格，所以无穷小量还不能够用常量代数理论来解释、分析和演算.从此，无穷小量就成了既简单好用又说不清的一个概念. 直至19 世纪20 年代, 柯西才在他的《分析教程》中阐述了严格的无穷小量的的定义.

2 无穷小量的定义

定义1：设f在当某邻域Uox0内有定义，如果limfx0， 那么称f为xx0当xx0时的无穷小量.

同样地，我们可以定义当xx0，xx0，x，x和当x

时的无穷小量的定义.

3 无穷小量阶的比较

设当xx0时，fx与gx均为无穷小量.

fx（1）如果lim0，那么称fx为gx当xx0时的高阶无穷小量，xx0gx或称gx为fx当xx0时的低阶无穷小量，记作fxogx(xx0).这说明：当xx0时，fx收敛于零的速度要比gx收敛于零的速度慢.

fx（2）如果lim那么称fx为gx当xx0时的同阶无穷小量.

c0，xx0gx这说明：当xx0时，fx收敛于零的速度与gx收敛于零的速度差不多.

（3）如果limxx0fx1，那么称fx与gx是当xx0时的等价无穷小量.gx事实上，等价无穷小量的定义就是同阶无穷小量的定义中当c1时的情形，即等价无穷小量就是同阶无穷小量的一个特例.因此，在这里当xx0时，fx收敛于零的速度与gx收敛于零的速度也是一样的.

3

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4 无穷小量的应用

4.1 利用无穷小量求极限

4.11 利用无穷小量的性质求极限

由定义1可以得到它的以下几条性质：

（1）有限个相同类型的无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；

（2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量；

证明：设函数fx在x0的某邻域Uox0,1内.

所以M0,xUox0,1,恒有fxM.

设是xx0时的无穷小量.

所以0,20,xUox0,2,恒有取min1,2,则当0xx0时，有

M.

fxfxM.

M所以此结论成立.

（3）无穷小量除以极限不为0的量仍为无穷小量.

例1：求极限limxsinx.

x0解：因为limx0，limsinx0.

x0x0所以由性质（1）可得：原式=limxlimsinx=00=0.

x0x0例2：求极限limxtanx.

x0解：因为limx0,limtanx0，

x0x0所以由性质（1）可得：原式=limxlimtanx=00=0.

x0x0例3：求极限limxsinx01.

x解:因为sin111，所以sin是有界量.

xx又因为limx0.所以由性质（2）可得原式=0.

x0例4：求极限limx0x.

x1x0解：因为limx0，又limx110，

x04

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所以由性质（3）可得：原式=0.

4.12 利用无穷小量与无穷大量的关系求极限

定理1：在同一极限过程中，恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量，无穷大量的倒数为无穷小量.

证明：（仅以xx0为例）

（1）如果limfx，那么limxx0xx010，即证：

fx

M0,0，使得当0xx0时，有 因为limfx.

xx0110.

fxfx 所以对于M 因此10,0，使得当0xx0时，有fxM.

1fx110.

，即limxx0fxM1，即证：

gx （2）如果limgx0，gx0，那么limxx0xx0

M0,0，使得当0xx0时， 因为limgx0且gx0.

xx01M.

gx 所以M0,10,0，使得当0xx0时，M111.

M，所以limxx0gxgxgx例5：求下列极限：

1（1）lim2；

xxx1（2）lim.

x3x3解：（1）因为limx2,所以由定理1可得：原式=0.

x （2）因为limx30，limx140，

x3x3x30.

x3x1因此由定理1可得：原式=.

所以由性质（3）可得lim5

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4.13 利用等价无穷小量作替换

定理2：设函数fx,gx,hx在Uox0内有定义，且fxgx(xx0).

xx0xx0 （1）如果limfxhxA，那么limgxhxA.

（2）如果limxx0hxhxB，那么limB.

xx0gxfxxx0 证明：（1）因为limfxhxA，

所以limgxhx=limxx0xx0gxfxhx

hxgxlimfxhx

hxxx0 =limxx0 =1A=A.

（2）因为limxx0hxB，

fxhxhxfx=lim

xx0fxgxgx=limxx0所以limxx0hxfx

limxx0gxfxhxB.

fx=limxx0例6：求下列极限：

（1）limarcsinxsinax；（2）lim1，其中，a0，b0.

x0xx0sin2xsinbx 解：（1）因为当x0时，arcsinxx,sin2x2x.

x1 所以由定理2可得：原式=lim=.

x02x2 （2）因为当x0时，sinaxax,sinbxbx.

所以由定理2可得：

sinaxsinaxaxa原式=lim1lim=1lim=lim1=1.

x0x0sinbxx0sinbxx0bxbka例7：求极限limsin2.

nnk16

n

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sinxka1，lim20.

x0nnxkasin2n1. 所以limnkan2解：因为lima12ka 因此由定理2可得：原式=lim2=limnnn2k1nnn=a.

2 例8：求极限limsinxtanx.

2x0xsinx 解：因为当x0时，tanxx，1cosxx2，sinx2x.

x2xtanx(1cosx)2=1. 所以由定理2得：原式=lim =limx0x0x2x2x3 错误解法：

因为sinxx，tanxx.

xx 所以原式=lim20.

x0xx定理3：设\',\'，当limnB时，mnmm\'n\'.其中，m,n均为非零实数（上述等价无穷小量和极限是在同一极限趋向下的表达式）.

nmn 证明：因为lim=lim\'m\'

n\'m\'n\'1m\'n =lim\'m\'

n\'1m\'nlimlimlim\'m\' =n\'1limlimlimm\'n1 =limmB=1.

n11mB1 所以mnm\'n\'.

7

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tan4xsinx.

x0sin5xtan4x4xn 解：因为limlim4，14.

x0sinxx0xm 由定理3知，当x0时，tan4xsinx4xx.

4xx3 所以原式=lim.

x05x5 例9：求极限lim例10：求极限：limln14xtanx.

x0arctan3xsinx解：因为当x0时，ln14x4x，tanx且limx，arctan3x3x，sinxx，ln14x4xarctan3x3xlim41，limlim31.

x0x0xx0x0xtanxsinx 所以由定理3可得：原式=lim

定理4：设向下）

4xx5.

x03xx2\',\'，lim\'\'A，则lim\'\'lim.（在同一极限趋\' 证明：因为lim=lim\'\' =lim\'\'\'\'

\'\'lim\'

\' =lim\'=A.

\'\'lim\'\'

所以lim\'\'lim.

定理5：设\'且lim1\'A存在，则有lim1\'lim1.（在同一极限趋向下）

证明：因为\',且lim1\'A存在.

所以lim1=elimln1

ln1ln1\' =e =elimln1\'

limln1\'limln1ln1\'8

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=elimln1\'lim\'

=A.

即结论成立.

例11：求下列极限:

（1）limx2x12x01sinx；

（2）lim(1x0sinx2x1).

xx22xx22xsinx1 解：（1）法一：原式=limx22x1x0

122 =limx2x1x2xx0122 =limx2x1x2xx0x22xlimx0sinxlimx0x22xxx22xsinx

x22xx0sinxlim

=e 法二：因为sinx=e=1.

e2xx0，

所以由定理5可得：

原式=limx22x1=limx22x1x0x01xx22xx2xsinx12 =1.

e2 （2）由定理5可得：原式=lim11x02x1=lim22x1=2.

x0 定理6：设1x,2x,...,nx是同一变化过程中的无穷小量，且x

1x2x...nx，如果对其中的某一个ix，有limjx0.(j1,2,...,i1,i1,...,n)，那么xix.

ix 由定理6我们可以得到：在有限个无穷小量的和中，如果有些是关于某一项的高阶无穷小量，那么这些项是可以忽略不计的.

xsin3xx2 例12：求极限lim.

3x0tanxxsin3xx3limlimx20， 解：因为limx0x0xx0x9

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x2limlimx0，

x0xx0x3x3limlimx20.

limx0tanxx0xx0 所以由定理6可得：原式=limx1.

x0tanx 定理7：当x0时，并且x\'x，在0,xx与\'x均是无穷小量，上x与\'x都是连续的，那么有(t)dt0xx0tdt.

tdtxlim证明：因为=lim=1.

\'xtdtx00xxx00 所以(t)dt0xx0tdt.

sint0tdt例13：求极限lim.

1x0sinx(1t)tdt2sinx0sinx解：因为当x0时，2sinx0,sinx0,且x1,(1t)1te.

 所以定理7可得:原式=limx02sinx0sinx01dtedt=lim2sinx2=.

x0esinxe定理8：如果limfxA(A0)，且在0,x上fx与gx都是连续的，那x0么有ftgtdt0xx0x0Agtdt.

ftgtdtfxgx证明：因为lim=lim=1.

AgxAgtdtx0xx00 所以ftgtdt0x2x0Agtdt.

edt例14：求极限limxx0x0x0tedtt2.

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解：因为limex1,limex1，

x0x02且当x0时，exdx0xx01dxx，tetdt0x2x0tdt12x.

2 所以由定理8可得：原式=limx0xx=2.

x22定理9：设x,x是同一变化过程中的无穷小量，且xx，limfu0，fuu，那么有fxu0fx.

例15：求下列极限：

（1）limsinsinx；

x0xln1tan2x.

x0tan(tanx)（2）lim解：（1）因为sinx所以由定理9可得：原式=limx(x0)，sinxxlim1.

x0x0xx（2）因为当x0时，tan2x2x，ln1xx.

ln12x2x所以由定理9可得：原式=lim=lim=2.

x0x0xtanx4.14 利用无穷小量与函数极限的关系求极限

定理10：在自变量的同一变化过程xx0中，函数fx有极限AfxA.其中，是当xx0时的无穷小量.（我们在这里仅以xx0时为例，其他的情况可类比此定理得出.）

证明：“”设limfxA，则

xx0对0,0,使得当0xx0时，有

fxA.

令fxA,则limfxAlim0，fxA.

xx0xx0 这就证明了fxA.

“”设fxA，其中A 是常数，lim0，

xx0于是，fxA.

11

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因为是xx0时的无穷小量，

所以0,0,使得当0xx0时，有或fxA.

因此结论成立.

1x3 例16：计算lim的值.

x3x31x311. 解：因为3x33x33 又lim10，

x3x31111==.

lim0x3x3x333 所以由定理10可得:原式=lim4.2 判别级数的敛散性

在利用比较判别法的极限形式来判别正项级数的敛散性时，最大的困难是要找到能与所要求的级数un相比较的已知敛散性的基本级数un，我们可以利用无穷小量比较的观点理解比较判别法的极限形式.

例17：判别下列正项级数的敛散性.

1（1）ln1；

3nn1（2）n1ln2nn72.

1解：（1）当n时，ln13n111，所以ln1与的收敛3n3n3n11性相同，又因为发散，因此正项级数ln1也是发3n2nn1散的.

（2）当n时，unln2nn720,vn1.

2nln2n因为limunln2nlimnlim30.

nvnn1nn22n7212

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所以当n时，unln2nn72是比vn1高阶的无穷小量.

2n1ln2n又因为级数2收敛，因此正项级数7也是收敛的.

n1nn1n24.3 判别反常积分的敛散性

从无穷积分到反常积分，事实上是一种从离散到连续的转化.所以，由正项级数的比较判别法推广，自然得到无穷积分的敛散性判别法.

定理11：设f定义于a,，在任何有限区间a,u上可积，且xlimxpfx，则有：

（1）当p1,0时，无穷积分（2）当p1,0时，无穷积分这个定理实际上是构造无穷小量项级数与p级数afxdx收敛；

fxdx发散.

a1与函数fx(x)作比较，相当于正px11作比较.在这个定理中，当，函数是的高阶p1fxppnxn1无穷小量或同阶无穷小量时，无穷积分收敛；当p1，函数fx1是低阶无px穷小量或同阶无穷小量时，无穷积分发散.而我们根据函数fx的无穷小量的级别，就可以确定的取值.

例18：判别无穷积分121xarctanxdx的收敛性.

1x解：因为当x时，12x1x121x12,arctanx2.

1xarctanx 所以与x2是同阶的.

1x 故取pxarctanxxarctanx1lim. ，因为limxxx1x1x221212所以无穷积分1xarctanxdx 发散.

1x1213

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例19：判别无穷积分dxe2x2的收敛性.

解：因为当x时， 所以1e2x11是0的高阶无穷小量.

2xex是10的高阶无穷小量.

x2 故应取21即可.

1e2x 例如取21，有limx2x0.

因此无穷积分dxe2x2收敛.

定理12：设fx是定义在区间a,a0内的一个连续函数，则当x时，有：

（2） 当fxOx（1） 当fxOx1lnxlnx11时，广义积分1时，广义积分afxdx收敛；

fxdx发散.

a111 例20：判别无穷积分ln12dx的敛散性.

1x1xx111111解：对于x1,，有0ln12.

x1xx1xxx1x1111212222. 则ln1xxxx1xx11212是2的同阶无穷小量或高阶无穷小量. 所以ln1xx1xx111 因此无穷积分ln12dx收敛.

1x1xx至于瑕积分，由于可以和无穷积分相互转化，关于其敛散性，相应地也有比较判别法.

定理13：设f定义于a,b，a为其瑕点，且在任何u,ba,b上可积，且xalimxafx，则有：

p14

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（1）当0p1,0时，无穷积分fxdx收敛；

ab（2）当p1,0时，无穷积分fxdx发散.

ab 例21：判别瑕积分10dx的敛散性.

2tanx1的瑕点.

2tanx 解：x0是被积函数 当x0时，tanxx，则11与是同阶无穷大量.

tanxx1111所以与1是同阶无穷大量，令p，则limx2x022tanxx21dx1收敛.

1，因此瑕积分022tanx12.

22tanx又p例22：判别瑕积分2dx1lnx12的收敛性.

解：x1是被积函数lnx2的瑕点.

当x1时，lnxln1x1所以x1.

1lnxx12与1x122是同阶无穷大量，故可取2.

所以limx11lnx2x1=lim=1.

x1lnx22因为21，所偶一瑕积分dx1lnx2发散.

4.4 无穷小量在近似计算中的应用

无穷小量的概念是近似计算的重要理论依据，即略去高阶无穷小量原则.在工程问题中，经常会遇到一些复杂的问题，这届计算很费力，甚至非常困难，常利用无穷小量作近似计算.

因为yf\'x0xox，当x1时，x的高阶无穷小量ox可以忽略不计，即ydy，所以有fxfx0f\'x0x.

我们知道，有些无穷级数（如泰勒公式）的余项为高阶无穷小量.所以在近15

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似计算中如果要求精度较高且要估计误差时，可以用无穷级数进行近似计算.

例23：求sin2o的近似值.

解：令x00,x2o 所以sin2osin90.

90sin0cos090900.034907.

例24：求sin18o的近似值，要求误差不超过1.0104.

解：令fxsinx.

因为x18o100.4，取x00，有x3x5sinxx3!5!1n1x2n1R2nx.

2n1!sinx2n12n1x2x2n101，Rx其中，R2nx.

2n2n1!2n1!又当n1时，sinxx，即为微分的计算公式，它的误差精度是0.430.43R2nx,1.0104，不满足要求.

3!3!0.450.45x3,1.0104. 当n2时，sinxx，误差精度是R2nx5!5!3!10o0.308992. 所以sin18103!3容易知道，微分的近似计算公式精度比较低，它其实就是泰勒公式当n1时的情形.

4.5 求某些数项级数的和与幂级数的和函数

定义2：设有两个实数序列n与Mun，如果limn0limun0，nn那么称与M是同类无穷小量.

定理14：如果ynC1xnC2xn1(C1C20)，那么当n时，yn有极限Axn有极限B，且BA.

C1C2n1例25：求级数1n1n的和.

n216

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解：设Sn1234n1n.

234...122222n234n1n则2Sn123...1.

n122221234n1

Sn1234...1n1.

222221114211111n11所以2SnSn1=234...1=n1122222212n.

令yn2SnSn1，满足定理15的条件.

21122因为limyn，所以由定理15知，limSn3.

nn263219因此级数1n1n1n2.

n29 例26：求1n1n1nx2n的和函数Sx.

解：易求1n1n1nx2n的收敛域为1,1.

n1 设Snxx22x43x64x8...1nx2n.

则Sn1xx22x43x64x8...1nx2n1.

n 所以Snxx2Sn1x=x2x4x6x8...1x2n

2nx21x(x21). =21x2n令ynxSnxx2Sn1x，满足定理15的条件.

2x222x22x21x因为limynx，所以由定理15知，limSnx.

222nn21x1x1x因此1n1n1nx的和函数为Sx2n2x21x22.

结束语

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严格的无穷小量的定义的给出基本上解决了微积分学的矛盾，使得微积分学作为数学分析的理论更加具有严密性.我在这篇论文中介绍了无穷小量的定义、性质以及无穷小量在微积分中的一些具体的应用，即我们可以利用无穷小量求极限、判别级数和反常积分的敛散性、作近似计算、求某些数项级数的和与幂级数的和函数等等.由此可见，无穷小量作为一个历史的概念，对微积分的发展起到了非常重要的作用.

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参考文献

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致谢

我的这篇论文在完成的过程中遇到了一些困难和障碍，但在这个过程中我曾得到很多人的关心与支持，这包括我的论文指导老师李玲老师、图书管理员、舍友及同窗们的帮助.其中，我的毕业论文指导老师李玲老师对我的关心与支持尤为重要.她在忙碌的教学工作中挤出宝贵的时间一次又一次地不厌其烦地审查、修改我的论文.在此，我想向李老师真诚地说一句：李老师，您辛苦了，谢谢您！此外，我还要感谢所有在我在完成这篇毕业论文的过程中给予过我关心与支持的人，谢谢你们！

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