2024年4月10日发(作者：数学试卷批改中能用斜杠吗)
ｌｌ中小学数学坤学版 数学史话 高 中
２Ｏ世纪印度传奇数学天才拉马努金
新疆石河子大学师范学院（８３２００３）刘超
一
、
聪慧的少年
只有数学，而且总嫌不够．凶他把学习其他课程的时
间都花费在数学上，导致最后考试以失败而告终，未 拉马努金（Ｒａｍａｎｕｊａｎ Ｓｒｉｎｉｖａｓａ Ａａｉｙａｎｇａｒ，１８８７—
１９２０）１８８７年１２月２２日出生于印度南部的埃罗特．少
年时代的拉马努金生性安静，又爱思考，常常提出些
问题，如谁是世界里的第一人？两朵云之间有多远？７
能升人高级班，随后奖学金也中断了．考试的失意，冉
加上朋友的影响，使他终于忍无可忍，１９０５年８月初，
１７岁的拉马努金离家出走了．因为缺课，１９０５年未得
到学期毕业证，１９０６年，他又被马德拉斯的帕协阿帕
学院录取，因中途生病又回到贡伯戈纳姆．１９０７年１２
月，他以个人学生身份参加美术考试而未能通过．他
的父母因他在学习上的失败而改变了态度，决定 他
挣钱养家．于是拉马努金开始作私人教师教数学，但
他那奇特的思维方式和教学方法使他的学生很快就
不来听课了．此时，拉马努金唯一在孤独中得到安慰
的是对数学的研究，没有人能理解他的工作，他所得
岁时他被送到贡伯戈纳姆中学，在那儿一读就是９年．
在ｌＯ岁前他就显示了非凡的数学天赋，凭着自己的才
华算出了地球赤道的长度．１２岁时他从租住在他家的
房客那里借到了一本龙内的《龙氏三角学》．该书是一
本英国教科书，内容相当深，拉马努金ｌ３岁时就全部
一羹
出了名”．
掌握了．拉马努金后来又从一位年纪大一点的同学那
里学会解ｉ次方程．他对三角函数的理解与学校所教
的不同．他不把它们看作是直角三角形里各边的比，
而看作是比较高深的无穷级数．１Ｔ和ｅ这两个在高等
数学中很常见的超越数，他可以一口气背到小数点后
很多位．真正打开拉马努金数学心灵之门钥匙的是卡
到的成果已远远超过了印度的任何一本数学著作．他
头脑中不仅充满了对数的各种设想，而且拼命犴热地
分解、计算它们．在给哈代写信之前，他已经存６００多
鍪
一
二、天才的不幸
尔的《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》，该书列举
了约５ ０００个数学方程，有些是定理，有些是方程，还
有几何图形，以及其他的数学常识，１９世纪后期所知
的数学大都在内．后来有人置评，“足拉马努金让这本
１９０３年１２月，拉马努金通过了马德拉斯的大学
页的笔记里，写下了３ ０００个结论，其中包括幻方的构
造方法，质数的性质，连分数和无穷乘积等等．
为养家糊口，拉马努金被迫寻找一个固定的
作，但由于大学的不幸经历，找工作是十分 难的．
１９１０年，他请求较有影响力的朋友艾亚尔帮助，找了
一
份临时秘书的工作．数月后，拉马努金又被引 给
一
入学考试，翌年进入贡伯戈纳姆公立大学的初级文科
班．这所大学有较高的学术水平，且座落在考威锐河
位业余数学家拉奥，他很欣赏拉马努金的数学ｌ才
能．拉奥认为，作秘书工作不是摆脱困境的长久之计．
１９１２年３月，他把拉马努金带到了马德拉斯，成为恢
地港务局办公室的一名正式职员，年薪约３Ｏ英镑．这
旁，与剑桥大学颇相似，素有“南印度剑桥”的美称．
拉马努金当年就获得了该校的苏布拉马尼亚姆奖学
金，这一奖学金通常授予在英语和数学方面兼优的学
生，足见他当时的数学才能是多么地出类拔萃．但是
很快，这种平稳的生活就被破坏了．拉马努金将要进
人一个新的境界，心里充满极为强烈的求知欲，毫不
松弛的专注，这种心情将统治他终生．
自从看了卡尔的《汇编》后，拉马努金坠人了纯
样，拉马努金的温饱问题总算基本解决了，他可以专
心从事数学研究了，此时他已经２５岁了．２５岁前对一一
个数学家的生涯而言绝对是一个关键阶段，历史Ｉ 尤
数大数学家都是在此时做出卓越的贡献，但拉马努金
却已受到了损害，他因对数学的过分执着而失去接受
正规教育的机会；因生活的极度贫困把时间不得不化
费在养家糊口上，这位天才的数学思想因此被误导
了，其数学潜能再也没有充分发挥出来，这不仪是印
数学的“陷阱”，对生活中的其他一切都失去了兴趣，
一
８８一
高中 数学史话
中小学教学・中学版ＩＩＮ
读懂拉马努金的著作．于是，他的朋友艾亚尔极力主
张他把研究成果寄给一些英国著名数学家，最初的两
位，Ｈ．Ｆ．贝克和Ｅ．ｗ．霍布森都未回音．１９１３年２月ｌ６
度数学史上，也是世界数学史上的重大损失．
１９１１年，拉马努金在《印度数学会杂志》上发表
了第一篇论文《论伯努利数的某些性质》，这篇文章共
分为１８节，占用杂志篇幅１７页之多．据统计，这篇文
章一共包括８个定理，其中的３个有一点证明，２个是
日，他再次鼓起勇气写信给第三位数学家——Ｇ．Ｈ．
哈代，当时的哈代才３５岁，比其他两位要小一辈，但是
已经执英国数学界的牛耳．拉马努金信中附上的是没
系，还有３个只是猜测．《印度数学会杂志》登出他的
文章之后，拉马努金终于开始登上世界数学舞台，虽
然只在一个偏僻的角落里．他已经开始被人注意了．
有证明的１２０条公式．收信后的当天晚上，哈代与李特
尔伍德两人研究了半个小时之后，一致判断拉马努金
从１９１２年开始，他的超常的数学才能逐渐为人们所理
为“天才”．哈代在回忆看到这封信的心情时说：“我从
解．在此之前，他的所有的发现都记在两个破损的笔 未看到如此多的公式，但内行人一看就知道是出自高
记本上，第一个笔记本记录了他的最初发现，共有１３４
水平的大数学家之手，且它们一定也是正确的，否则，
页ｌ６章，外加８０多页的零散手稿．后来，拉奥担心拉 没有人会有如此的想象力来捏造出这么多公式来．”
马努金的笔记本会出意外，就劝他抄个副本．拉马努
多年以后，这封信中的绝大多数公式成了《伦敦数学
金听了他的劝告，他把第一个笔记本加以整理到第二
会杂志》或其他刊物上的论文题目．在其中，人们要用
本，共２１章２２５页，另加１００页的新结果，约有１２０条 上甚至１０页的篇幅才能系统地证明那些人们不知道
公式，主要包括无穷级数、椭圆积分和无穷乘积等方
的定理．
面的内容．其实，最为有名的是拉马努金从英国返回
哈代毫不迟延地给拉马努金复信，邀请他立即到
印度之后的一个笔记本，被称之为“遗失的笔记”，其
剑桥大学来．但拉马努金的母亲坚决反对，并且他自
中记下了许多方程式．迟至１９７６年，这本遗失的笔记 己也有些犹豫．因出身于婆罗门种姓家族，按照规定，
才被发现，是在剑桥大学三一学院图书馆里一个装信 穿越海洋就意味着背叛家族．此外，由于拉马努金在
件和票据的箱子里找到的．１９５７年，所有这些“笔记” 国内已小有名气，１９１３年５月，马德拉斯大学授予他
由印度塔塔基金会资助出版，是用书写体印出的开本 每月７５卢比的两年研究基金．这使他的生活比较宽
很大的两厚本书，总重量超过１０磅．李特尔伍德曾对
裕，他可以在数学的王国里自由翱翔，而不必再为生
这些笔记本作出了高度评价：“已发表的论文至多表 活奔波了．因此，拉马努金没有立即接受哈代的邀请．
现出一个经过哈代的编辑和磨光，经过包装打扮的拉 哈代十分失望并继续写信劝说．当哈代的一位同
马努金，而笔记本才是原汁原味的拉马努金．这些笔
事内维尔去马德拉斯演讲时，设法找到了拉马努金并
记本给了拉马努金本人一个更确定的形象”．事实上， 竭力劝说他去英国．这次终于感动了拉马努金，英国
拉马努金的工作风格是用石笔在石板上运算，算完擦 的斯普林和沃克又帮他申请到了每年６０英镑的特殊
掉，一旦取得一个特殊的公式。便把它记在笔记本里． 津贴．于是，拉马努金克服了等级种姓制度和家庭的
这样一来，那里都是最终的形式，中间步骤全然略去．
反对，于１９１４年３月１７日踏上了去英国的征程，到剑
也正因如此，笔记本里的许多公式和其他的成果，科
桥大学三一学院学习．
学家和数学家至今仍无法解开其中的玄机，目前正在 在三一学院，哈代与拉马努金经常就某一数学问
研究并试图证明拉马努金的这些公式．人们将这些公 题进入深入的探讨．哈代仔细研究了拉马努金的工
式应用于当代的科学问题，并导出其他更适合电脑运 作，发现他知识的局限性和深奥性同时让人吃惊．一
用的算则．
方面，拉马努金可以独立发现 函数的性质，研究解析
拉马努金的著作影响着数学的现在和未来是无
数论的尖端问题．另一方面他对复变函数却仅有模糊
庸置疑的，它们的深奥性和独特的创造性也令人交口
的认识．更重要的是，他似乎不知道证明为何物，只是
称赞，只因缺乏严格的逻辑证明而让后人难于理解．
得心应手的交替使用论证、直观和归纳．哈代花了很
假如拉马努金在年青时受过正规教育的话，他一定会 多心血教拉马努金现代的欧洲数学知识，并充分启发
成为一位更伟大的数学家，发现的东西比现在会更 他那独特的思维方式．结果非常成功，拉马努金的数
多、更重要，对拉马努金而言，失去的比得到的要多得
学才能也因而得到一定的发挥．有一时期，他的创作
多．
是如此地迅速，以至于有时不得不停止工作，因那时
三、刽桥岁月
出版他论文的伦敦数学会的资金比较短缺．拉马努金
由于印度当时的数学水平不高，国内几乎没人能
在英国５年的大部分论文都是在原来基础上加以扩展
．
８９．
誊Ｉｌ中小学数学．中学版
的．他共发表了２１篇论文，１７篇注记，多数刊登在伦
敦的数学刊物上，也有的发表在法国科学院杂志和德
国的数学杂志上．在这些论文中，有三篇是最具有影
响力的，第一篇是关于于算术函数的．文中主要介绍
数学史话 高 中
罗杰斯考虑的某些模关系的注记”．第二年，威尔逊的
“拉马努金宣布的某些公式的证明”一文发表在《伦
敦数学会会刊》上．１９２７年，剑桥大学出版社出版了拉
马努金的《论文集》，在３５５页的篇幅中几乎包括了他
所发表过的一切．早年在印度的工作也在其中．同样
也有关于分划函数和高合数的论文，甚至他为《印度
了ｒ函数，并对它的大小作了恰当估计，这对数论和模
形式产生了深远影响；第二篇是关于ｎ的素因子范数
理论，与哈代合作完成，被认为是概率数论的奠基石；
第三篇是关于组合分析中的渐近公式，也与哈代合作
而成，被认为是解析数论中最深奥、最有用的方法之
数学会杂志》读者们提出的问题以及他写给哈代的那
些信的数学部分也在内．
随着论文集的出版，更广大的数学领域也注意到
一
．
此方法后来被称为哈代一拉马努金一李特尔伍
德方法，也就是通常说的“圆法”．
四、英年早逝
由于过度劳累，拉马努金的身体日渐虚弱，又由
于他是虔诚的婆罗门教徒，绝对奉行素食主义．在英
国这段时期，他总是自己煮食，且常因研究繁忙而忘
记吃饭，这就使得他的身体越来越虚弱，最后患了严
重的肺病．在英国最后两年中，他曾５次住院，疾病的
折磨并未能阻止他在学术上的进程，而治病“浪费”
的宝贵时间却使他痛不欲生．一种强烈的失落感和孤
独感促使他产生了轻生的念头，他纵身跳进伦敦地铁
轨道中，幸而列车驾驶员发现了他，及时刹住了车，才
没酿成大祸．由于英国寒冷的气候不利于他养病，
１９１９年他返回了印度．即使在病情逐浙恶化的情况
下，他仍在病床上坚持研究数学．学界所谓的“遗失的
笔记”就是在这期间完成的．家乡适宜的气候和亲人
细心的照顾，并未能使他转危为安．１９２０年４月２６日，
年仅３３岁的数学奇才怀着对数学无限的眷恋告别了
人世．拉马努金一生清贫，令人感动的是，在他即将离
开人世时还留下遗言，对他的奖金作了这样的安排：
“除一部分给我家人外，余款用在教育方面，如减少穷
人孩子或孤儿的学费，免费供给他们课本……”．
五、对后世的影响
《印度数学杂志》在评价拉马努金时认为，“他用
自己独特的数学才能与他所完成的有用而且独创的
工作，在外部世界的心目中提高了印度”．天体物理学
家钱德拉塞卡则看的更为准确，“拉马努金代表了偏
离常规之极端．所以他之出生于印度必须在很大程度
上看作是一个偶然事件”．在美国，《美国数学月刊》
把通常对外国杂志上发表的论文做枯燥论述的栏目
也扩大了，讲述发现拉马努金的传奇故事，甚至讲到
他的形象：“在谈话时总是生动活泼，用他的细细的手
指做手势．”１９２１年，哈代发表了拉马努金的最后一篇
论文．同年起，他开始在自己的论文中继续拉马努金
的＿Ｔ二作．１９２２年，莫德尔发表“关于拉马努金、达林和
．
９０．
拉马努金的工作了．在几年之内，关于拉马努金研究
问题的论文一篇接着一篇，标题都是如“拉马努金的
两个论断”，“关于拉马努金的一个问题的注记”之
类．１９２８年，哈代把拉马努金的笔记本和其他文稿，信
件和论文都交给了沃森，后者则和威尔逊开始了一项
数学冒险——编辑这些笔记本．这件事耗费了沃森的
精力，直到第二次世界大战前夕，结果是发表了２Ｏ多
篇大文章．
１９４０年，有人统计出自拉马努金死后有１０５篇论
文讨论他的研究工作．以至于当１９６２年发行托马努金
纪念邮票时，印度邮政局很是费了些心思去说明他的
工作的潜在应用：“他在黎曼 函数方面的工作，和其
他数学家在另外的背景下同样的研究工作，现在已经
和技术进步的齿轮挂上了钩．而他在仿０函数、模方程
和其他领域的工作，已经有人指出，可能应用于原予
研究”．１９４０年，哈代的《拉马努金》出版，副标题是
“关于其生平和工作的十二次演讲”．该书比较详细地
记述了拉马努金的生平和研究成果，并作了适当的评
论，成为了解和研究拉马努金的重要文献．２０世纪末，
斯普林格出版了拉马努金的五大卷笔记．尼赫鲁在
《印度的发现》中也特别讲到了拉马努金的＿Ｔ作．
拉马努金是２０世纪上半叶印度最著名的传奇数
学家．哈代曾经这样评价道：“如果按照严格的数学标
准来衡量一个数学家的才能，我只能得２５分，利特尔
伍德得３０分，希尔伯特得８０分，而拉马努金得１００
分”．为纪念这位英年早逝的数学家，印度马德拉斯大
学建立了以他的名字命名的高等数学研究所，印度政
府设立了拉马努金奖学金，用于奖励作出杰出贡献的
数学家．
参考文献：
［１］罗伯特・卡尼格尔著，胡乐士，齐民友译．知
无涯者～拉马努金传［Ｍ］．上海：上海科技教育出版
社，２００２年１０月
［２］陈一心．世界著名数学家传记『Ｍ１．北京：科
学出版社，２００３年４月
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