2018年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛试题

本次竞赛有三道题。每道题有a,b,c共3小题。第一题：在下面所有小题中，我们不考虑退货。a.“双十一”期间，一家电商店铺A有满60返5块的优惠券，可叠加使用（比如，买120块的东西，用两张优惠券，只需付120–5×2=110块）。此外，电商平台全场提供满299返60的优惠券（可凑单），每单限用一张，可与店铺的优惠券叠加使用（比如，原价299块的一单，最终价格是299−5×4−60=219。原价不满299则不能减去全场折扣60。不足299时，用户可以在别家商店凑单。）请问：小明打算在这家店铺买一款250块的耳机和一款600块的音箱，怎么买最划算?b.现在您开了一家电商店铺，卖与A店同款的耳机和音箱，标价相同。您计划提供满99返x的优惠券，x为大于0、小于99的整数。与A店不同的是，您的优惠券每单限用一张（比如，买250块，需付250−x块，而不是250−2x块）。“双十一”期间，电商平台全场满299返60仍然适用。请问：x至少等于多少时，小明在您的店铺买耳机和音箱其中一种会更便宜(至少1元)?又请问：x至少等于多少时，小明在您的店铺既买耳机又买音箱总和会更便宜（至少1元）?c.建模题。对比单卖和捆绑销售下的利润期望。假设耳机（产品1）和音箱（产品2）的单件销售的单位成本分别是c1和c2（包含生产、储存、运输、促销等所有成本）。一个访问店铺的客户对两件产品的心理价值分别是均匀分布在[0,u1]和[0,u2]的区间上随机变量S1和S2。假设S1和S2相互独立。本题有三小问。1.如何分别设定产品价格p1和p2，以最大化每个到访客户带来的利润期望。这里假设c1

A11519212C1231122612B132181111C2111411B34B27110213C3315请问:小哥该怎么走最短路径？这个最短路径的长度是多少？这里，A是出发点，最后一餐（不限次序）送达地为终点。为了简化问题，假设商家已经备好了外卖，小哥取餐送餐不用等。又假设每份外卖重量大小一样。b.此题与上图无关，而是考虑一个一般的图，图中有很多点和边。外卖小哥刚刚取了一份外卖，计划经过图上的边e1,e2,...,em送给目的地。途中经过每条边e的时候，以概率Pe∈[0,1]会收到至送相同地址的另一单外卖。（一个条边上收到另两单及以上的概率小，暂忽略不计。）假设对应边e1,e2,...,em的概率为P1,P2,...,Pm。请问:送一次外卖，小哥平均能收到几个送去相同地址的新单（不考虑电动车的箱子容量）？小哥收到至少一个去相同地址的新单的概率是多少？c.此题延续上题，但不再固定路径，而是对路线进行优化。假设小哥每送一单外卖有固定收益r，但是总路径长度