2024年4月11日发(作者：小学人教版数学试卷哪个好)
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
第2章 数列极限
§1 实数系的连续性
1．（1）证明不是有理数；
（2）是不是有理数？
是有理数，则可写成既约分数．由可知证明：（1）可用反证法 若
m是偶数，设
（2）
，于是有
不是有理数．若
，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．
是有理数，则可写成既约分数
是有理数，这与（1）的结论矛盾．
，于是
，即
2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
解：min A＝0；因为
在．；因为
，有，所以max A不存
，使得，于是有
，所以min B不存在．
max C与min C都不存在，因为
所以max C与min C都不存在．
，
1 / 25
圣才电子书
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
3．A，B是两个有界集，证明：
（1）A∪B是有界集；
（2）
证明：（1）设
．
（2）设，有
．
4．设数集S有上界，则数集
证明：设数集S的上确界为sup S，则对
；同时对，存在，使得
．
，于是
有下界．且．
，有-x≤sup S，即
．所
，有，则，有
，有
也是有界集．
，有，则，有
以-sup S为集合T的下确界，即
5．证明有界数集的上、下确界惟一．
证明：设sup S既等于A，又等于B，且A 上确界，所以，使得 ，因为B为集合S的 ，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即 有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一． 6．对任何非空数集S，必有 解：对于，有 ．当 ，所以 时，数集S有什么特点？ ．当时，数集S 是由一个实数构成的集合． 2 / 25 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 7．证明非空有下界的数集必有下确界． 证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略． 8．设并且，证明： （1）S没有最大数与最小数； （2）S在Q内没有上确界与下确界． 证：（1） ，于是 所以S没有最大数．同理可证S没有最小数． （2）反证法．设S在Q内有上确界，记 然有 （i） 说明 （ii） （m，n∈N + 且m，n互质），则显 ．取有理数r>0充分小，使得 ．即， ．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能： ，由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得 ，与矛盾； ，取有理数r>0充分小，使得 ，这说明 矛盾．所以S没有上确界． ，于是 也是S的上界，与 ，这 同理可证S没有下确界． §2 数列极限 3 / 25 （1） （3） （5） （7） ； ； ； 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 1．按定义证明下列数列是无穷小量： （2） （4） （6） （8） ，取，当n>N时，成立 ． （2），取，当时，成立 ． （3） 取 ． （4），取，当n>N时，成立 ． （5）当n>11时，有 ，当n>N时，成立 （6）当n>5，有 当n>N时，成立 （7），取 ． ，当n>N时，成立 ，取 ． ． ．于是，取， ．于是，取 ，取 ，当 ，当 时，成立 时，成立 ，则当 ； 时，成立 ； ． ； ； 证明：（1） （8）首先有不等式 ，当n>N时，成立 4 / 25 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 2．按定义证明下述极限： 证明：（1），取，当时，成立 （2），取，当时，成立 （3），取，当n>N时，成立 （4）令，则 所以，取，当时，成立 ． （5），取 ；若z是奇数，则成立 3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： （1）对任意给定的 （2）对任意给定的 ，存在正整数N，使当n>N时，成立 ，存在无穷多个，使． ； ，当n>N时，若n是偶数，则成立 ． ．当n>3时，有 5 / 25 解：（1）例如 （2）例如 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ，则满足条件，但不是无穷小量． 则满足条件，但不是无穷小量． 4．设k是一正整数，证明： 证明：设 ，所以 设 ，成立 5．设 证明：由 ，则 ，所以 ，则 ； 的充分必要条件是 ，成立 ． ，于是也成立 ，成立 ． ，取，则 ，证明： 可知 ，成立 ，成立． ． ，成立 ．于是 6．设．且，证明： ．由 ． ． ，可知，证明：首先有不等式 成立 7．是无穷小量，是有界数列，证明 ．因为 ，成立 ，于是 也是无穷小量． 是无穷小量，所以 ，所以 ，，证明：设对一切 成立．于是也是无穷小量． 6 / 25
更多推荐
证明,数集,上确界
发布评论