初二数学第22章全

2023年12月13日发(作者：长沙中学考编数学试卷)

学科：数学

二次根式

教学目标：

1．经历二次根式概念的发生过程；

2．了解二次根式的概念；

3．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围；

4．会求二次根式的值。

教学重点与难点：

重点：是二次根式的概念

难点：确定二次根式中字母的取值范围．

设计教学程序：

一、合作学习，引入课题

根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

32教师个性设计

图1—1

acm

直角三角形的斜边长是____________；

正方形的边长是____________；

等边三角形的边长是_________。

2cm

(b3)cm2Scm2

让学生在实际情境中写出表示算术平方根的式子。

问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？

（学生通过观察，从中感知二次根式的特征。鼓励学生用自己的语言总结出共同特征。从而引出课题，教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，板书本课课题）。

二、新课讲授，探究新知

1、 二次根式的概念

（1引导学生概括二次根式的定义：像a24,b3,2s这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如3,式。

（2概念深化：

① 提问：a1是不是二次根式？a1呢？

② 议一议：二次根式a1表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？

经学生讨论后，让学生回答，并让其他的学生点评。

教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开放市大于或等于零。

- 1 -

12）也叫做二次根2、 讲解例题

例1 求下列二次根式中字母a的取值范围：

（1）a1， （2）112a； （3）(a3)2.

按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：

① 被开方式需满足什么?

② 由此可得怎样的不等式？

③ 第（1）（2）两题可以转化为解怎样的不等式？第（3）题不解不等式就能确定a的取值范围吗？

解：（1） 由a+1≥ 0 ， 得 a ≥ -1

∴字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。

（说明：这个问题实质上是在x是什么数时，a+1是非负数，式子a1 有意义，以下类同）．

（2）112a>0，得1-2a>0，即a<12

∴字母a的取值范围是小于12的实数。

2（3）因为无论a取何值，都有a30，所以a取值范围是全体实数。

交流归纳，总结如下：

由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。

2、从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：

( 1 ) 必须有二次根号；

( 2 ) 被开方数不能小于0 。

（学生与教师一同探索确定二次根式中字母的取值范围的求解过程，通过交流体会到求解二次根式中字母的取值范围过程的策略。本题的设置从二次根式的概念出发，把问题转化为求不等式，思路清晰自然，利于分散难点）。

练习：求下列二次根式中字母的取值范围：

（1）a3； （2）13a； （3）a1.

2例2 当x=4时，求二次根式12x的值.

教法：

（1）引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值.

（2）指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.

（3）由学生独立完成解题过程，指定一名中等水平的学生板演.

（4）教师点评板演结果.

- 2 - 解：将x=-4代入二次根式，得12x=12(4)93

三、总结提高、课内练习

课堂练习：第1页练习1，2和节前的问题。

四、归纳小结，充实结构

由学生总结，教师适当提问补充。

谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？

（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）。

引导学生做出本节课学习内容小结：

1．式子 叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式．

2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．

3.给定一个特定的值，会求相应二次根式的值

五、能力拓展（游戏）

按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x 取其他数试一试.

输入

一个

六、布置作业：

1、教科书第1页 A组

2、作业本1

教学板书 ：

否

结果是

代入100x输出这个否 否

结果是

代入x212否

结果是

代入(x91)212xx2是否有意义

，是否有意义

，是否有意义

，是否有意义

是

- 3 - 数学 年级 初三 班级 237、239 时间

课题：二次根式的意义

教学目标

1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，明确学习目的，增强数形结合和用数学的意识。

2、使学生了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。

教【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。

材分【教学难点】理解二次根式的概念。

析

【教学方法】启发式

【教学过程】复习提问:

1、什么叫代数式？举出代数式的例子。

2、16是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？

【新课讲解】

在前一章中，我们已经遇到过16，0，a这样的式子，知道符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。因为在实数范围内，负数没有平方根。所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。

一般的，式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。

由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。

从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：

( 1 ) 必须有二次根号；

( 2 ) 被开方数不能小于0 。

例1：x 是怎样的实数时，式子x2在实数范围内有意义？

解： 由x －２ ≥ 0 ， 得 x ≥ ２

当 x ≥ ２ 时，式子x2在实数范围内有意义。

课堂练习：第 5 页 练习 1、2、3

补充例题：

例：x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？

( 1 )

(x1)2实施教学过程设计

( 2 )

1x1

解： ( 1 ) 由(x1)≥ 0 ，解得：x 取任意实数

∴ 当 x 取任意实数时，二次根式(x1)在实数范围内都有意义。

( 2 ) 由 x －1 ≥ 0 ，且 x －1 ≠ 0 解得：x ＞ 1

- 4 -

22 ∴ 当 x ＞ 1时，二次根式1x1在实数范围内都有意义。

课堂练习：

1.x取什么实数时，下列各式有意义.

（1）34x； （2）3x2；

（3）(x3)2； （4）3x443x

一般的，(a)2a（a≥0）

例2.计算

2（1）（7）； （2）3

4（3）(32)2 （4）(ab)2（b≥0）

【解】（1）(7)27.

 （2）34234

（3）(32)232·(2)29218.

（4）(ab)2a2·(b)2a2b.

例3.在实数范围内分解因式：

x2-5； (2)x3-2x；

【解】 （1）原式x2(5)2

(x25)(x5).

22 （2）原式x(x2)

x[x(2)]

x(x2)(x2).

作业： 教科书第 8 页 1 、2、3题

教学板书

- 5 -

科目

课题：二次根式的乘除１

教学目标

教材分析

【目的要求】

1、使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。

2、使学生会用公式和文字两种语言形式来表示积的算术平方根的性质

3、熟练掌握公式：abab(a0,b0).

【教学重点】理解并掌握积的算术平方根的性质

【教学难点】理解并掌握积的算术平方根的性质

【教学过程】复习提问：

1、对于二次根式a中的被开方数 a ，我们有什么规定？

2、当 a ≥ 0 时，(a)2 等于多少？

3、当 a ≥ 0 时，a＝a等于多少？

【新课讲解】

我们看下面的例子：49＝36＝ 6 ，

由此可以得

实施教学过程设一般的，有ab＝24×9＝ 2 × 3 ＝ 6 。

49＝4×9

a×b ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )

这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

注意：a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数。

计 例1：化简：

( 1 )

35 ( 2 )

1327

解： ( 1 )

35=15；

（2）

1327=1273=93

例2 化简： ( 1 )

解： ( 1 )

1681 ( 2 )

4ab

231681＝16×81＝4 × 9＝36 ；

- 6 - ( 2 )

4ab＝2abb

2223222 ＝22×a×b×b＝2abb

注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能开的尽方，可以利用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。

例3： 计算：

（1）

147 （2）

35210

（3）

3x13xy

解： （1）

147=14772272272;

2652302; （2）

35210=32510652131322（3）

3xxy=3xxyxyx2yxy

课堂练习：计算( 1 )

xxy422 ( 2 )

222000

解： ( 1 )

＝xx2y2

( 2 )

xxy4＝x(xy)＝222x2×xy22

2000＝1025＝102222×2×5

＝10×2×5＝205

课堂小结：

这节课我们学习了积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即：

abab ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )；并且复习了以下公式：a2a ( a ≥ 0 )。加深了对非负数 a 的算术平方根的性质的认识。

课外作业： 教科书第 11页 习题1、2、3 题，第 15页第1题

教学板书

21．2 二次根式的乘除

第一课时

教学内容

- 7 -

a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

理解a·b＝简

由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．

难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．

关键：要讲清ab（a<0,b<0）=ab，如ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化(2)(=3)(2)(3)或(2)(3)=23=2×3．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1）4×9=_______，49=______；

（2）16×25=_______，1625=________．

（3）100×36=________，10036=_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

4×9_____49，16×25_____1625，100×36________10036

2．利用计算器计算填空

（1）2×3______6，（2）2×5______10，

（3）5×6______30，（4）4×5______20，

（5）7×10______70．

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

- 8 -

反过来:

例1．计算

a·b＝ab．（a≥0，b≥0）

ab=a·b（a≥0，b≥0）

（1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6

分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．

解：（1）5×7=35

1313（2）×9=9=3

（3）9×27=927（4）12293=93

×6=126=3

例2 化简

（1）916 （2）1681 （3）81100

（4）9x2y2 （5）54

分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可．

解：（1）916=9×16=3×4=12

（2）1681=16×81=4×9=36

（3）81100=81×100=9×10=90

22 （4）9xy=3×2xy=3×222x×2y=3xy

22 （5）54=96=3×6=36

三、巩固练习

（1）计算（学生练习，老师点评）

①

16×8 ②36×210 ③5a·1522ay

(2) 化简:

20;

18;

24;

54;

12ab

教材P11练习全部

四、应用拓展

- 9 - 例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）(4)(9)1225412259

1225 （2）4×25=4××25=4×25=412=83

解：（1）不正确．

改正：(4)(9)=49＝4×9=2×3=6

（2）不正确．

改正：41225×25=11225×25=1122525=112=167＝47

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．

板书设计：

21．2 二次根式的乘除

第二课时

教学内容

ab=ab（a≥0，b>0），反过来ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

理解ab=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1．重点：理解ab=ab（a≥0，b>0），ab=ab（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

- 10 - 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1）9161636=________，9161636=_________；

（2）=________，=________；

（3）4163681=________，4163681=_________；

（4）=________，=________．

规律：916______916；1636______1636；416_______416；

3681_______3681．

3．利用计算器计算填空:

（1）34=_________，（2）23=_________，（3）25=______，（4）78=________．

规律：34______34；23_______23；25_____25；78_____78。

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

ab=abab（a≥0，b>0），

反过来，ab=（a≥0，b>0）

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1）123 （2）3218 （3）14116 （4）648

分析：上面4小题利用ab=ab（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

- 11 - 解：（1）123=123=4=2

（2）321418116=321418132834=3×=23

（3）=161416=4=2

（4）648=648=8=22

例2．化简：

（1）364 （2）64b9a22 （3）9x64y2 （4）5x169y2

分析：直接利用ab=ab（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

解：（1）364=2364382

（2）64b9a2=64b9a28b3a

（3）9x64y2=9x64y23x8y

（4）5x169y2=5x169y25x13y

三、巩固练习

教材P14 练习1．

四、应用拓展

例3．已知9xx69xx6，且x为偶数，求（1+x）x5x4x122的值．

分析：式子ab=ab，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6

9x0x9 解：由题意得，即

x6x60 ∴6

∵x为偶数

- 12 - ∴x=8

∴原式=（1+x）(x4)(x1)(x1)(x1)

=（1+x）x4x1

=（1+x）x4(x1)=(1x)(x4)

∴当x=8时，原式的值=49=6．

五、归纳小结

本节课要掌握 六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 2、7、8、9．

板书设计：

ab=ab（a≥0，b>0）和ab=ab（a≥0，b>0）及其运用．

21.2 二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算（1）3535155，（2）32273227，（3）82a

老师点评：=，=63，82a=2aa

2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径- 13 - 的比是_________．

它们的比是2Rh12Rh2．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．

学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

2Rh12Rh2=2Rh12Rh2512h1h2h1h2h2.

例1．(1)

3; (2)

xyxy; (3)

24428xy

23 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

AB 解：因为AB=AC+BC22C

222

所以AB=2.56=()3625216941694132=6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm．

三、巩固练习

教材P14 练习2、3

四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

121132=1(21)(21)(21)2121=2-1，

=1(3(31432)2)2)(33322=3-2，

同理可得：=4-3，„„

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

- 14 - （121+132+143+„„120022001）（2002+1）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3+„„+2002-2001）×（2002+1）

=（2002-1）（2002+1）

=2002-1=2001

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

六、布置作业

1．教材P15 习题21．2 3、7、10．

板书设计：

21.3 二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）22+32 （2）28-38+58

（3）7+27+397 （4）33-23+2

老师点评：

- 15 - （1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？

22+32=（2+3）2=52

（2）把8当成y；

28-38+58=（2-3+5）8=48=82

（3）把7当成z；

7+27+97

=27+27+37=（1+2+3）7=67

（4）3看为x，2看为y．

33-23+2

=（3-2）3+2

=3+2

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）32+8=32+22=52

33+27=33+33=63

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．

例1．计算

（1）8+18 （2）16x+64x

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52

（2）16x+64x=4 例2．计算

（1）348-913x+8x=（4+8）x=12x

+312

（2）（48+20）+（12-5）

- 16 - 解：（1）348-913+312=123-33+63=（12-3+6）3=153

（2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5

=43+25+23-5=63+5

三、巩固练习

教材P19 练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知4x+y-4x-6y+10=0，求（2223x9x+y2xy3）-（x21x-5xyx）的值．

1222 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）+（y-3）=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．

解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0

∵4x-4x+1+y-6y+9=0

∴（2x-1）2+（y-3）2=0

∴x=1222，y=3

23 原式=x9x+y2xy3-x21x+5xyx

=2x =xx+x+61212xy-xxy

x+5xy

当x=，y=3时，

123224 原式=×+6=+36

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、2、3、5．

板书设计：

21.3 二次根式的加减(2)

- 17 - 第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

CQAB

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．

则有PB=x，BQ=2x

依题意，得： x=35

x=35

所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

PQ=PBBQ22P12x·2x=35

2x4x225x2535=57

答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为57厘米．

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四段的长度．

- 18 - B2mA 解：由勾股定理，得

AB= BC=ADBDBDCD1mC

422220=25

2221=5

所需钢材长度为

AB+BC+AC+BD

=25+5+5+2

=35+7

≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．

三、巩固练习

教材P19 练习3

四、应用拓展

232 例3．若最简根式3ab4a3b与根式2abb6b是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式2322322abb6b不是最简二次根式，因此把2abb6b化简成|b|·2ab6，才由同类二次根式的定义得3a-•b=•2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式2abb6b化为最简二次根式：

2322

2abb6b=b(2a16)=|b|·2ab6

2324a3b2ab6 由题意得

3ab2 ∴2a4b63ab2

∴a=1，b=1

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 7．

板书设计：

- 19 - 21.3 二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题:

1．计算

（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）•单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算:

（1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．

解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3

=18+24=32+26

解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22

=23-32

例2．计算

（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）

2 =35-（5）+18-65

- 20 - =13-35

（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2

=10-7=3

三、巩固练习

课本P20练习1、2．

四、应用拓展

例3．已知xba=2-xab，其中a、b是实数，且a+b≠0，

xxx1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过化简x1x1xx+x1x1x）（，并求值．

分析：由于（x1+解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

解：原式=(x1(x1(x1x)2x)2+x)(x1(x1x)2

x)x)(x1x)2x)(x1=(x1)x+(x1(x1)x

=（x+1）+x-2 =4x+2

∵xbax(x1)+x+2x(x1)

=2-xab

∴b（x-b）=2ab-a（x-a）

∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴（a+b）x=a+2ab+b ∴（a+b）x=（a+b）2

∵a+b≠0

∴x=a+b

22

∴原式=4x+2=4（a+b）+2

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

六、布置作业

1．教材P21 习题21．3 1、8、9．

板书设计：

- 21 -