考研数学一-273

2024年1月11日发(作者：数学试卷高三含解析)

考研数学一-273

(总分：47.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：8，分数：32.00)

1.下列命题正确的是 ____ ．

（分数：4.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：[解析]

其他(A)，(C)，(D)均可举出反例如下：

(D)的反例见(C)的反例．

2.设f(x)在x=a的某邻域内有定义，在x=a的某去心邻域内可导，下述论断正确的是 ____ ．

（分数：4.00）

A.

B.

C. √

D.

解析：[解析] (C)的证明． ，今证f\"(a)必不存在．用反证法，设f\"(a)存在，则f(x)在x=a处连续，再由题设，f(x)在x=a的某邻域内连续，从而

矛盾，所以f\"(a)必不存在．

其他(A)，(B)，(D)均可举出反例．

(A)的反例：设当x≠0时，f\"(x)=1，

(B)的反例：设当x≠0时，

不存在．

(D)的反例同(A)的反例，f\"(0)不存在，

是 ____ ．

3.设f(x)是以T为周期的连续函数(若下式中用到f\"(x)，则设f\"(x)存在)，则以下4个结论中不正确的

（分数：4.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：[解析] (B)的反例：f\"(x)=sin x以π为周期，但

不是周期函数，(B)不正确，选(B)．

事实上，设f(x)有周期T，则

有

证毕．以下说明(A)，(C)，(D)均正确．

有周期T的充要条件是 下：命

2可见F(x+T)三F(x)的充要条件是

由f(x+T)=f(x)及f(x)可导，有f\"(x+T)=f\"(x)．所以f\"(x)有周期T，(A)正确．(C)中的被积函数是t的周期函数，由以上证明，

成立，所以(C)正确．

(D)命

的充要条件是 而该积分中的被积函数f(t)-f(-t)是t的奇函数．

所以F(x)以T为周期，(D)正确．

4.设D是由曲线y=x 与直线x=1，y=1所围成的有界闭区域，则

（分数：4.00）

A.

B. √

C.

D.

解析：[解析] 作曲线y=x ，连同x轴与y轴，将D分成4块，按逆时方向，这4块分别记为D

1 ，D

2 ，D

3 与D

4 ．

由奇偶性，

（分数：4.00）

A.1个．

B.2个．

C.3个． √

233____ ．

5.设A是三阶非零矩阵，满足A =0，若线性非齐次方程组AX=b有解，则其线性无关解向量个数是 ____ ．

D.4个．

解析：[解析] A是3×3矩阵，A =A·A=0，故r(A)+r(A)=2r(A)≤3，得

的线性无关解向量的个数是3个，故应选(C)．

[注] 设AX=b有通解为k

1 ξ

1 +k

2 ξ

2 +η，则η，η+ξ

1 ，η+ξ

2 就是AX=b的3个线性无关解向量．

6.设A，B均是三阶非零矩阵，满足AB=0，其中

（分数：4.00）

A.a=1时，必有r(A)=1．

B.a≠-1时，必有r(A)=2．

C.a=2时，必有r(A)=1． √

D.a≠2时，必有r(A)=2．

解析：[解析]

A是非零矩阵，r(A)＞0．

AB=0，r(A)+r(B)≤3，r(A)＞0，故r(B)≤2．

由排除法应选(C)．

或当a=2时，r(B)=2

7.某人打靶的命中率为

的概率为 ____ ．

（分数：4.00）

A.

B.

C.

D. √

解析：[解析] 本题考查条件慨率．靶已命中，可以理解为至少中一次．

设A=至少中一次，B=第一次就命中．所求概率为条件概率

所以答案选(D)．

8.设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ )，其中σ 已知，μ未知．现从中随机抽取n个零件，测得样本均值x，则当置信度为0.90时，判断μ是否大于μ

0 的接受条件为 ____ ．

其中μ

0 满足

（分数：4.00）

A.

B.

222A≠0，r(A)≥1，从而知r(A)=1．齐次方程组AX=0的基础解系中线性无关解向量的个数为n-1=3-1=2．故非齐次线性方程组AX=b，则 ____ ．

r(A)=1，故应选(C)．

，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中

C. √

D.

解析：[解析] 本题假设检验的假设应为H

C :μ≤μ

0 ；H

1 :μ＞μ

0 ．

统计量为 ，单侧检验．

由于 ，故拒绝域为

二、填空题(总题数：6，分数：24.00)

9.设f\"(a)存在，f\"(a)≠0，则

（分数：4.00）

解析：[答案] 应填 [解析]

可以用以下两种方法计算．

方法一 将分子用皮亚诺余项泰勒公式展开至o((x-a)

2 )，

方法二 用洛必达法则：

[注] 此等号不能用洛必达法则，而只能凑成二阶导数的定义去做．

10.设y=y(x)是由方程y

3 +xy+x

2 -2x+1=0确定并且满足y(1)=0的函数，

（分数：4.00）

解析：[答案] 应填-3． [解析]

由隐函数求导，有3y

2 y\"+xy\"+y+2x-2=0，得

再用洛必达法则，

而

所以原式=-3．

11.设l为圆周

（分数：4.00）

解析：[答案] 应填

所以

而

所以

222[解析] 由轮换对称性知，

为l的全长，l是平面x+y+z=a上的圆周，点O到此平面的距离为 ,所以此l的半径为

12.设S为球面x +y +z =R 被锥面

则第一型曲面积分

（分数：4.00）

解析：[答案] 应填

22222截下的小的那部分，并设其中A，B，R均为正常数且A≠B，

[解析] 球面与锥面的交线在xOy平面上的投影曲线的方程为

22(A+1)x +(B+1)y =R ．

则D={(x，y)|(A+1)x 十(B+1)y ≤R }．球面方程(上部)为

D是个椭圆，

13.设

（分数：4.00）

解析：[解] f(A)=E．

14.市场上某产品由甲、乙两厂各生产

（分数：4.00）

解析：[答案] 应填 [解析] 设随机变量ξ

1 ——甲厂产品指标；

，已知甲厂和乙厂的产品指标分别服从分布函数F (x)和F

1

2

，f(x)=x -6x +11x-5，则f(A)= 1．

32所以

(x)，现从市场上任取一件产品，则其指标服从的分布函数为 1．

随机变量ξ

2 ——乙厂产品指标；

随机变量ξ——任取一件产品指标；

事件A——所取一件产品属甲厂生产．

根据全概率公式，所求分布函数为

三、解答题(总题数：9，分数：-9.00)

15.设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)使

（分数：-1.00）

若f(ξ)＞0且单调减少，则ξ是唯一的．

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正确答案：()

解析：[证] 命

F(x)-(1-x)F\"(x)=0

在(0，1)内存在根．作函数(此种作函数的方法称微分方程法)

φ(x)=(1-x)F(x)，

有φ(0)=F(0)=0，φ(1)=0，由罗尔定理知存在ξ∈(0，1)使φ\"(ξ)=0，即

-F(ξ)+(1-ξ)F\"(ξ)=0．

证明了ξ∈(0，1)的存在性．再设f(x)＞0，去证这种ξ是唯一的．

设存在ξ∈(0，1)及η∈(0，1)，不妨设ξ＞η，使

两式相减，由f(x)单调减少及f(x)＞0，得

但左边

（分数：-1.00）

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正确答案：()

解析：[解]

共点．

当x＞0，直接讨论y=e 与y=x 不方便，改为讨论公共点个数，与此等价的是

z=lny=ax与z=lny=2lnx．

命

f(x)只有1个零点．

17.设

条件收敛．

ax2，即去证明存在ξ∈(0，1)使F(ξ)-(1-ξ)F\"(ξ)=0．将ξ改为x，即去证方程

这是一个矛盾．这就证明了这种ξ∈(0，1)是唯一的．证毕．

ax216.设常数a＞0，讨论曲线y=e 与y=x 的公共点的个数．

0，所以在区间(-∞，0]内g(x)有且仅有1个零点，即y=e 与y=x 有且仅有1个公ax2试证明：(Ⅰ)

(Ⅱ)级数

（分数：-1.00）

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正确答案：()

解析：[解] (Ⅰ)因为

所以

又

又因a

n ＞a

n+2 ，所以2a

n ＞a

n +a

n+2 ，从而

因2a

n+2 ＜a

n +a

n+2 ，从而

(Ⅰ)证毕．

18.设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f\"(0)=1，且微分方程

(xy(x+y)-f(x)y)dx+(f\"(x)+x y)dy=0

为全微分方程．

(Ⅰ)求f(x)；

(Ⅱ)该全微分方程的通解．

（分数：-1.00）

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正确答案：()

解析：[解] (Ⅰ)

(Ⅱ)求全微分方程

[xy -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x y)dy=0的通解．关键是求原函数．

方法一 凑原函数法．

[xy -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x y)dy

=xy(ydx+xdy)+(-2sinx+cosx)dy+yd(-2sinx+cosx)+2(xdy+ydx)

所以该全微分方程的通解为

方法二 折线法．

22222

，于是

2求得满足f(0)=0，f\"(0)=1的特解为f(x)=2cosx+sinx+x -2．

19.设a与b都是常数且b＞a＞0．

(Ⅰ)试写出yOz平面上的圆(y-b) +z =a 绕Oz轴一圈生成的环面S的方程；

(Ⅱ)S所围成的实心环的空间区域为Ω，计算三重积分

222

（分数：-1.00）

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正确答案：()

解析：[解] (Ⅰ)

(Ⅱ)用柱面坐标，按先x再r后θ的次序，

其中

作积分变量替换：t=r-b，得

再命t=asinu，从而

20.设线性方程组

添加一个方程ax

1 +2x

2 +bx

3 -5x

4 =0后，成为方程组

(Ⅰ)求解(*)的通解．

(Ⅱ)a、b满足什么条件时，(*)(**)是同解方程组．

（分数：-1.00）

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正确答案：()

解析：[解] (Ⅰ)

T得(*)的通解为k(-3，-5，1，0) ，k是是任意常数．

(Ⅱ) 方法一 (*)(**)是同解方程

-3ka=(-5k)·2+bk+0=0，

即(-3a+b)k=10k，因k是任意常数．故得-3a+b=10．

方法二 (*)(**)是同解方程组，则(**)中新添方程应可由原方程的三个方程线性表出，即新添方程是多余方程．

将方程的增广矩阵进行初等行变换得

(*)的通解满足(**)的第4个方程，代入得

故(*)(**)同解 b-3a=10

21.A是三阶矩阵，有特征值λ

1 =λ

2 =2，对应两个线性无关的特征向量为ξ

1 ，ξ

2 ，λ

3 =-2对应的特征向量是ξ

3 ．

(Ⅰ)问ξ

1 +ξ

2 是否是A的特征向量? 说明理由．

(Ⅱ)ξ

1 +ξ

3 是否是A的特征向量? 说明理由．

(Ⅲ)证明：任一三维非零向量β(β≠0)都是A 的特征向量，并求对应的特征值．

（分数：-1.00）

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正确答案：()

解析：[解] (Ⅰ)ξ

1 +ξ

2 仍是A的对应于λ

1 =λ

2 2的特征向量．

因已知Aξ

1 =2考，，Aξ

2 =2ξ

2 ，故

A(ξ

1 +ξ

2 )=Aξ

1 +Aξ

2 =2ξ

1 +2ξ

2 =2(ξ

1 +ξ

2 )．

(Ⅱ)ξ

2 +ξ

3 不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为μ，则有

A(ξ

2 +ξ

3 )=μ(ξ

2 +ξ

3 )，

得2ξ

2 -2ξ

3 -μξ

2 -μξ

3 =(2-μ)ξ

2 -(2+μ)ξ

3 =0，

因2-μ和2+μ不同时为零，故ξ

2 ，ξ

3 线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，故ξ

2 +ξ

3 不是A的特征向量．

(3)因A有特征值λ

1 =λ

2 =2，λ

3 =-2，故A 有特征值μ

1 =μ

2 =μ

3 4．对应的特征向量仍是ξ

122 ，ξ

2 ，ξ

3 ，且ξ

1 ，ξ

2 ，ξ

3 线性无关．故存在可逆阵P=[ξ

1 ，ξ

2 ，ξ

3 ]，使得

-122-122P A P=4E，A =P(4E)P =4E，

从而有对任意的β≠0，有A β=4Eβ=4β，故知任意非零向量卢都是A 的对应于λ=4的特征向量．

22.设随机变量X在区间(a，6)上均匀分布，已知

试求：(Ⅰ)a，b的值；

(Ⅱ)|X|的概率密度．

（分数：-1.00）

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正确答案：()

解析：[分析] 如果

和

P(-2＜X＜0)和P(1＜X＜3)均不为零．

[解] (Ⅰ)从

因为

而另一方面，

P(0＜X＜1)=1-P(X≤0)-P(X≥1)≤1-P(-2＜X＜0)-P(1＜X＜3)=1-

所以

现在来考察P(X＞1)．

同时，

即1为a，b的中点，由

当z≤0时，F(x)=0．

当3≤x时，F(x)=1．

总之|X|的概率密度

(Ⅱ)|X|的分布函数F(x)=P(|X|≤x)．

23.设X

1 ，X

2 ，…，X

n 为来自总体X的简单随机样本，而X～B(1，p)，

(Ⅰ)试求：

(Ⅱ)证明：

（分数：-1.00）

的概率分布；

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正确答案：()

解析：[分析] X～B(1，p)，故X有分布

[解] (Ⅰ)

即

(Ⅱ)

其中，因为X

i 取值0或1，故