2024年3月23日发(作者：数学试卷未订正检讨书)
第三章 函数极限 5 无穷小量与无穷大量(习题)
1、证明：
(1)2x-x=O(x) (x→0)；(2)xsin
x=O(x
) (x→0
+
)；(3)
1+x−1=o(1) (x→0)；
(4)(1+x)
n
=1+nx+o(x) (x→0) (n为正整数)；(5)2x
3
-x
2
=O(x
3
) (x→∞)；
(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x)) (x→x
0
)；(7)o(g
1
(x))·o(g
2
(x))=o(g
1
(x)·g
2
(x)) (x→x
0
).
证：(1)∵lim
(2)∵lim
+
x→0
x→0
2x−x
2
x
x→0
xsin
x
3
x
2
2
3
2
=lim
(2−x)=2；∴2x-x
2
=O(x) (x→0).
x→0
sin
x
x
=lim
+
x→0
=1；∴xsin
x=O(x
) (x→0
+
).
3
2
(3)∵lim
(
1+x−1)= 0；∴
1+x−1=o(1) (x→0).
(4)∵lim
x→0
(1+x)−1−nx
x
n
x→0
=lim
x
n
+nx
n−1
+
n
n−1
n−2
x+⋯n(n−1)x
2
+nx+1−1−nx
2
x→0
n
n−1
2
x
=lim
x
n−1
+nx
n−2
+x
n−3
+⋯n
n−1
x =0；
∴(1+x)
n
-1-nx = o(x) (x→0)；∴(1+x)
n
=1+nx+o(x) (x→0).
(5)∵lim
2x
3
−x
2
x
3
x→∞
=lim
2−
x
=2；∴2x
3
-x
2
=O(x
3
) (x→∞).
x→∞
x→x
0
1
(6)设函数f(x)=o(g(x)) (x→x
0
)，则lim
∵lim
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本文发布于:2024-03-23 23:19:44，感谢您对本站的认可！
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