非奇异H-矩阵的一类实用性判据

2024年1月1日发(作者：临沂中学数学试卷题型分值)

第37卷第2期（2021）河西学院学报Vol.37No.2（2021）非奇异H-矩阵的一类实用性判据杨亚芳梁茂林天水741001）（天水师范学院数学与统计学院，甘肃［摘要］通过比较矩阵元素的方法，给出了非奇异矩阵；不可约；非零元素链［文献标识码］A矩阵判定的一组充分条件，并用数值例子说明了结果的有效性.［关键词］非奇异［中图分类号］O151.21［文章编号］1672-0520（2021）02-0020-06［DOI］10.13874/.62-1171/g4.2021.02.004ANewTypeofDeterminateDeterminateConditionsforNonsingularH-matricesYangYa-fangLiangMao-lin（CollegeofMathematicsandStatistics，TianshuiNormalUniversity，TianshuiGansu741001）Abstract：Inthispaper，agroupofpracticessufficientconditionsfornonsingularH-matricesisobtainedbycom⁃paringtheelementsofamatrix，ands：NonsingularH-matrix；Irreducibility；Nonzeroelementschain1引言非奇异H-矩阵在数学、物理、控制论及经济数学等许多领域有着重要的研究价值和实用价值.如何在实际应用中简便的判别一个矩阵是否是非奇异H-矩阵，一直是人们关注的问题.近年来，国内外许多作者做了大量的工作，给出了一些研究成果［1-10］.本文根据H-矩阵的性质，通过比较矩阵元素的方法，给出了判定非奇异H-矩阵的一组新条件，并用数值例子说明了该组充分条件的有效性.用Cn´n表示n复矩阵的集合.设A=(aij)ÎCn´n,对∀i,j∈N={1,2,⋯,n},记|aii|>Ei,则称A为严格α-对角占优矩阵，记为A∈D(α)；若存在正对角矩阵X，使得AX∈D(α),则称n´n定义1.1［1］设A=(aij)ÎC,若存在α∈(0,1],使得|aii|≥Ei,则称A为α-对角占优矩阵；若收稿日期：2020-07-26基金项目：天水师范学院伏羲科研创新团队基金资助项目（项目编号：FXD2020-03）；天水师范学院教学改革研究基金资助项目（项目编号：JY202004，JY203008）；天水师范学院创新能力提升项目（项目编号：CXT2019-36）.作者简介：杨亚芳，女，甘肃天水人，讲师，研究方向：数值线性代数.·20·

杨亚芳梁茂林：非奇异H-矩阵的一类实用性判据A为广义严格α-对角占优矩阵，记为A∈D*(α).定义1.2［1］设A=(aij)ÎCn´n个i使得|aii|>Ei.若A不可约，则称A为不可约α-对角占优矩阵(记作A∈D(α))；若对|aii|≥Ei式中每-,若存在α∈(0,1],使对任意的iÎN有|aii|≥Ei成立，且至少存在一≠0,满足ajj³aLj(A)+(1-a)Sj(A),则称A为kkkk一个等号成立的i都存在非零元素链aijajj⋯aj112k-1jk0具有非零元素链的α-对角占优矩阵(A∈D(α)).引理1.1［3］设A=(aij)ÎC引理1.2［1］设A=(aij)ÎC占优矩阵，则A∈D.另记n´nn´n,α∈(0,1],则A非奇异H-矩阵(记作A∈D)当且仅当A∈D*(α).,若A为不可约α-对角占优矩阵或A为具有非零元素链的α-对角则N=N1ÅN2ÅN3.易知，若N1⋃N2=∅,则A∈D;若N3=∅,则A∉D;因此我们常假设N1⋃N2≠∅,N3≠∅.定义易知，且2主要结果定理2.1根据文［7］中引理1，本文中我们总假设Λi(A)≠0,Si(A)≠0,i=1,2,⋯n.设A=(aij)ÎCn´nìü,aÎ(0,1],且I1(A)=íiÎN1aii=aåaitý=Æ,若tÎN1,t¹iîþ（2.1）成立，则A为非奇异H-矩阵.证明对∀i∈N2,记|ait|=0，则记Mi=+∞.所以一定存在充分小的正数e满足若∃i∈N2,对∀t∈N3,都有∑t∈N3（2.2）·21·

河西学院学报2021年第2期构造正对角矩阵D=diag{d1,d2,L,dn},其中易知D£1.下证B=AD∈D(α).由，知因此|ait|=0时，由\"iÎN2,当∑（2.1）式得t∈N3当∑|ait|≠0时，由（2.1）式知t∈N3|ait|-(1-α)Si(A)>0,从而\"iÎN3,一定有|aii|-αt∈∑N,t≠i3综上所述，|bii|>αΛi(B)+(1-α)Si(B),(i∈N),即B∈D(α),因此A∈D.注由于·22·

杨亚芳梁茂林：非奇异H-矩阵的一类实用性判据故本文定理2.1包含了文［5］的定理1，因此本文改进了文［5］中的主要结果.下面给出矩阵为不可约的情况定理2.2设A=(aij)ÎCn´n,aÎ(0,1],且A不可约，如果（2.3）成立，且N1≠∅或至少∃k∈N2使得成立，则A为非奇异H-矩阵.证明构造正对角矩阵D=diag{d1,d2,L,dn},其中显然D£1.下证B=AD∈D(α).|ait|+∑|ait|≠0,因此\"iÎN1,由A不可约知∑t∈Nt∈N3,2\"iÎN2,由（2.3）知由A不可约，且N1≠∅或至少∃k∈N2使得成立，知B∈D(α),所以根据引理1.2知A∈D.由引理1.2可得下面定理-·23·

河西学院学报2021年第2期aijajj⋯aj112定理2.3l-1jl≠0,满足l∈I1(A)或n×n设A=(aij)∈C,α∈(0,1],若（2.3）式成立，且对∀i∈(N2k)⋃(N1I1(A))⋃N3存在非零元素链则A为非奇异H-矩阵.证明构造对角矩阵D=diag{d1,d2,⋯,dn},令B=AD=(bij)，其中格不等号成立.又对每个等号成立得i有非零元素链birbrr⋯,br3B∈D0(α),所以A∈D.112类似定理（2.2）的证明可得B=AX=(bij)，满足|bii|≥αRi(B)+(1-α)Si(B)(∀i∈N),且其中至少有一个严l-1l，满足|bll|≥αRl(B)+(1-α)Sl(B),从而数值例子例1判定矩阵是否为非奇异H-矩阵.首先取α=0.95,则N1=∅,N2={2,3},N3={1,4,5}.计算得故由本文定理2.1可判定A为非奇异H-矩阵.但故不能由文献［4］来判别.·24·

杨亚芳梁茂林：非奇异H-矩阵的一类实用性判据故不能由文献［5］来判别.故不能由文献［6］来判别.故不能由文献［7］来判别.经计算得文献［8］中的(2)31(2)故不能由文献［8］来判别.经计算得文献［9］中的R2=,R3=4,4故不能由文献［9］来判别.因为要使当且仅当δ<-2，而这样的δ不满足定理的条件.故不能由文献［10］来判别.参考文献：［1］孙玉祥.广义对角占优矩阵的充分条件［J］.高等学校计算数学学报，1997，19（3）：216-223.［2］谢清明.判定广义对角占优矩阵的的几个充分条件［J］.工程数学学报，2006，23（4）：757-760.［3］李继成，张文修.H矩阵的判定［J］.高等学校计算数学学报，1999，21（3）：264-268.［4］逄明贤.广义对角占优阵的判定及其应用［J］.数学年刊，1985，3：323-330.［5］江如.非奇异H矩阵的新判据［J］.工程数学学报，2011，28（3）：393-400.［6］黄廷祝.非奇异H矩阵的简捷判据［J］.计算数学，1993，15（4）：318-328.［7］干泰彬，黄廷祝.非奇异H矩阵的实用充分条件［J］.计算数学，2004，26（1）：109-116.［8］杨亚芳.非奇异H矩阵判定的充分条件［J］.河西学院学报，2014，30（5）：31-33.［9］杨亚芳.非奇异H矩阵判定的实用充分条件［J］.天水师范学院学报，2011，31（5）：14-16.［10］杨亚芳.判别非奇异H阵的一个实用充分条件［J］.宝鸡文理学院学报，2007，27（3）：183-185.［责任编辑：张有为］·25·