2024年3月10日发(作者：小升初数学试卷有解析)

2023届崇明区高三二模考试数学试卷

2023.04

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题

每题

5

分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1.若不等式

x21

，则x的取值范围是____________．

2.设复数z满足

3.已知集合

4.已知函数

1i

z2i

（i为虚数单位），则

z

____________．

，

A

1,2

Ba,a

2

1

，



，若

AB

1

，则实数

a

的值为____.

ysin

2

x

0

的最小正周期为1，则

______.

5.已知正实数a、b满足

ab1

，则

a4b

的最小值等于____________．

1

(x

4

)

10

x

的展开式中常数项是________________.（用数字作答）

6.在

7.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98

,则这15人成绩的第80百分位数是

________．

8.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气

温．

气温（℃）

用电量（度）

14

22

12

26

8

34

6

38

y2xb

由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约

为____________℃．

2

x2y

上的两个不同的点

A

，

B

的横坐标恰好是方程

x

2

6x40

的根，

9.已知抛物线

则直线

AB

的方程为______．

10.在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路

上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号

车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素

则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车

辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写

出一个你认为合理的假设________________________．

第

1

页/共

5

页



rr







bc

的

ab1

a2

bc

a,b,c

bc

11.设平面向量

满足：，，，，则取值范围是

____________．

x

3

,

x

0

y

e

x

ax

2

,

x

0

12.若函数

的图像上点

A

与点

B

、点

C

与点

D

分别关于原点对称，除此之

外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数

a

的取值范围是____________．

二、选择题（本大题共有

4

题，满分

18

分，其中

13-14

题每题

4

分，

15-16

题每

题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表

答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】

13.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（

A.

f

x

tanx

C

B.

f

x



）

1

x

x

.

f

x

xcosx

2

D.

f

x

ee

x

2

14.设两个正态分布

N(

1

，

1

)(

1

0)

和

N(

2

，

2

)(

2

0)

的密度函数图像如图所

示．则有

A.

1

2

,

1

2

B.

1

2

,

1

2

C.

1

2

,

1

2

D.

1

2

,

1

2

15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩

形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为

“

阳马

”

；四个面均为直角三角形的四面体称为

“

鳖

臑”.如图，在堑堵

ABC-A

1

B

1

C

1

中，

AC

且

AA

1

AB2

.下列说法错误

的是（

BC

，

．．

）

第

2

页/共

5

页

A.

四棱锥

BA

1

ACC

1

为

“

阳马

”

B.四面体

AC

11

CB

为“鳖臑”

C.

四棱锥

BA

1

ACC

1

体积的最大值为

2

3

D.过A点作

AEA

1

B

于点E，过E点作

EFA

1

B

于点F，则

A

1

B

面AEF

16.

已知数列

a

n

是各项为正数

的

等比数列，公比为

q

，在

a

1

,a

2

之间插入

1

个数，使这

3

个数成等差数列，记公差为

d

1

，在

a

2

,a

3

之间插入

2

个数，使这

4

个数成等差数列，公差为

d

2

,

，在

a

n

,

a

n

1

之间插入n个数，使这

n2

个数成等差数列，公差为

d

n

，则（

A.当

0q1

时，数列

d

n

单调递减

C.当

d

1

d

2

时，数列

d

n

单调递减

）

B.当

q1

时，数列

d

n

单调递增

D.当

d

1

d

2

时，数列

d

n

单调递增

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应

编号的规定区域内写出必要的步骤．】

17.如图，已知点P在圆柱

O

1

O

的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为

20π

，

OA2

，

AOP

120

．

（

1

）求直线

A

1

P

与平面

ABP

所成角的大小；

第

3

页/共

5

页

（2）求点

A

到平面

A

1

BP

的距离．



m

2ac,b

，

n

cosB,cosC

，

18.在△

ABC

中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，



mn0

.

（1）求角B大小；

（2）设

f

x

2cos

x

sin

x

π

2

2sin

x

sin

B

2sin

x

cos

x

cos

A

C

，当

3

π2π

x

,

时，求

f

x

的最小值及相应的

x.

63

19.

某校工会开展健步走活动，要求教职工上传

3

月

1

日至

3

月

7

日的微信记步数信息，下

图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

（

1

）从

3

月

2

日至

3

月

7

日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于

10000

的

概率；

（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的

天数为

X

，求

X

的分布列及数学期望；

（

3

）下图是校工会根据

3

月

1

日至

3

月

7

日某一天的数据制作的全校

200

名教职工微信记

步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位

200

名教职工中排名（按照从

大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图

（不用说明理由）．

x

2

y

2

点

A,B

分别是椭圆

Γ

与

y

轴的交点（点

A

在

20.

已知椭圆

Γ

：

2



1

m

0,

m

2

，

m

2



点

B

的上方），过点

D

0,1

且斜率为

k

的直线

l

交椭圆

于

E,G

两点．

第

4

页/共

5

页

（

1

）若椭圆

焦点在

x

轴上，且其离心率是

（2）若

mk1

，求

BEG

的面积；

2

，求实数

m

的值；

2

（

3

）设直线

AE

与直线

y2

交于点

H

，证明：

B,G,H

三点共线．

21.已知定义域为D的函数

yf

x

，其导函数为

y

f

x

，满足对任意的

xD

都有

f

x

1

．

（1）若

f

x

axlnx

，

x

1,2

，求实数a

的

取值范围；

（

2

）证明：方程

f(x)x0

至多只有一个实根；

（3）若

yf

x

，

xR

是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数

x

1

，

f

x

1

f

x

2

1

．

第

5

页/共

5

页

x

2

，都有

2023届崇明区高三二模考试数学试卷

2023.04

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题

每题

5

分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】

1.若不等式

x21

，则x的取值范围是____________．

【答案】

x1x3

【解析】



【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.

【详解】∵

x21

，则

1x21

，解得

1x3

，

∴x的取值范围是

x1x3

.

故答案为：

x1x3

.

2.设复数z满足

1i

z2i

（i为虚数单位），则

z

____________．

【答案】

1i

##

i1

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求解

.

【详解】∵

1i

z2i

，则

z

故答案为：

1i

.

3.已知集合

A

1,2

，

Ba,a1

，若

AB

1

，则实数

a

的值为____.

2





2i

1

i

2i



1

i

.

1

i

1

i



1

i



【答案】

0

【解析】

【分析】由

AB

1

可得出

a1

或

a

2

11

，并验证

AB

1

是否成立，由此可求

得实数

a

的值.

集合

A

1,2

，

Ba,a

2

1

，

AB

1

，

【详解】

则

a1

或

a

2

11

，解得

a0



或

a1

.

当

a0

时，

B

0,1

，则

AB

1

，合乎题意；

当

a1

时，

B

1,2

，则

AB

1,2

，不合乎题意.

综上所述，

a0

.

故答案为：

0

.

第

1

页/共

17

页

【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题

.

4.已知函数

ysin

2

x

，

0

的最小正周期为1，则

______.

【答案】

2

【解析】

【分析】根据三角函数周期与角频率的关系求解.

【详解】

T

2

，依题意

T1,

2

；

故答案为：

2

.

5.已知正实数a、b满足

ab1

，则

a4b

的最小值等于____________．

【答案】4

【解析】

【分析】直接利用基本不等式计算得到答案

.

【详解】

a4b24ab244

，当

a4b

，即

a2

，

b

则

a4b

的

最小值为4．

故答案为：4．

6.在

(x

)

的展开式中常数项是________________.（用数字作答）

【答案】45

【解析】

【详解】

(x

4

+

=

ð

10

x

r

4

1

时等号成立，

2

1

x

10

1

10

)

的通项为

x

(

4(10-r)

1

r

)=

x

,

令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为

==45.

7.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：

56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98

,则这

15

人成绩的第

80

百分位数是

________

．

【答案】90.5

【解析】

【分析】计算

1580%12

，即可确定这

15

人成绩的第

80

百分位数为第

12

和第

13

个数

据的平均数，由此可得答案

.

【详解】因为

1580%12

，

第

2

页/共

17

页

故这15人成绩的第80百分位数为

故答案为：90.5

90

91

90.5

，

2

8.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气

温．

气温（℃）

用电量（度）

14

22

12

26

8

34

6

38

，据此预测当气温为

5℃

时，用电量的度数约由表中数据所得回归直线方程为

y2xb

为____________℃．

【答案】

40

【解析】

ˆ

，然后令

x5

代入回归直线进行求解.【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出

b

【详解】根据表格数据可得，

x

14

12

8

622

26

34

38

10

，

y



30

，根据

44

经过样本点中心

x,y

，

ˆ

30

，

ˆ

50

，回归直线性质，

y2xb

即

(10,30)

，故

20b

得

b

故回归直线为

y2x50

，当

x5

，

y40

.

故答案为：

40

9.

已知抛物线

x

2

2y

上的两个不同的点

A

，

B

的横坐标恰好是方程

x

2

6x40

的根，

则直线

AB

的方程为

______

．

【答案】

y3x2

.

【解析】

【分析】设直线

AB

的方程为

ykxb,A

x

1

,y

1

,B

x

2

,y

2

，根据题意结合韦达定理可得



x

1

x

2

,x

1

x

2

，联立方程，再次里由韦达定理求得

x

1

x

2

,x

1

x

2

，从而可求出

k,b

，即可

得解.

【详解】解：由题意，直线

AB

的斜率存在，

设直线

AB

的方程为

ykxb,A

x

1

,y

1

,B

x

2

,y

2

，

因为点

A

，

B

的横坐标恰好是方程

x

2

6x40

的根，

所以

x

1

x

2

6,x

1

x

2

4

，

联立

y

kx

b

，消

y

得

x

2

2kx2b0

，

2

x

2

y

则

x

1

x

2

2k,x

1

x

2

2b

，

第

3

页/共

17

页

所以

2k6,2b4

，所以

k3,b2

，

经检验，符合题意，

所以直线

AB

的方程为

y3x2

.

故答案为：

y3x2

.

10.

在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为

30

秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路

上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号

车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素

则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车

辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写

出一个你认为合理的假设

________________________

．

【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下

匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，

不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）

【解析】

【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距

不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可

.

【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的

假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；

②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；

③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；

④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；

故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.



rr







11.

设平面向量

a,b,c

满足：

a2

，

bc

，

ab1

，

bc

，则

bc

的取值范围是

____________．

【答案】

2,32

【解析】



【分析】根据题设条件，设出

a,b,c

的坐标，利用坐标运算进行求解



【详解】依题意，设

a(2cos

,2sin

)

，

b(t,0),c(0,t)

，

tR

.

rr

2

根据

ab1

，即

(2cos

t,2sin

)1

，即

2cos

t

(2sin

)

2

1

，整理得

rrr



显然

t0

，否则

b(0,0)0

，

aba1

，与已知矛盾，故

t

2

34tcos

可得

第

4

页/共

17

页

t

2

34tcos

.

t

2

3

.

cos

4

t

t

2

3

1

，即

t

2

4t30

，则有

t

2

4t30

，故

t1



t3

0

，

由

cos

4

t

解得

1t3

.



故

bc

t,t

2t

2,32

.

故答案为：

2,32

x

3

,

x

0

的图像上点

A

与点

B

、点

C

与点

D

分别关于原点对称，除此之

12.

若函数

y

e

x

ax

2

,

x

0

外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数

a

的取值范围是

____________

．

【答案】

,0

【解析】

【分析】由题意将问题转化为

f

x

在

,0

的图像关于原点对称后与

0,

的图像有

1

e

x

x

3

两个交点，即转化为方程

x

ax

2

在

0,

上有两根，孤立参数为

a

x

在

0,

上

e

e

有两根，求导确定函数

y

值范围.

【详解】若

f

x

有两组点关于原点对称，则

f

x

在

,0

的图像关于原点对称后与

x

的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数

a

的取

x

e

0,

的图像有两个交点．

由

x0

时，

f

x

ax

；得其关于原点对称后的解析式为

yax

2

．

2

x

3

x

3

2

问题转化为

y

x

与

yax

在

0,

上有两个交点，即方程

x

ax

2

有两根，

e

e

化简得

a

对于

y

x

x

ya

与

y

，即在

0,

上有两个交点．

e

x

e

x

x

1

x

1

x

y

\'

y

\'



0

，解得：

x1

，

，求导

，令

e

x

e

x

e

x

x

单调递增；

e

x

即：当

x

0,1

时，

y

第

5

页/共

17

页

令

y

\'

1

x

0

，解得：

x1

．

e

x

x

单调递减，

e

x

1

，

x

时，

y0

；画出其大致图像：

e

即：当

x

1,

时，

y

∴

x1

为其极大值点，

y

max

欲使

ya

与

y

x

1

1

a

0,

a

x0

在时有两个交点，则

，即



,0

．

x

e

e



e

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每

题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表

答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】

13.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（

A.

f

x

tanx

C.

f

x

xcosx

【答案】D

【解析】

【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.

【详解】对于

A

，

f

x

tanx

为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，

不符合题意；

对于

B,f

x



B.

f

x



）

1

x

x

D.

f

x

e

e

x

1

，定义域为

,0

0,

,f

x

f

x

，所以

f

x

为奇函数，

x

但在定义域内不单调，不符合题意；

对于C，

f

x

xcosx,f

x

xcos

x

xcosxf

x

，

故函数

f

x

xcosx

不是奇函数，不符合题意；

对于D，

f

足题意；

故选：

D.

\'

x

e

x

e

x

0

，是增函数，

f

x

e

x

e

x



f

x

，是奇函数，满

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