2024年4月11日发(作者：教师初中数学试卷分析报告)

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

第I卷

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

（1）已知集合

A{1,2,3,4,5}

，

B{(x,y)|xA,yA,xyA}

，则

B

中所含元素的个数为

（A） 3 （B） 6 （C） 8 （D） 10

（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1

名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

（A） 12种 （B） 10种 （C） 9种 （D）8种

（3）下面是关于复数

z

2

的四个命题

1i

p

1

：

|z|2

p

2

:

z

2

2i

p

3

:

z

的共轭复数为

1i

p

4

：

z

的虚部为

1

其中真命题为

(A )

p

2

,

p

3

（B）

p

1

,

p

2

（C）

p

2

，

p

4

（D）

p

3

,

p

4

x

2

y

2

（4）设

F

1

,F

2

是椭圆

E:

2

2

1(ab0)

的左、右焦点，

P

为

ab

直线

x

3a

o

上的一点，

F

2

PF

1

是底角为

30

的等腰三角形，则

2

E

的离心率为

1234

(A) (B) (C) (D)

2345

（5）已知

{a

n

}

为等比数列，

a

4

a

7

2

，

a

5

a

6

8

，则

a

1

a

10

(A)

7

(B)

5

(C)

5

(D)

7

（6）如果执行右边的程序图，输入正整数

N(N2)

和实数

a

1

,a

2

,...,a

N

输入

A,B

,则

(A)

AB

为

a

1

,a

2

,...,a

N

的和

（B）

AB

为

a

1

,a

2

,...,a

N

的算式平均数

2

（C）

A

和

B

分别是

a

1

,a

2

,...,a

N

中最大的数和最小的数

（D）

A

和

B

分别是

a

1

,a

2

,...,a

N

中最小的数和最大的数

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某

几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6 (B)9 （C）12 （D）18

（8）等轴双曲线

C

的中心在原点，焦点在

x

轴上，

C

与抛物线

y16x

的准线交于

A,B

两点，

2

|AB|43

，则

C

的

实轴长为

（A）

2

（B）

22

（C）

4

（D）

8

（9）

已知

0

，函数

f(x)sin(

x

)

在

,

单调递减，则

的取值范围

4

2

15131

(A)

[,]

(B)

[,]

(C)

(0,]

(D)

(0,2]

24242

（10）已知函数

f(x)

1

，则

yf(x)

的图像大致为

ln(x1)x

（11）已知三棱锥

SABC

的所有顶点都在球

O

的球面上，

ABC

是边长为

1

的正三角形，

SC

为

O

的直径，且

SC2

，则此棱锥的体积为

(A)

2322

(B)

(C)

(D)

6632

（12）设点

P

在曲线

y

1

x

e

上，点

Q

在曲线

yln(2x)

上，则

|PQ|

的最小值为

2

(A)

1ln2

(B)

2(1ln2)

(C)

1ln2

(D)

2(1ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22

题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分。

r

rrr

rr

（13）已知向量

a,b

夹角为45°，且

|a|1,|2ab|10

，则

b

____________.

xy1,

xy3,

（14）设

x,y

满足约束条件

则

zx2y

的取值范围为__________.

x0,

y0,

（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布

N(1000,50

2

)

，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的

概率为_________________.

n

(16)数列

a

n

满足

a

n1

(1)a

n

2n1

，则

a

n

的前60项和为________.

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知

a,b,c

分别为

ABC

的三个内角

A,B,C

的对边，

acosC3asinCbc0

.

（Ⅰ）求

A

；

（Ⅱ）若

a2

，

ABC

的面积为

3

，求

b,c

.

（18）（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不

完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润

y

（单位：元）关于当天需求量

n

（单位：枝，

nN

）

的函数解析式;

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

日需求量

n

14 15 16 17 18 19 20

频数 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，

X

表示当天的利润（单位：元），求

X

的分布列、数学期望及

方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

中，

ACBC

中点，

DC

1

BD

。

（1） 证明：

DC

1

BC

；

（2） 求二面角

A

1

BDC

1

的大小.

（20）（本小题满分12分）

2

1

AA

1

，

D

是棱

AA

1

的

2

A

1

C

1

B

1

D

C

A

B

设抛物线

C：x2py(p0)

的焦点为

F

，准线为

l

，

A

为

C

上一点，已知以

F

为圆心，

FA

为半

径的圆

F

交

l

于

B,D

两点.

o

（1） 若

BFD90

，

ABD

的面积为

42

，求

p

的值及圆

F

的方程；

（2） 若

A,B,F

三点在同一直线

m

上，直线

n

与

m

平行，且

n

与

C

之有一个公共点，求坐标原点到

m,n

距离的比值.

（21）（本小题满分12分）

已知函数

f(x)

满足

f(x)f(1)e

x1

1

f(0)xx

2

.

2

（1） 求

f(x)

的解析式及单调区间；

（2） 若

f(x)

1

2

xaxb

，求

(a1)b

的最大值.

2

A

D

E

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的

第一题计分。作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲

如图，

D,E

分别为

ABC

边

AB,AC

的中点，直线

DE

交

ABC

的

外接圆于

F,G

两点，若

CF//AB

，证明：

（Ⅰ）

CDBC

；

G

F

B

C

（Ⅱ）

BCD∽GBD

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线

C

1

的参数方程式

x2cos

（

为参数），以坐标原点为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立

y3sin

坐标系，曲线

C

2

的极坐标方程式

2

.正方形

ABCD

的顶点都在

C

2

上，且

A,B,C,D

依逆时针次序

排列，点Ａ的极坐标为

2,

.

2

（Ⅰ）求点

A,B,C,D

的直角坐标；

（Ⅱ）设

P

为

C

1

上任意一点，求

|PA||PB||PC||PD|

的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知函数

f(x)|xa||x2|

（Ⅰ）当

a3

时，求不等式

f(x)3

的解集；

（2）若

f(x)|x4|

的解集包含

[1,2]

求

a

的取值范围.

2222

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

（1）【解析】选

D

x5,y1,2,3,4

，

x4,y1,2,3

，

x3,y1,2

，

x2,y1

共10个

（2）【解析】选

A

12

甲地由

1

名教师和

2

名学生：

C

2

C

4

12

种

（3）【解析】选

C

z

22(1i)

1i

1i(1i)(1i)

p

1

:z

（4）【解析】选

C

2

，

p

2

:z

2

2i

，

p

3

:z

的共轭复数为

1i

，

p

4

:z

的虚部为

1

3

2

c3

a4

F

2

PF

1

是底角为

30

o

的等腰三角形

PF

2

F

2

F

1

2(ac)2ce

（5）【解析】选

D

a

4

a

7

2

，

a

5

a

6

a

4

a

7

8a

4

4,a

7

2

或

a

4

2,a

7

4

a

4

4,a

7

2a

1

8,a

10

1a

1

a

10

7

a

4

2,a

7

4a

10

8,a

1

1a

1

a

10

7

（6）【解析】选

C

（7）【解析】选

B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为

3

此几何体的体积为

V

（8）【解析】选

C

设

C:xya(a0)

交

y16x

的准线

l:x4

于

A(4,23)B(4,23)

得：

a

2

(4)

2

(23)

2

4a22a4

（9）【解析】选

A

222

11

6339

32

2

5

9

2(

x)[,]

不合题意 排除

(D)

444

3

5

1(

x)[,]

合题意 排除

(B)(C)

444


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