基于高斯滤波下的粗糙度不确定度的计算

2023年12月25日发(作者：第五单元测试卷 数学试卷)

基于高斯滤波下的粗糙度不确定度的计算

刘晨辉

【摘 要】自由曲面的粗糙度的大小直接反映了表面加工质量的优劣.粗糙度的提取可以通过滤波过程来实现, 本文选取高斯滤波来确定粗糙度评定中线, 高斯滤波可以得到较为准确的粗糙度.本文将粗糙度评定中线根据波峰和波谷的位置在其临近部分分段模拟为二次曲线, 最终分别得到波峰和波谷段的粗糙度评定中线的表达式.在此基础上, 建立了关于粗糙度Rz的数学模型.随后采用\"测量不确定度的标准指南\" (GUM) 来计算粗糙度的不确定度, 并采用自适应蒙特卡罗方法 (AMCM) 来进行比较, 得出了高斯滤波模型下通过GUM法来计算粗糙度不确定度是一种有效的方法.%The roughness of free-form surface directly reflects the quality of

surface machining. The extraction of roughness can be achieved by

filtering. In this paper, Gaussian filter is selected to determine the

assessment middle line of an filter can obtain the

accurate roughness. In this paper, the assessment middle lines are

simulated into quadratic curves according to the adjacent parts of wave

peak and valley. Based on this, the mathematical model of roughness Rz is

established. Then, the \"Guide to the expression of uncertainty in

measurement\" (GUM) is adopted to calculate the uncertainty of

roughness, and it is compared with the Adaptive Monte Carlo method

(AMCM). The GUM method is an effective method to calculate roughness

uncertainty based on the Gaussian filter model.

【期刊名称】《天津理工大学学报》

【年(卷),期】2019(035)002

【总页数】5页(P37-41)

【关键词】高斯滤波;不确定度;GUM;自适应蒙特卡罗方法

【作 者】刘晨辉

【作者单位】天津大学 数学学院,天津 300350

【正文语种】中 文

【中图分类】TV139.2

表面形貌影响测量精度、耐磨性、疲劳强度、配合的稳定性等，它是评价表面质量的重要因素.表面形貌由形状轮廓，波纹度轮廓，粗糙度轮廓等组成.本文对粗糙度以及粗糙度的不确定度进行研究.国际标准组织（ISO）在1982 年发布了相应的表面粗糙度标准ISO468—1982[1].该标准规定了表面粗糙度的一些评价参数，如Ra，Rz 等，还给出了评定长度，采样长度的选择标准.越来越多的测量仪器被用来得到表面形貌，如接触式表面轮廓仪，激光干涉式轮廓仪，光栅干涉式轮廓仪等，其中接触式表面轮廓仪是最常用的仪器，它是用于测量表面轮廓，与个人计算机相连接，将表面轮廓信息传送到电脑上[2].然而，现有的商业软件并不能进行粗糙度不确定度的计算.高斯滤波是目前最常采用的用来提取粗糙度的方法，高斯滤波的发展较为成熟[3-4].对于粗糙度的不确定度，通常是指间接测量不确定度，一般通过A 类不确定度来估计[5].通常采用GUM 法来计算间接测量不确定度，GUM 法是计算不确定度的标准，采用一阶泰勒展开来估计不确定度[6].Arencibia 将GUM 法和三坐标测量机相结合来计算圆度或圆柱度误差的不确定度.并且考虑变

量的相关性，通过GUM 法对被测量量的不确定度进行了计算[7].除了GUM 法，蒙特卡罗法（MCM）也被用来计算不确定度，将蒙特卡罗法和误差椭圆的理论相结合，提出了用蒙特卡罗法来估计圆形特性的测量不确定度[8].MCM 和贝叶斯估计相结合去计算不确定度，用贝叶斯原理来分析与MCM 相关的先验分布的信息[9].蒙特卡罗法依赖于实验次数的选择，而自适应蒙特卡罗法（AMCM）可以不断增加实验次数，直到结果达到稳定.方兴华等用自适应蒙特卡罗法对线性模型和非线性模型进行了不确定度的评价[10].然而，不管是MCM 还是AMCM，对于测量量的分布的信息要求严格，当测量量服从的分布是不确定时，此时的MCM 和AMCM得到的不确定度就失去了其准确性，不过MCM 和AMCM 仍可以作为对GUM 法的验证.Wen 选择GUM 法来计算圆柱度误差的不确定度并用自适应蒙特卡罗法来验证GUM 法的结果[11].曹芸等人采用了两种方法用MCM 来验证GUM

法：包含区间的比较与包含概率的比较，这两种方法都是合适的验证方法[12].

本文的结构如下：在第1 部分通过高斯滤波提取了粗糙度中线，对中线进行模拟并建立了粗糙度Rz 的数学模型.第2 部分得到GUM 法的计算公式.第3 部分列举了一个关于自由曲面粗糙度的实验，并分析和讨论了GUM 法和AMCM 所得到的结果.第4 部分得出结论.

1 高斯滤波原理

假设高斯滤波的表面轮廓为z（x），其中高频信号为r（x），低频信号为ω（x）.本文研究的粗糙度属于高频信号，也就是r（x）.那么表面形貌的组成形式为：

采用高斯滤波来提取粗糙度，高斯分布的表达式为：

其中μ 是均值，σ 是标准差.

高斯滤波的权函数为：

将（2）进行傅里叶变换得到：

其中λ 是波长，λc 是高斯滤波器的截止波长，α 是常数.其中高斯滤波器在截止波长的通过率为50%，得到

通过表面形貌和高斯权函数做卷积可以得到粗糙度为：

2 Rz粗糙度模型及其不确定计算

已知Rz 的计算公式如下：

其中Rp 是波峰，Rm 是波谷.

设（x′，y′）是波峰对应的点，（x″，y″）是波谷所对应的点.根据高斯滤波可以得到相应的（x′，y′）和（x″，y″）.随后进行模拟高斯滤波中线，因为表面形貌的趋势是任意的，导致了中线的趋势也是任意的，于是提出了一种根据波峰和波谷点分段表示中线表达式的方法，这样使得残差平方和比较小，从而使结果更具代表性.本文采用多项式拟合的方法得到波峰和波谷附近的中线表达式，因为多项式次数越高会增加运算时间还会丢失部分有用信息，对于一般曲面而言，在波峰和波谷附近的表达式用二次曲线模拟是足够的.实际上在模拟时只需模拟出（x′，y′）和（x″，y″）附近的那两段曲线的表达式即可.

假设xi

这样就模拟出了波峰附近在区间xi < x′≤xi+m的二次曲线，波谷附近在区间xj<

x″≤xj+m 的二次曲线，根据中线计算的波峰Rp为：

波谷Rm 是：

于是可得粗糙度Rz 的计算公式为：

GUM 法是计算不确定度的标准，根据粗糙度的数学模型，GUM 法计算公式如下：

根据公式可知总共有10 个变量：

（x′，y′，x″，y″，ai，bi，ci，aj，bj，c）j，并且这些变量是相关的.将10 个变量带入到上面式子中即可得到粗糙度的不确定度.

3 粗糙度标准样块实验

本文选择粗糙度标准样块进行实验，选择高斯滤波对粗糙度标准样块的原始轮廓进行滤波，得到粗糙度中线.因为大体知道Rz 在0.5 μm~10 μm 之间，于是取样长度取为lr=0.8 mm，采样长度取为3×0.8 mm =2.4 mm.选择3 组同一位置的原始轮廓数据来进行分析.

图1 标准样块实验Fig.1 The experiment of standard sample

图2 第一组原始轮廓和滤波中线Fig.2 The first group of original contour and

filter middle line

图3 第二组原始轮廓和滤波中线Fig.3 The second group of original contour

and filter middle line

图4 第三组原始轮廓和滤波中线Fig.4 The third group of original contour and

filter middle line

图2，3，4是3组原始轮廓和滤波中线的表示，蓝色表示的是原始轮廓，绿色表

示的是滤波中线.经过高斯滤波可以得到3 组粗糙度Rz 及其相应的波峰和波谷，见表1.

表1 滤波后粗糙度以及波峰和波谷Tab.1 Roughness after filtering and the

crest and trough组数 粗糙度/μm 波峰（x′，y′） 波谷（x″，y″）第一组 0.940

9 （49.843,0.000594） （51.227,0.000226）第二组 0.939 3

（49.844,0.000596） （51.227,0.00022）第三组 0.939 6 （49.843,0.00059）

（51.281,0.000223）

经过表1 的计算得到了高斯滤波后计算的粗糙度均值：0.939 933 333 μm.

然后在波峰和波谷的位置进行二次曲线模拟，可得3 组模拟曲线表达式的系数见表2.

表2 模拟系数Tab.2 The coefficients of simulation组数 ai bi ci aj bj cj第一组

0.418 178 210 -41.556 073 33 1 032.573 543 0 -0.326 740 529 33.367 420

18 -851.610 766 4第二组 0.400 787 175 -39.819 483 43 989.222 697 4 -0.407 172 543 41.623 345 78 -1 063.461 679 0第三组 0.418 081 402 -41.546 025 19 1 032.308 965 0 -0.347 887 687 35.571 155 36 -909.001 674

6

表2 中：ai 是波峰附近曲线的二次项系数，bi 是波峰附近曲线的一次项系数，ci

是波峰附近曲线的常数项系数，aj 是波谷附近曲线的二次项系数，是波谷附近曲线的一次项系数，cj 是波谷附近曲线的常数项系数.结合表1 和表2，10 个变量（x′，y′，x″，y″，ai，bi，ci，aj，bj，c）j就可以得到了，然后计算这10 个变量的协方差矩阵见表3.

表3 协方差矩阵Tab.3 The covariance matrix变量 x′ y′ x″ y″ ai bi ci aj bj cj x′

0.0000003 0.0000000 -0.0000090 0.0000000 -0.0000058 0.0005772 -0.0144062 -0.0000233 0.0023847 -0.0610518 y′ 0.0000000 0.0000000 -

0.0000001 0.0000000 0.0000000 0.0000023 -0.0000574 -0.0000001

0.0000073 -0.0001868 x″ -0.0000090 -0.0000001 0.0009720 0.0000000

0.0001548 -0.0154484 0.3853952 0.0003432 -0.0346361 0.8736219 y″

0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 0.0000000 -0.0000026

0.0000650 0.0000001 -0.0000124 0.0003178 ai -0.0000058 0.0000000

0.0001548 0.0000000 0.0001003 -0.0100102 0.2498476 0.0004044 -0.0414101 1.0601882 bi 0.0005772 0.0000023 -0.0154484 -0.0000026 -0.0100102 0.9994653 -24.9459232 -0.0403746 4.1347767 -105.8594125 ci -0.0144062 -0.0000574 0.3853952 0.0000650 0.2498476 -24.9459232

622.6320452 1.0077923 -103.2084520 2642.3676095 aj -0.0000233 -0.0000001 0.0003432 0.0000001 0.0004044 -0.0403746 1.0077923

0.0017385 -0.1782411 4.5683982 bj 0.0023847 0.0000073 -0.0346361 -0.0000124 -0.0414101 4.1347767 -103.2084520 -0.1782411 18.2742942 -468.3868492 cj -0.0610518 -0.0001868 0.8736219 0.0003178 1.0601882 -105.8594125 2642.3676095 4.5683982 -468.3868492 12005.4030788

从表格3 可以看出变量之间是相关的，因此计算不确定度时需要考虑变量的相关关系，不能假设变量之间是独立的.然后将以上数据带入不确定度的计算公式，求解得：不确定度u=0.002 590 3 μm.随后用AMCM 法对GUM 计算的结果进行验证，结果见表4.其中AMCM 法的不确定度的图形见图5.

表4 GUM 和AMCM 的比较结果Tab.4 The comparison between GUM and

AMCM/μm u/μm 95%置信区间/μm GUM 0.939 933 0.002 590 3 [0.934 752

73，0.945 113 936]AMCM 0.086 521 132 0.002 611 767 [0.081 902 156，0.091 245 994]方法 Rz

图5 AMCM 的结果Fig.5 The results of AMCM

图5 中两条虚线代表的是95%的置信区间.

表4 中表示的是粗糙度的平均值，u 代表的是粗糙度的不确定度.从表4 中可以看出GUM 法计算的粗糙度值和高斯滤波得到的基本一致，而AMCM 法有较大偏差，因为AMCM 对变量的分布的估计存在偏差，GUM 法和AMCM 法计算的粗糙度的不确定度是几乎相等的，说明在高斯滤波下，GUM法计算的不确定度是准确的.

4 结论

本文通过高斯滤波得到粗糙度评定中线，并在波峰和波谷位置分段模拟得到粗糙度评定中线表达式，根据模拟的粗糙度中线计算出粗糙度Rz，然后再根据粗糙度评定中线的表达式得出GUM 法下的不确定度计算公式，最后通过AMCM 法的比较得出高斯滤波模型下的GUM 法.

参考文献：

【相关文献】

［1］Nara on of international standard\"surface roughness\"［J］.Journal of the

Japan Society of Precision Engineering，1982，48：262-267.

［2］陈澍我，王信义，姚振远.接触式表面粗糙度在线测量装置［J］.金刚石与磨料磨具工程，1986（6）：38-40.

［3］许景波，袁怡宝，朴伟英,等.表面粗糙度测量中的高斯滤波快速算法［J］.计量学报，2005，26（4）：309-312.

［4］王晓强，梅倩倩，崔凤奎，等.高斯滤波技术提取表面粗糙度信息［J］.机械设计与制造，2016（2）：113-116.

［5］李锡金.测量不确定度评定中A 类不确定度的合理评定［J］.现代农业装备，2010（5）：45-47.

［6］Arencibia R V，Souza C C，Costa H L，et fied model to estimate uncertainty

in CMM［J］.Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences & Engineering，2015，37（1）：411-421.

［7］Du Z，Zhu M，Wu Z，et ement uncertainty on the circular features in

coordinate measurement system based on the error ellipse and Monte Carlo methods［J］.Measurement Science&Technology，2016，27（12）：125016.

［8］Nam G，Kang C S，So H Y，et uncertainty evaluation for multiple

measurements by GUM，III： using correlation coefficient［J］.Accreditation & Quality

Assurance，2009，14（1）：43-47.

［9］Forbes A MCMC algorithm based on GUM supplement 1 for uncertainty

evaluation［J］.Measurement，2012，45（5）：1188-1199.

［10］方兴华，宋明顺，顾龙芳，等.基于自适应蒙特卡罗方法的测量不确定度评定［J］.计量学报，2016，37（4）：23-27.

［11］Wen X L，Zhao Y B，Wang D X，et ve Monte Carlo and GUM methods for

the evaluation of measurement uncertainty of cylindricity error［J］.Precision Engineering，2013，37（4）：856-864.

［12］曹 芸，陈怀艳，韩 洁.采用MCM 对GUM 法测量不确定度评定的验证方法研究［J］.宇航计测技术，2012，32（2）：75-78.