2014年北京市中学生数学竞赛(初二)

2014年北京市中学生数学竞赛（初二)试题

一、选择题（每小题5分，共25分）

a

4

a

2

b

2

b

4

3ab

=（ ） 1.若

ab5

,则

22

aabb

A．5 B.

3555

C.

25

D。

22

2.已知一个面积为S且边长为1的正六边形，其六条最短的对角线两两相交的交

点构成一个面积为A的小正六边形的顶点. 则

A

=（ ）

S

3

2

11

A． B。 C。 D。

2

2

43

3。在数29 998，29 999，30 000,30 001中，可以表示为三个连续自然数两两

乘积之和的是（ ）

A．30 001 B. 30 000 C. 29 999 D。 29 998

1

在平面直角坐标系

xOy

x

75

的第一象限上图象的两点,满足

y

1

y

2



，

x

2

x

1



. 则

S

AOB



( )

23

10111213

A．

2

B。

2

C.

2

D。

2

11121314

4。已知A（

x

1

，

y

1

），B（

x

2

，

y

2

）是反比例函数

y

5。有2 015个整数，任取其中2 014个相加,其和恰可取到1,2，…，2 014这

2 014个不同的整数值。 则这2 015个整数之和为( ）

A．1 004 B。 1 005 C. 1 006 D。 1 008

二、填空题(每小题7分，共35分)

1。在1～10 000的自然数中，既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有 个.

2.

[2013][2014][2015][2016]

[2014][2015]



（

[x]

表示不超过实

数

x

的最大整数）。

3.在四边形ABCD中，已知BC=8，CD=12，AD=10，∠A=∠B=60°.则AB= .

4。已知M是连续的15个自然数1，2，…，15的最小公倍数.若M的约数中恰被

这15个自然数中的14个数整除，称其为M的“好数”。则M的好数有 个.

5.设由1～8的自然数写成的数列为

a

1

，

a

2

，…，

a

8

。则

a

1

a

2

+

a

2

a

3

+

a

3

a

4

+

a

4

a

5

+

a

5

a

6

+

a

6

a

7

+

a

7

a

8

+

a

8

a

1

的最大值

为 .

三、（10分)已知

a

2

(bc)b

2

(ca)c

2

(ab)0

.证明:

a

,

b

，

c

三个数中至

少有两个相等。

四、（15分）在凸四边形ABCD中，已知∠BAC=30°，∠ADC=150°，且AB=DB。

证明：AC平分∠BCD.

五、（15分）某校对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号,最小号为0001，最

大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值

时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？

参考答案

一、选择题（每小题5分，共25分）

题号

答案

1

A

2

B

3

C

4

B

5

D

5。设2 015个整数为

x

1

，

x

2

,…，

x

2015

。记

x

1

+

x

2

+…+

x

2015

=M。不妨设M—

x

i

=

i

（

i

=1，2，…，2014），M-

x

2015

=A。则2014M=1+2+…+2014+A。故A除以2014

的余数为1007.从而,A=1007，M=1008。当

x

i

=1008—

i

(

i

=1，2,…，2014），

x

2015

=1

时取到。

二、填空题（每小题7分，共35分）

题号

答案

1

9 883

2

1

11

3

9141

4

4

5

32

4。M=

2

3

3

2

571113

，则M的约数中恰能被这15个自然数中的14个整除

的有四个，即

5。由题意记

S=

a

1

a

2

+

a

2

a

3

+

a

3

a

4

+

a

4

a

5

+

a

5

a

6

+

a

6

a

7

+

a

7

a

8

+

a

8

a

1

.

该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为

了使和达到最大的可能值，只须由1～4取负，由5～8取正,于是，S=2[(8+7+6+5)

—（4+3+2+1）］=32.如

84

+

47

+

71

+

15

+

52

+

26

+

63

+

38

=32.

三、由左边进行因式分解得到

(ab)(bc)(ac)0

即可。

四、提示：作点B关于AC的对称点E，连接AE、BE、DE。则△ABE为正三角形，

下面证明E、D、C三点共线即可。可设∠DBE=



，可得到∠EDA=30°.

五、设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为

1x

1

x

2

x

n1

x

n

2014

。

MMMM

、、、。

231113

依题意知

S

k



x

1

x

2





x

n

x

k

(k1,2,



,n)Z



.

n1

对任意

i,j(1ijn)

均有

S

i

S

j



于是，

x

j

x

i

n1

.

x

j

x

i

n1

Z



。

故

x

n

x

1

(x

n

x

n1

)(x

n1

x

n2

)



(x

2

x

1

)(n1)

2

(n1)

2

x

n

x

1

2013n45

.

由于

20141

为整数，从而，

n1

为2013的约数。

n1

注意到，2013=3×11×61不超过45的最大约数为33.于是，

n

的最大值为34,

即参赛选手最多有34名.

这样的34名选手的号码是可以实现的。如

x

i

33i32(i1,2,



,33),x

34

2014

。

因此,该校参加竞赛的选手最多有34名.