正态分布密度函数公式

2024年4月16日发(作者：天星教育九上数学试卷答案)

正态分布密度函数公式

正态分布密度函数，也称正态曲线、正态线性，是一种常见的概

率分布函数，其曲线最常见的形状是单峰形，也就是“钟形”的曲线。

这种形状也被称作“正态分布”，因为它是以正态分布模式进行构建

的，且它也是用来分析某种数据分布情况的常用分析工具。它可以用

来描述和表示某一种特定数据点分布的模式，它可以描述和解释一个

样本内数据点的分布情况以及分布特征，比如说：钟型曲线模型可以

明确表示出抽样数据的平均值和方差的大小以及这些数据的变化趋

势。

正态分布密度函数的数学形式

正态分布密度函数的数学形式为：

f(x)=frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}expleft(-frac{(x -

mu)^2}{2sigma^2}right)

其中，μ表示正态分布的数学期望；σ2表示其标准差的平方，

π为常数3.14159；f(x)表示x处的值；e为自然常数值。

由正态分布密度函数可以推导出数学期望的值：

mu = int_{-infty}^{infty}xf(x),dx

以及标准差的求解公式：

sigma = sqrt{frac{1}{n}int_{-infty}^{infty}(x -

mu )^2f(x),dx}

正态分布的特征

正态分布的特征是它具有许多极性特征，如数学期望、方差、峰

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值、中位数、标准差等，都是正态分布的共有特征。其中，正态分布

最大的特点就是它有非常明显的钟形曲线分布，也就是单峰曲线。其

次，正态分布具有较高的稳定性，它的变化趋势也比较平缓，特别是

在尾部，它也有一定的稳定性，即一段巨大的变动幅度内，仍然保持

着一定的稳定性。

正态分布的概率计算

正态概率分布的概率计算可以用积分的方法来计算概率。例如可

以计算从X1到X2区间内的累积分布函数：

P(Xin [X_1,X_2]) = P(X

由正态分布密度函数的形式可得

P(X

frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}int_{-infty}^{X_1}expleft(-frac{(x

- mu)^2}{2sigma^2}right)dx;

P(X

frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}int_{-infty}^{X_2}expleft(-frac{(x

- mu)^2}{2sigma^2}right)dx

从而可以得到累积分布函数的值。

正态分布的应用

正态分布有很多实际应用，特别是在自然科学和社会科学的分析

中，它的模型广泛应用于很多领域，包括但不限于品质控制、统计学、

金融工程学、经济学、医学、商业管理等。例如：可以用正态分布模

型来描述人体体重分布，也可以分析病人体重变化；可以用正态分布

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模型来描述市场波动风险；可以用正态分布模型来估算投资收益；可

以用正态分布模型来估算产品品质控制以及品质抽样规范等。

此外，正态分布模型在进行回归分析的时候也可以得到一些有用

的结果，从而更好地理解和预测复杂的数据问题，而且在任何相关的

计算机程序中也是一个非常有效的工具。

总结

正态分布密度函数的出现，使人们开始关注概率分布和概率分析，

它可以更有效地描述和研究某种特定现象。正态分布拥有明显的钟形

曲线分布，稳定性较高，特别是在尾部，它有一定的稳定性，即一段

巨大的变动幅度内，仍然保持着一定的稳定性。正态分布具有数学期

望、方差、峰值、中位数、标准差等，都是正态分布的共有特征，正

态分布的概率计算可以用积分的方法来计算概率，它的实际应用广泛，

被广泛用于各个领域的分析。

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