2024年4月17日发(作者：2023烟台高三一模数学试卷)

名师精编 精品教案

抛物线的几何性质教案

一、要点归纳

1.抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l(l

不经过点

F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l

叫做抛物线的准线。

2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准

方程

y

2

2px

l

(p0)

y

o

F

y

2

2px

(p0)

y

l

x

2

2py

(p0)

y

x

2

2py

(p0)

图形

x

F

o

x

F

l

o

x

焦点

坐标

准线

方程

范围

对称

性

顶点

离心

率

焦半

径

焦点

弦公

式

p

(,0)

2

p

x

2

x0

(

p

,0)

2

p

x

2

x0

p

(0,)

2

p

y

2

p

(0,)

2

p

y

2

y0

y

轴

y0

y

轴

x

轴

(0,0)

e1

PF

p

x

0

2

x

轴

(0,0)

e1

PF

p

x

0

2

(0,0)

e1

PF

p

y

0

2

(0,0)

e1

PF

p

y

0

2

ABp(x

1

x

2

)

ABp(x

1

x

2

)

ABp(y

1

y

2

)

ABp(y

1

y

2

)

3.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H

1

H

2

称为通径；通径：|H

1

H

2

|=2P

4．焦点弦：过抛物线

y

2

2px

(p0)

焦点

F

的弦

AB

，若

A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)

，

p

p

2

2

则(1)

|AF|

x

1

+，（定义） (2)

x

1

x

2

，

y

1

y

2

－p．（韦达定理）

2

4

(3) 弦长

ABp(x

1

x

2

)

,

x

1

x

2

2x

1

x

2

p

,即当x

1

=x

2

时,弦长最短为2p，此时弦即为通径。

(4) 若AB的倾斜角为θ，则

AB

=

2p

（焦点弦公式与韦达定理）

sin

2

2

5. 直线与抛物线相交所得弦长公式

|AB|1k|x

1

x

2

|1

2

6.点P(x

0

,y

0

)和抛物线

y2px

(p0)

的位置关系

1

|y

1

y

2

|

k

2

名师精编 精品教案

2

(1)点P(x

0

,y

0

)在抛物线

y

2

2px

(p0)

内

y

0

<2px

0

2

(2)点P(x

0

,y

0

)在抛物线

y

2

2px

(p0)

上

y

0

=2px

0

2

(3)点P(x

0

,y

0

)在抛物线

y

2

2px

(p0)

外

y

0

>2px

0

7.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于

一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

二、例题分析

[例1] 给定抛物线

解：设

∴

∵ ，

时，

时，

，此时当

，此时当

时，

时，

。

（

，设A（

）（

）（），P是抛物线上的一点，且

，试求的最小值。

） 则

∴（1）当

（2）当

[例2] 过抛物线

解：当

的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求

时，直线AB的方程为

由

当

得A（）、B（，） ∴

时，直线AB的方程为

由

设A（

∴

）、B（

得

），则


更多推荐

抛物线,直线,焦点