2024年3月12日发(作者：为什么数学试卷要难点)

参考!

东华大学高等数学实验试题A

考试时间：90分钟

（附参考解答）

班级 学号 姓名 得分

上机考试说明：

1. 开考前可将准备程序拷到硬盘, 开考后不允许用移动盘，也不允许上网；

2. 领座考生试卷不同，开卷，可利用自己备用的书和其他资料，但不允许讨论，也不允许借

用其他考生的书和资料。

3. 解答(指令行，答案等)全部用笔写在考卷上。

一、 计算题（76分）

要求：写出M函数（如果需要的话）、MATLAB指令和计算结果。

5x

1

x

2

x

3

1

x

1

3x

3

x

4

2

1． 解线性方程组

x

1

x

2

5x

4

3

2x

3

4x

4

1

并求系数矩阵的行列式。

指令行：A=[5 1 –1 0;1 0 3 –1;-1 –1 0 5;0 0 2 4];b=[1;2;3;-1]; x=Ab,d=det(A)

结果：x

1

=1.4, x

2

= -5.9, x

3

=0.1, x

4

= -0.3. 行列式=70.

2． 设 f(x,y) = 4 sin (x y)，求

3

2

f

x2,y3

。

xy

指令行：syms x y; f=diff(4*sin(x^3*y),x); f=diff(f,y); f=subs(f,x,2);

f=subs(f,y,3)

结果：1063.6

3． 求方程 3x

4

+4x

3

-20x+5 = 0 的所有解。

指令行：roots([3 4 0 –20 5])

结果：-1.5003 - 1.5470i, -1.5003 + 1.5470i, 1.4134, 0.2539

4． 使用

两种方法

求积分

1

1

2

0

e

x

2

2

dx

的近似值。

方法一：指令行：syms x; s=int(1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2),0,1); vpa(s,5)

结果：0.34135

方法二：指令行：x=0:0.01:1; y=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);trapz(x,y)

结果：0.3413

方法三：M函数ex4fun.m

function f=ex4fun(x)

f=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);

指令行：s=quadl(@ex4fun,0,1)

结果：0.3413

5． 求函数 f(x,y) = 3x

2

+10y

2

+3xy-3x +2y在原点附近的一个极小值点和极小值。

指令行：fun=inline(’3*x(1)^2+10*x(2)^2+3*x(1)*x(2)-3*x(1)+2*x(2)’);

[x,f]=fminsearch(fun,[0,0])

结果：x=0.5946, y= -0.1892, f= -1.0811

6． 求解下列微分方程

y\'xy

1x1.5

y(1)2

(只要求写出x=1.5时y的值)

指令行：ex6fun=@(x,y)x+y;

[x,y]=ode45(ex6fun,[1 1.5],2);

[x,y]

结果： x=1.5000时， y= 4.0949

二、编程题（12分）：编写用向后差商公式

f

(a)

f(a)f(ah)

h

，

h>0

求函数在某一点导数达到指定精度的算法程序，并用此程序求f(x)=e

x

cos(x

2

)在

x=1.2的导数，使精度达到10

-4

。

要求：写出M函数文件、MATLAB指令和计算结果。

M函数

derivl.m

function d=derivl(fname,a,h0,e)

h=h0;

d=(feval(fname,a)-feval(fname,a-h))/h;

d0=d+2*e;

while abs(d-d0)>e

d0=d;h0=h;h=h0/2

d=(feval(fname,a)-feval(fname,a-h))/h;

end

指令行：

fun=inline(\'exp(x)*cos(x^2)\',\'x\');

derivl(fun,1.2,0.1,1e-4)

结果：

-7.4672

三、应用题（12分）：某公司投资2000万元建成一条生产线。投产后，在时刻t 的

追加成本和追加收益分别为G(t)=

5t2t

2/3

(百万元/年), H(t)=

18t

2/3

(百万元/

年)。试确定该生产线在合适何时停产可获最大利润？最大利润是多少？

要求：写出数学模型、M函数（如果需要的话）、运算指令和计算结果。

模型：利润函数

R(T)

T

0

(H(t)G(t))dt20

(百万元)

由于H(t)-G(t)单调下降，所以当H(T)=G(T)时，R(t)取得最大利润。

指令行：clear; close;

fplot(\'18-t^(2/3) \',[0,20]); grid on;hold on;

fplot(\'5+t+2*t^(2/3)\',[0,20],’r’); hold off;

发现t约为4

[t,f,h]=fsolve(\'18-x^(2/3)-5-x-2*x^(2/3)\',4)

求得t=4.6465

t=linspace(0,t,100); y=18-t.^(2/3)-5-t-2*t.^(2/3);

trapz(t,y)-20

最大利润6.3232(百万元)


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