考研数学三解答题专项强化真题试卷81 (含答案解析)

2023年12月2日发(作者：数学试卷没带怎么办)

解答题---为题目类型

1.[2018年]已知实数a，b满足

2.

3.(93年)设某产品的成本函数为C＝aq＋bq＋c，需求函数为q＝

4.某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ2是已知的．设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立且均服从正态分布N(μ，σ)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi＝｜Xi－μ｜(i＝1，2，…，n)．利用Z1，Z2，…，Zn估计σ． (Ⅰ)求Z1的概率密度； (Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量； (Ⅲ)求σ的最大似然估计量．

ππ5.(00年)设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0f(χ)dχ＝0，∫0f(χ)cosχdχ＝0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．

1n1n6.(10年)(Ⅰ)比较∫0｜lnt｜[ln(1＋t)]dt与∫0t｜lnt｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un＝∫0｜lnt｜[ln(1＋t)]dt (n＝1，2，…)，求极限221n2

7.(08年)设z＝z(χ，y)是由方程χ＋y－z＝φ(χ＋y＋z)所确定的函数，其中φ具有2阶导数，且φ′≠－1． (Ⅰ)求dz； (Ⅱ)记u(χ，y)＝，求

8.(90年)已知线性方程组

9.(92年)某设备由三大部件构成．在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0．10，0．20和0．30．设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求E(X)和D(X)．

10.(2000年)求函数y=2

211.(2009年)求二元函数f(x，y)=x(2+y)+ylny的极值．

222212.设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)+(xn+anx1)， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。

13.设

14.(2001年)求二重积分

15.(1998年)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f\'(x)≠0.试证存在ξ，η∈(a，b)，使得

T16.设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)是A的属于λ1的53一个特征向量．记B=A－4A+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

22217.设二次型f(x1，x2，x3)=2x1－x2+ax3+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ221y1+λ2y2，求a的值及一个正交矩阵Q．

T[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]，α2=[0，－T1，1]都是齐次线性方程组AX=0的解．

18.求A的特征值和特征向量；

T19.求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QAQ=Λ；

620.求A及[A－(3／2)E]． 解答题---为题目类型

1.[2018年]已知实数a，b满足【正确答

案】 因为极限存在，所以即a=1． 而

2.

【正确答案】考虑到待证不等式的构造及其性质：当a=b时，不等式化为等式，可将b换为x，令 则φ(a)=0，且 由上题知，故于由f(x)单调增加，有是故φ(x)单调不减，又φ(a)=0，则φ(b)≥0，即

3.(93年)设某产品的成本函数为C＝aq＋bq＋c，需求函数为q＝

【正确答案】(1)利润函数为 L＝pq－c＝(d－eq)q－(aq＋bq＋c)＝(d－b)q－(e＋a)q－c 从而(d－b)－2(e＋a)q，令＝0得，q＝． 因为＝－2(e＋a)＜0，所以，222当q＝时，利润最大． (2)由q(p)＝(d－p)，得q′(p)＝－．所以需求对价格的弹性为η＝ (3)由｜η｜＝1得q＝ 4.某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ2是已知的．设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立且均服从正态分布N(μ，σ)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi＝｜Xi－μ｜(i＝1，2，…，n)．利用Z1，Z2，…，Zn估计σ． (Ⅰ)求Z1的概率密度； (Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量； (Ⅲ)求σ的最大似然估计量．

【正确答案】(Ⅰ)设Z1的分布函数和概率密度分别为FZ(z)和fZ(z)． 则FZ(z)＝P(Z1≤z)＝P(｜X1－μ｜≤z) z＜0时，FZ(z)＝0，因此fZ(z)＝F′Z(z)＝0； z≥0时，

故fZ(z)＝F′Z(z)＝ 这儿Ф(z)＝分别是标准正态分布N(0，1)的分布函数和概率密度．

记，于是，得即为σ的矩估计． (Ⅲ)似然函数

当zi≥0，i：1，2，…，n时， 故σ的最大似然估计为

5.(00年)设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0f(χ)dχ＝0，∫0f(χ)cosχdχ＝0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．

π【正确答案】令F(χ)＝∫f(t)dt，0≤χ≤π 则有F(0)＝0，F(π)＝0，又因为 0＝∫0f(χ)cosχdχππππ＝∫0cosχdF(χ)＝F(χ)cosχ｜0＋∫0F(χ)sinχdχ＝∫0F(χ)sinχdχ 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinπξ＝0，因若不然，则在(0，π)内或F(χ)sinχ恒为正，或F(χ)sinχ恒为负，均与∫0F(χ)sinχdχ＝0矛盾．但当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，故F(ξ)＝0． 由以上证得F(0)＝F(ξ)＝F(π)＝0 (0＜ξ＜π)

再对F(χ)在区间[0，ξ，[ξ，π]上分别用罗尔中值定理知至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使 F′(ξ1)＝F′(ξ2)＝0， 即f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．

1n1n6.(10年)(Ⅰ)比较∫0｜lnt｜[ln(1＋t)]dt与∫0t｜lnt｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由； (Ⅱ)记un＝∫0｜lnt｜[ln(1＋t)]dt (n＝1，2，…)，求极限1nππ

nn【正确答案】(Ⅰ)当0≤t≤1时，因为ln(1＋t)≤t，所以 ｜lnt｜[ln(1＋t)]≤t｜lnt｜， 因n1n1n此∫｜lnt｜[ln(1＋t)]dt≤∫0t｜lnt｜dt． (Ⅱ)由(Ⅰ)知0≤un＝∫0｜lnt｜[ln(1＋t)]dt≤∫1n0t｜lnt｜dt． 因为，所以

2从而2

7.(08年)设z＝z(χ，y)是由方程χ＋y－z＝φ(χ＋y＋z)所确定的函数，其中φ具有2阶导数，且φ′≠－1． (Ⅰ)求dz； (Ⅱ)记u(χ，y)＝22，求

【正确答案】(Ⅰ)设f(χ，y，z)＝χ＋y－z－φ(χ＋y＋z)， F′χ＝2χ－φ′，F′y＝2y－φ′，F′z＝－1－φ′， 由公式

(Ⅱ)由于u＝ 所以

8.(90年)已知线性方程组

【正确答案】对方程组的增广矩阵作初等行变换：

(1)由阶梯形矩阵可见r(A)＝2，故当且仅当r(A)＝2时方程组有解，即当b－3a＝0，2－2a＝0，亦即a＝1，b＝3时方程组有解． (2)当a＝1，b＝3时，有

由此即得方程组的用自由未知量表示的通解为 令χ3＝χ4＝χ5＝0，得原方程组的一个特解为 η*＝(－2，3，0，0，O)T 在(*)式中令常数项均为零，则得原方程组的导出组的用自由未知量表示的通解为

9.(92年)某设备由三大部件构成．在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0．10，0．20和0．30．设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求E(X)和D(X)．

【正确答案】设这三个部件依次为第1、2、3个部件，记Ai＝(第i个部件需调整)，i＝1，2，3．则A1，A2，A3相互独立． 则P(A1)＝0．1，P(A2)＝0．2，P(A3)＝0．3[或P(Ai)＝，i＝1，2，3] Xi＝ 显然，X1，X2，X3相互独立 则E(Xi)＝1.P(Ai)＝，i＝1，2，3．且X＝X21＋X2＋X3 D(Xi)＝E(Xi)＝[E(Xi)]2＝12.P(Ai)－，i＝1，2，3 故EX＝EX1＋EX2＋EX3＝＝0．6 DX＝

10.(2000年)求函数y=【正确答案】原

函数对x求导，所以

令y’=0，得驻点x1=0，x2=-1。

列表

所以由上表可以得出函数的大概形状，严格单调增区间为(一∞，一1)与(0，+∞)；严格单调减区间为(一1，0)。f(0)=函数大概形状的估计，

理,为极小值，f(一1)=为极大值。 以下求渐近线。通过对同所以此函数无水平渐近线；同理，也没有垂直渐近线。令

11.(2009年)求二元函数f(x，y)=x(2+y)+ylny的极值．

【正确答22案】 显然，AC—B＞0，而A＞0， 故二元函数f(x，y)有极小值

2222

212.设有n元实二次型 f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)+(xn+anx1)， 其中ai(i=1，2，…，n)为实数。试问：当a1，a2，…，an满足条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型。

【正确答案】方法一：用正定性的定义判别。 已知对任意的x1，x2，…，xn均有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等号成立当且仅当

方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式 ｜B｜==1+(—1)a1a2…n+1an≠0， 即当a1，a2，…，an≠(一1)时，方程组(*)只有零解，此时f(x1，x2，…，xn)=0。若对任意的非零向量x=(x1，x2，…，xn)≠0，(*)中总有一个方程不为零，则有 f(x1，x2，…，2222xn)=(x1+a1x2)+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)+(xn+anx1)＞0， 所以，根据正定二次型的定义，对任意的向量(x1，x2，…，xn)，如果f(x1，x2，…，xn)≥0，则二次型正定。由以上证明题中f(x1，x2，…，xn)是正定二次型。 方法二：将二次型表示成矩阵形式，有 f(x1，x2，…，2222xn)=(x1+a1x2)+(x2+a2x3)+…+(xn-1+an-1xn)+(xn+anx1) =(x1+x1x2，x2+a2x3，…，xn-1+an-1xn，nxn+anx1) 则 f(x1，x2，…，xn)=XBBx=(Bx)Bx≥0， 当 ｜B｜=TTT

13.设

【正确答案】(Ⅰ)设ξ2=(x1，x2，x3)，解方程组Aξ2=ξ1，由 [A，ξ1]

T得x1=－x2，x3=1－2x2(x2任意)．令自由未知量x2=－c1，则得 ξ2

常数． 设ξ3=(y1，y2，y3)，解方程组T其中c1为任意Aξ2=ξ21，由 [A，ξ1]

2得y1=－－y2(y2，y3任意)．令自由未知量y2=c2，y3=c3，则得 其中c2，c3为任意常数． (Ⅱ)3个3维向量ξ1，ξ2，ξ3线性无关的充要条件是3阶行列式D=|ξ1 ξ2 ξ3|≠0．而

14.(2001年)求二重积分【正确答案】 画积分

域如图2．14

15.(1998年)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f\'(x)≠0.试证存在ξ，η∈(a，b)，使得

【正确答案】函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，满足拉格朗日中值定理的条件，对函数f(x)在[a，b]上用拉格朗日中值定理，有 f(b)一f(a)=f\'(ξ)(b一a)，a＜ξ＜b。 又函数f(x)xx与e满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与e在[a，b]上用柯西中值定理，有

16.设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2。且α1=(1，－1，1)是A的属于λ1的53一个特征向量．记B=A－4A+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵B．

【正确答案】(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i=1，2，3)，由特征值的定义与T性质，有Aαi=λiαi(i=1，2，3，k=1，2，…)，于是有 Bα1=(A－4A+E)α1=(λ1－4λ1+1)α1=－2α1 因α1≠0，故由定义知－2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量．类似可得 B5353α2=(λ2－4λ2+1)α2=α2 Bα3=(λ3－4λ3+1)α3=α3 因为A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的53全部特征值为λi－4λi+1(i=1，2，3)，即B的全部特征值为－2，1，1． 因－2为B的单特征值，故B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数． 设x=(x1，Tx2，x3)为B的属于特征值1的任一特征向量．因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(x1，x2，x3)α1=0，即 x1－x2+x3=0

TT解得该方程组的基础解系为 ξ2=(1，1，0)，ξ3=(－1，0，1) 故B的属于特征值1的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3，其中k2，k3为不全为零的任意常数． (Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，ξ2，ξ3为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵 P=[α1 ξ2 ξ3] 则有P－1kk5353BP

从而有

【试题解析】 本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应53用． 本题中方阵B=f(A)为方阵A的多项式，其中多项式f(t)=t－4t+1．我们知道，若λ为方阵A的一个特征值，则f(λ)为f(A)=B的一个特征值．但是，为什么能由A的全部特征值为λ1，λ2，λ3，而断言f(λ1)，f(λ2)，f(λ3)为B的全部特征值呢?对此问题，可有以下几种推导方法： (1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关，知向量组α1，α2，α3线性无关，从而知α2，α3线性无关，再由Bα2=α2，Bα3=α3，知1为B的特征值，且对应的线性无关特征向量至少有2个，故知1至少为B的二重特征值．又因3阶矩阵B的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有3个，故知B的全部特征值为－2，1，1． (2)由3阶矩阵A有3个互不相同的特征值1，2，－2，或由A为实对称矩阵，知A可相似对角化，即存在可逆矩阵Q，使 QAQ

－1于是有 QBQ=Q(A－4A+E)Q=QAQ－4QAQ+E

－1－153－15－13=(QAQ)－4(QAQ)+E=D－4D+E

－15－1353即矩阵B与对角矩阵M相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故知B的全部特征值为－2，1，1． (3)也可以直接利用下面更为一般的结论：设n阶矩阵A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则对于任一多项式f(t)，n阶矩阵f(A)的全部特征值为f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn)． 另外，需要指出，由方程x1－x2+x3=0所求基础解系，即B的属于特征值1的线性无关特征向量虽然不是唯一的，从而所得相似变换矩阵P不是唯一的，但由B=Pdiag(－2，1，－11)P所计算出的矩阵B却是唯一的．例如，也可由x1－x2+x3=0解得B的属于特征值1的线TT性无关特征向量为(1，1，0)，(－1，1，2)，从而可取相似对角化的变换矩阵为

得B=Pdiag(－2，1，1)P－1 17.设二次型f(x1，x2，x3)=2x1－x2+ax3+2x1x2－8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ221y1+λ2y2，求a的值及一个正交矩阵Q．

【正确答案】二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为 由题设知QAQ=QAQ

－1T222A的一个特征值为零，所以有

故得a=2．由A的特征方程

=(λ－6)(λ+3)λ=0 得A的全部特征值，不妨设λ1=6，λ2=－3，λ3=0， 对于λ1=6，解方程组(6I－A)x=0，对应的单位特征向量可取为ξ1=应的单位特征向量可取为ξ2=向量可取为ξ3=(1，0，－1)； 对于λ2=－3，解方程组(－3I－A)x=0，对TT(1，－1，1)； 对于λ3=0，解方程组Ax=0，对应的单位特征T(1，2，1)． 因此，所求的正交矩阵可取为 Q=(ξ1，ξ2，ξ3)

[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]，α2=[0，－T1，1]都是齐次线性方程组AX=0的解．

【正确答案】

18.求A的特征值和特征向量；

T【正确答案】由命题2．5．1．3知，三阶矩阵A有一个特征值3，且α3=[1，1，1]为A的T属于特征值3的特征向量． 或由

19.求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QAQ=Λ；

T【正确答案】解一 将α1，α2正交化．令ξ1=α1=[－1，2，－1]，则T 再分别将ξ1，ξ2，α3单位化，得到

其中Q为正交矩阵，且QTAQ=Λ． 解二 下面不用正交化，凑出正交化的三个特征向量． 由于A只有一个重特征值λ1=λ2=0，所要求的A的3个两两正交的特征向量只需利用α1与α2的线性组合，找出一个与α，－1]T1且同时与α3正交的特征向量即可，令 ξ2=α1+2α2=[－1，2+2[0，－1，1]T=[－1，0，1]T． 显然，ξ2与α1=ξ1正交，同时也与α3正交，再将它们单位化，即

令Q=[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且有QTAQ=diag(0，0，3)． 解三 设A的属于特征值λ1=λ2=0的特征向量β=[x1，x，xT23]，则β与α3正交，即x1+x2+x3=0．求解此齐次方程即得属于λ1=λ2的两个线性无关的特征向量为 βTT1=[－1，1，0]， β2=[1，1，－2]． 显然β1与β2正交，β1，β2与α3也正交，将其单位化便得到所求的正交矩阵，即

20.求A及[A－(3／2)E]6．

【正确答案】解一 由Q-1AQ=Λ，且Q为正交矩阵，故A=QΛQT，即

由A=QΛQT得到则

解二 由Aα3=3α3，Aα1=0α1，Aα3=0α3得到 易求得A=3A2，故